基于“四個理解”的教學(xué)設(shè)計與思考

摘要：本文中在章建躍博士提出的“理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)”的基礎(chǔ)上，對“正多邊形和圓”一課進行教學(xué)設(shè)計和深入思考，通過深入理解教材，分析學(xué)生的認知特點，借助Geogebra，從數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程角度來構(gòu)建教學(xué)設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：正多邊形和圓；四個理解；教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵是教師，而理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)（以下簡稱“四個理解”）是教師專業(yè)化發(fā)展的基石.但是，在平時的備課中很多教師沒有在“四個理解”上下功夫，而是更多地關(guān)注于研究“怎么教”卻忽略了“教什么”，因為對課程內(nèi)容的理解不夠深入，導(dǎo)致教學(xué)設(shè)計出現(xiàn)問題.在一次市級初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)研中，筆者執(zhí)教了“24.3正多邊形和圓”的公開課，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計和思考整理成文予以呈現(xiàn)，供大家探討.

1 基于“四個理解”的教學(xué)分析

1.1 基于理解數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容解析

本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正多邊形的概念和圓的相關(guān)知識之后，進一步利用圓的性質(zhì)研究正多邊形的相關(guān)問題，把圓分成一些相等的弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形．正多邊形的相關(guān)概念也與正多邊形的外接圓關(guān)系密切，這些知識是正多邊形的畫法和計算的基礎(chǔ)，也是幾何中的基礎(chǔ)知識[1].準(zhǔn)確計算簡單正多邊形相關(guān)元素之間的數(shù)量關(guān)系是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和推理能力的重要途徑，還可以讓學(xué)生體會“類比”和“特殊到一般”的研究方法.

1.2 基于理解數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)

（1）了解正多邊形的概念及正多邊形和圓的關(guān)系.

（2）理解正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角等概念，會計算簡單正多邊形的邊長、半徑、邊心距、中心角、周長和面積.

1.3 基于理解學(xué)生的學(xué)情分析

本節(jié)課前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正多邊形的概念，深入研究了等邊三角形、正方形的相關(guān)知識.但對于正多邊形，學(xué)生腦海中還停留在一些具體的正五邊形、正六邊形等邊數(shù)較小的圖形上，對邊數(shù)趨近于無窮大的正多邊形無限趨近于圓的現(xiàn)象缺乏認識，因此應(yīng)用圓的有關(guān)知識研究正多邊形的問題學(xué)生并不能理解.同時正多邊形的相關(guān)概念都是通過正多邊形外接圓來認識的，學(xué)生很容易混淆.因此，教學(xué)中需要借助多媒體畫圖軟件，展示正多邊形邊數(shù)無限增大時，正多邊形將無限趨近于圓，揭示正多邊形與圓的內(nèi)在聯(lián)系，體會類比歸納的基本思想.

1.4 基于理解技術(shù)的多媒體使用

只要將圓分成一些相等的弧，再依次連接各分點，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，但是讓學(xué)生僅用直尺、圓規(guī)等傳統(tǒng)工具等分弧的難度較大.隨著計算機和信息技術(shù)的發(fā)展，在生產(chǎn)生活中，工藝美術(shù)設(shè)計、機械制圖也大都采用軟件繪圖，因此，可以考慮課堂上向?qū)W生展示用Geogebra等分弧來畫正多邊形，讓學(xué)生觀察隨著正多邊形邊數(shù)n的增加，正多邊形接近于圓的現(xiàn)象，揭示正多邊形和圓的內(nèi)在聯(lián)系，體會正多邊形相關(guān)概念定義的合理性，從而突破難點.

2 基于“四個理解”的過程設(shè)計

2.1 復(fù)舊孕新，滲透方法

問題1 在前面我們研究了圓的性質(zhì)，你能說說同弧或等弧所對的弦有什么關(guān)系嗎？

追問：在圓中，弦長a、弦心距d、半徑r之間滿足什么數(shù)量關(guān)系？依據(jù)是什么？

問題2 正多邊形和圓都是常見的幾何圖形，它們的聯(lián)系非常密切，這一節(jié)課我們就利用圓的有關(guān)知識來研究正多邊形，首先請回憶一下什么是正多邊形？

追問：各邊都相等的多邊形一定是正多邊形嗎？你能舉例說明嗎？各角都相等的多邊形呢？

2.2 類比歸納，構(gòu)建新知

問題3 你會畫一個正五邊形嗎？能不能借助圓來畫正五邊形呢？如何說明畫出的圖形一定是正五邊形呢？

追問：如何證明各邊、各角都相等？你能通過同樣方法證明得到的六邊形是正六邊形嗎？

設(shè)計意圖：如圖1（1），利用Geogebra展示等分弧、依次連接各分點畫正多邊形的過程，并以正五邊形為例進行證明，幫助學(xué)生理清證明的思路.由弧相等可以推出弦相等、圓周角相等，即多邊形各邊相等、各角也相等，得到的五邊形是正五邊形.再演示將圓六等分，連接各分點得到正六邊形，如圖1（2）.

問題4 這樣畫正五邊形的方法同樣可以推廣到正n邊形的情況.大家觀察Geogebra展示，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)n不斷增大時，會有什么現(xiàn)象出現(xiàn)？

追問：可以想象一下當(dāng)正多邊形的邊數(shù)n逐漸增大時，正多邊形和它的外接圓有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計意圖：通過Geogebra的動畫展示，隨著正多邊形邊數(shù)n的增加，正多邊形越來越趨近于圓，從而使學(xué)生理解正多邊形和圓的關(guān)系.

教師借助多媒體的動態(tài)演示，類比圓的相關(guān)概念（圓心、半徑、圓心角），歸納正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念，如圖2.然后通過閱讀教材、同學(xué)之間互相提問加深對概念的理解和記憶.

問題5 在圓中，過圓心作弦的垂線，利用垂徑定理和勾股定理可以求解半徑、弦長和弦心距的長.在正多邊形中，中心角、半徑、邊心距和邊長之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

2.3 應(yīng)用舉例，感受新知

引導(dǎo)學(xué)生利用正多邊形的相關(guān)概念解決實際問題，如教材上的例題中計算亭子地基的周長和面積等.

2.4 課堂小結(jié)，梳理新知

問題6 本節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了哪幾個環(huán)節(jié)？你學(xué)到了哪些新的知識？（可以是一個具體的知識點，也可以是你學(xué)習(xí)到的經(jīng)驗.）還有什么疑惑？這些知識可以幫助你解決什么問題？

3 教學(xué)思考

3.1 理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提

理解教材是當(dāng)好數(shù)學(xué)教師的前提，而理解教材的關(guān)鍵是理解數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)概念的背景，把握概念的邏輯基礎(chǔ)，理解內(nèi)容所反映的思想方法.例如，本節(jié)課的知識安排在圓的性質(zhì)內(nèi)容之后，以“圓”為載體去研究正多邊形的相關(guān)知識，所以教學(xué)中需要關(guān)注正多邊形和圓的知識的內(nèi)在聯(lián)系，弄清教學(xué)內(nèi)容“是什么”，明確“正多邊形和圓”這一教學(xué)內(nèi)容的知識邏輯.

3.2 理解學(xué)生是課堂推進的基本保障

教師在進行教學(xué)設(shè)計時，需要了解學(xué)生的思維規(guī)律，把握學(xué)生的認知特點，分析學(xué)生已經(jīng)具備的認知經(jīng)驗和達成教學(xué)目標(biāo)所需要具備的認知基礎(chǔ)，確定已有的基礎(chǔ)和需要達成的目標(biāo)之間的差異，在此基礎(chǔ)上確定教學(xué)難點及突破難點的策略.

3.3 理解教學(xué)是教學(xué)方案合理性和科學(xué)性的保障

數(shù)學(xué)課堂是有規(guī)律的，教師需要理解教學(xué)的基本規(guī)律，按規(guī)律進行教學(xué).這需要教師在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上，有效駕馭課堂，發(fā)揮教學(xué)智慧，采取合適的教學(xué)方法來指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更高效.

3.4 理解技術(shù)使抽象的數(shù)學(xué)可操作、可視化

信息技術(shù)的運用已經(jīng)成為世界各國數(shù)學(xué)課程改革重視的方向.在教學(xué)中我們要合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，充分了解信息技術(shù)的使用功能，對使用信息技術(shù)的目的做到心中有數(shù)：不是替代板書，而是為了解決教學(xué)上的難點.例如，本節(jié)課借助Geogebra直觀地呈現(xiàn)用傳統(tǒng)工具很難做到的等分弧，以及當(dāng)正多邊形邊數(shù)趨近于無窮大時的圖形，幫助學(xué)生理解正多邊形和圓的關(guān)系.

4 結(jié)語

“四個理解”的水平是教師專業(yè)化發(fā)展水平和育人能力的集中體現(xiàn)，是提高教學(xué)質(zhì)量和效率的決定性因素，也是有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的必備條件[2].基于“四個理解”的教學(xué)設(shè)計有利于提高教師的專業(yè)水平，教師只有備課時在“四個理解”上做出努力，并落實到日常教學(xué)中去，才能使數(shù)學(xué)育人的目標(biāo)落到實處.

參考文獻：

[1]陳飛，應(yīng)雋.基于初中數(shù)學(xué)核心概念及其思想方法的概念教學(xué)設(shè)計——以“正多邊形與圓（1）”的實踐為例[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2016（11）：46-48.

[2]章建躍.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)1）——《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版）》的研究與編寫[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（19）：6-11.