立足教學，整體建構，啟迪思維

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》中指出，數學知識的教學要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課的教學內容置于整體知識聯系中，注重知識的結構和體系.基于專題教學既可構建知識的整體性，又能體現邏輯的連貫性，“特殊三角形”復習課立足于“教”與“學”，引導學生完成知識整體建構，幫助學生掌握方法的普適性，同時提升學生思維的系統性.

關鍵詞：教與學;整體建構;深度學習

本文中以九年級一輪復習課“特殊三角形”為例，立足于“教”與“學”，引導學生完成知識整體建構，啟發深度學習，助力思維品質的提升.

1 教學分析

1.1 教師要從“教”的角度看待教學的起點與終點

將特殊三角形置于三角形體系中，確認知識的起點（特殊三角形從何而來）、知識的定位（特殊三角形要解決哪些問題）、知識的走向（特殊三角形發展的終點）（如圖1），同時注重知識的遷移、思想方法的挖掘等.

1.2 教師要從學生“學”的角度確認問題的拐點

學生的發展是教學活動的出發點和歸宿，教師應從“學”的角度看待已有經驗與新生難點.先由學生基于已有經驗自主解決問題，后由教師引領思維向更高層次邁進.如表1是等腰三角形、直角三角形已有經驗和新生難點對比.

2 教學過程

2.1 基于經驗，提煉解題技巧

例1 已知一個等腰三角形ABC.

（1）若其一個內角等于40°，求另外兩個內角的度數；

（2）若其一個外角等于40°，求各個內角的度數；

（3）若∠A=40°，求∠B的度數.

教學說明：基于學生的已有知識，研究特殊三角形可從三角形的主要元素角、邊出發設計題組.教師引導學生運用已有知識解答例1的第（1）（2）問，當等腰三角形的已知角為銳角時，需分為頂角和底角兩種情況討論；當已知角為鈍角時，則僅可為頂角，無需分類.例1的第（3）問在前兩問基礎上難度有所提升，條件角∠A為銳角需分類討論，問題角∠B也需要分類討論.若∠A為頂角，則∠B為底角，即70°.若∠A為底角，則∠B可能為底角，也可能為頂角，當∠B為頂角時，即100°；為底角時，即40°.綜上所述，∠B的度數為40°，70°，100°.

追問1：當已知角在哪些范圍內，涉及分類討論？

教學說明：通過追問，學生的思維經歷由特殊到一般的過程，體現了解法的普適性.通過題組，學生較易發現當已知角為銳角時，需分類；已知角為鈍角時，只有一解.筆者繼續引導學生深入探究，根據角的分類，若已知角為直角時，等腰三角形也僅為一解；而有一角為60°的等腰三角形即為等邊三角形，所以也僅為一解.因此可歸納解題經驗，當等腰三角形已知角為60°、直角、鈍角時，為一解，其余情況皆要分類討論.

例2 已知一個等腰三角形兩邊長分別為2和4，求其周長及面積.

追問2：已知一個直角三角形兩邊長分別為2和4，求斜邊的長.

教學說明：該題組從特殊三角形的邊出發設計的，例2是關于等腰三角形邊的分類討論，很多學生易得到2，2，4和4，4，2兩種結果的錯誤分析，要引導學生從知識產生的先后順序分析，等腰三角形屬于三角形，應先滿足三角形邊的存在性，因此2，2，4的情況不成立.追問2是關于直角三角形邊的分類討論，長為4的邊可為斜邊或較長直角邊.

2.2 注重歸納，滲透數學思想

例3 如圖2，∠A=60°，AB=4，C是射線AD上一個動點，當△ABC是銳角三角形時，求CB的取值范圍.

教學說明：例3運用轉化的思想，將問題由特殊三角形遷移至一般三角形中，需考慮“臨界”狀態.如圖3，將“銳角三角形”轉化為“直角三角形”，過點B作BC1⊥AD于點C1，BC2⊥AB交AD于點C2，以直角作為臨界值進行求解.這說明一般三角形中的問題可以轉化為特殊三角形來求解.

例4 在平面直角坐標系中有△ABC，滿足AB=AC，∠BAC=90°，已知A（2，0），B（0，1）.

（1）求點C的坐標；

（2）P是x軸上一動點，當△PBC是等腰三角形時，求點P的坐標；

（3）Q是x軸上一動點，當△QBC是直角三角形時，求點Q的坐標.

教學說明：（1）如圖4，用轉化的思想，過點C作x軸的垂線，垂足為D，化“斜”為“直”構造基本全等模型“一線三直角”；（2）如圖5，等腰三角形PBC分為PB=PC（點P在線段BC的中垂線上，即P1），PB=BC（點P在以點B為圓心，BC為半徑的圓上，即P2，P3），BC=PC（點P在以點C為圓心，BC為半徑的圓上，即P4，P5），進而形成“兩圓一線”的“軌跡”思想，交軌法可以有效防止漏解；（3） 如圖6，Rt△QBC按直角頂點可分為∠CBQ=90°（點Q在過點B且垂直于BC的直線上，即Q1），∠BCQ=90°（點Q在過點C且垂直于BC的直線上，即Q2），∠BQC=90°（依據定長對定角原理，點Q落在以BC為直徑的圓上，即Q3，Q4），進而形成“兩線一圓”的“軌跡”思想.

2.3 總結提煉，提升思維品質

問題1 本節課學到了哪些知識？

問題2 本節課涉及的數學思想有哪些？

教學說明：問題1以例題為載體，意在幫助學生回憶知識點.例1與例2從特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）的邊、角入手，解題中需注意特殊三角形要先滿足三角形的存在性，所以一般三角形是思維起點.再添加角、邊等條件，可將特殊三角形向更特殊的情況遷移，這也為四邊形、圓的學習提供研究方向，因為四邊形可通過分割、補全將其轉化為三角形來處理.在此基礎上引導學生梳理知識要點，點連成線，線結成網，構建知識體系（如圖7）.特殊圖形在后期的學習中，被廣泛應用于全等、相似、三角函數、坐標系中.筆者引導學生自主建構，以專題顯性知識為明線，搭建相關數學知識間的橋梁，建立三角形知識結構體系，從而明確知識從何而來，又將向何而去.

問題2幫助學生提煉數學思維.在整體建構的同時，也引導學生挖掘習題背后的方法、思維這條暗線.例3中一般三角形可“轉化”為特殊三角形解答，例4中運用“兩圓一線”“兩線一圓”的“軌跡”思想進行分類討論.從例3、例4中可提煉出轉化、分類討論、數形結合等思想，有效提升學生思維能力.明暗兩條主線，幫助學生經歷內容的整體性、方法的普適性、邏輯的連貫性、思維的系統性，以提升數學素養.

3 教學反思

當下，在大概念、大觀念等教育理念的影響下，在學生認知規律的作用下，因整體建構能更好地體現知識的廣度，有效地提升“教”的深度與“學”的張力，從而越來越多地應用于教學實踐中，促使學生對知識的理解、思想的感悟實現螺旋上升.

3.1 立足于教，突顯知識的整體性

例題設置時，要突顯知識的生長性，以例題生長助推思維生長.

本節課包括三個部分：基礎例題、典型例題、課堂小結.基礎例題部分教師引導學生以題目為載體，將知識網絡化、結構化，確定特殊三角形研究方向是從邊、角這些主要元素切入，同時引導學生認識特殊三角形與一般三角形之間的聯系.典型例題部分引導學生強化數學思想，加深學生的數學理解.在例題的講授過程中，應以數學知識的內在邏輯聯系為起點，遷移知識以便于挖掘思維的深度，把數學的實質、方法和思想滲透于探究活動的每個環節.課堂小結部分引導學生提煉方法和思維，以幫助學生把握知識之間的區別和聯系，加強數學方法的普適性和思維的系統性，把例題背后知識的數學實質及其體現的數學思想揭示出來.

3.2 立足于學，突顯學習的主動性

教學就是要準確定位和區分教學活動中教與學的主導與主體地位，根據學情分析和對教學內容的理解，設置有效的活動引導學生經歷知識的發生、發展和應用的過程.因此，教學的重點需從“學什么”落到“怎么學”的問題上，即需要教師設計有效的教學活動、提出有效的問題來搭建橋梁，啟發學生積極思考.

課堂活動要引導學生邊解題邊聯想，挖掘題組背后的知識要點，自主構建出三角形思維框架圖，提煉思想方法.事實證明，以學定教可以幫助學生明確思考方向，體現教學的優效.在對三角形知識點進行架構后，還應注重知識、方法間的聯系，讓問題環環相扣、難度層層遞進，再逐個擊破．

基于對專題整體建構的理解以及學生已有的知識經驗和認知水平，在課程目標的指引下，教師通過過程探究和問題引領，從學生“學”的視角對章節整體內容進行分析、建構與設計，有助于學生從整體上把握專題內容的布局與特征，明白專題學習的重難點，感知學習的價值和意義.整體建構對于構建知識的整體性、掌握方法的普適性、體現邏輯的連貫性、提升思維的系統性至關重要，有利于把數學核心素養落到實處.