關注核心知識 落實素養導向

基金項目：2022年中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——基于發展學生核心素養的課程資源優化與整合

研究（22ZS061405ZA）.

作者簡介：房一登（1978— ），男，高級教師，主要從事初中數學教育教學研究；

吳麗（1980— ），女，高級教師，主要從事初中數學教育教學研究.

摘" 要：針對2023年全國各地區中考“圖形與坐標”試題進行解題分析，發現試題具有關注核心內容、落實素養導向的特點. 選取了4道優秀試題進行分析，提出復習備考建議，并給出了4道模擬題.

關鍵詞：圖形與坐標；解題分析；備考建議

“圖形與坐標”是初中階段“圖形與幾何”領域三大主題之一，包括“圖形的位置與坐標”“圖形的運動與坐標”兩部分內容，是溝通幾何與代數的橋梁. 建立平面直角坐標系，用坐標表示平面上的點的位置，用坐標表達圖形的變化、簡單圖形的性質，是其核心內容.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中特別指出：要強調數形結合，引導學生經歷用坐標表達圖形的軸對稱、旋轉、平移變化的過程，體會用代數方法表達圖形變化的意義，發展幾何直觀；引導學生經歷借助平面直角坐標系解決現實問題的過程，感悟數形結合的意義，發展推理能力和運算能力，增強應用意識和創新意識. 通過對2023年全國各地區近百份初中學業水平考試（以下統稱“中考”）試卷中的相關試題進行研究，發現該部分試題的命制普遍關注了“圖形與坐標”內容的核心知識，落實了素養導向.

一、試題特點分析

1. 面向全體學生，體現試題的基礎性

例1 （浙江·金華卷）如圖1，兩盞燈籠的位置A，B的坐標分別是[A-3，3，B1，2，] 將點[B]向右平移2個單位，再向上平移1個單位得到點B′，則關于點A，B′的位置描述正確的是（" " ）. [O][x][B][A][y][圖1]

（A）關于x軸對稱 （B）關于y軸對稱

（C）關于原點O對稱 （D）關于直線y = x對稱

目標分析：此題考查了平面直角坐標系中平移與坐標變化的關系，以及關于坐標軸對稱的點的坐標特點.

解法分析：（方法1）根據所給坐標的特點，通過幾何直觀推理得到點B′的大致位置，進而得到點A和點B′關于y軸對稱.

（方法2）根據平移與坐標關系計算出點B′的坐標為[B′3，3]，再根據點A，B′的坐標關系判斷出兩點關于y軸對稱.

解答此題時，要先確定點B平移后的對應點B′的坐標，然后判斷點A與點B′的位置關系. 從解題過程來看，此題難度較小，注重考查基礎知識，也考查了學生的空間觀念、幾何直觀等素養.

題源分析：通過直接設問的方式考查在平面直角坐標系中用坐標描述點的位置，以及圖形運動后對應點的坐標的變化情況. 這類問題相對簡單，運用“圖形與坐標”這一主題必備的基礎知識就可以解決，在多個版本的教材中都能找到類似的例題和習題. 對于此類問題，有的學生會混淆關于x軸對稱與關于y軸對稱的點的坐標的特點，導致解題錯誤.

類題賞析：在平面直角坐標系中，由點的位置寫出坐標，以及寫出已知頂點的多邊形經過平移、軸對稱、旋轉、位似變換后對應點的坐標是“圖形與坐標”的重點內容，比較常見的考查形式是直接考查. 類似地，山東聊城卷第8題要求用坐標表示平移和軸對稱變換，浙江嘉興、舟山卷第5題和湖北鄂州卷第14題要求用坐標表示位似變換，四川瀘州卷第14題要求用坐標表示中心對稱變換，等等.

2. 關注數學本質，體現試題的綜合性

例2 （山東·東營卷）如圖2，在平面直角坐標系中，菱形OABC的邊長為[26]，點B在x軸的正半軸上，且∠AOC = 60°，將菱形OABC繞原點O逆時針方向旋轉60°，得到四邊形OA′B′C′（點A′與點C重合），則點B′的坐標是（ " ）.

[圖2][O][A][C（A′）][B][B′][C′][x][y]

（A）（[36]，[32]） （B）（[32]，[36]）

（C）（[32]，[62]） （D）（[62]，[36]）

目標分析：此題考查了在平面直角坐標系中表示菱形的頂點坐標，并用坐標描述它的旋轉變換，綜合考查了菱形和含30°角的直角三角形的相關知識，涉及數形結合的思想方法. 此題綜合性較強，對學生的空間觀念、推理能力和運算能力要求較高，彰顯了數學的本質.

解法分析：（方法1）由已知，可得旋轉角為60°，故△OBB′是等邊三角形. 由菱形的邊長為[26]，∠AOC = 60°，可以求得△OBB′的邊長為[62]. 進而得到點[B′32，36]. 故此題選B.

（方法2）先分別求點B′到x軸和y軸的距離，再根據點B′所處的象限即可確定其坐標. 如圖3，作點B′到y軸的垂線段B′D，根據旋轉的性質及已知條件可知△ODB′和△C′DB′均為含有30°角的直角三角形，進而可以求得[B′D=32，OD=36]. 故點B′的坐標為[B′32，36]. 當然，也可以延長B′C作x軸的垂線段求解.

[O][A][C（A′）][B][B′][C′][x][y] [D] [圖3]

題源分析：此題是用點的坐標表示幾何圖形的位置，有高中解析幾何的味道. 求解此題，需要學生掌握兩個關鍵的知識點和相應的解法：一是依據旋轉前后圖形的性質和判定進行計算；二是線段長度和坐標之間的轉換. 此題改編自人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“人教版教材”）九年級上冊“23.1 圖形的旋轉”習題23.1第11題，旋轉角由90°改為60°，而含60°角的菱形解法與人教版教材八年級下冊“18.2.2 菱形”中的例3和習題18.2的第5題類似，是常見的圖形計算問題.

類題賞析：四川達州卷第18題綜合了扇形面積計算，新疆生產建設兵團卷第12題綜合了概率知識，黑龍江伊春卷第9題綜合了軸對稱、矩形、相似等知識，湖北鄂州卷第16題綜合了相似、圓等知識. 這些試題都具有一定的綜合性，需要學生運用相關的基礎知識和基本技能進行推理和計算.

3. 注重聯系實際，體現試題的應用性

例3 （貴州卷）圖4是貴陽市城市軌道交通運營部分示意圖，以噴水池為原點，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，若貴陽北站的坐標是（-2，7），則龍洞堡機場的坐標是" " ".

[正北][ ] [2號線][噴水池] [貴陽北站] [貴陽火車站][1號線][龍洞堡機場][圖4]

目標分析：此題的情境并不復雜，考查了在實際情境中用建立的平面直角坐標系描述物體的位置.

解法分析：解答此題時，先確定平面直角坐標系，再根據龍洞堡機場在平面直角坐標系所處的位置即可得到其坐標為（9，-4）.

題源分析：此題采取網格地圖的形式呈現，有利于學生建立平面直角坐標系并解決問題. 有的學生會忽略具體位置在平面直角坐標系中所處的象限，從而導致坐標中的符號出現錯誤. 此題與人教版教材七年級下冊“7.2.1 用坐標表示位置”中的探究問題及該章的“數學活動”類似.

類題賞析：此題基于生活情境命制，考查圖形與坐標的相關內容. 類似地，山東臨沂卷第4題以在花園中種桂花為情境，浙江臺州卷第6題以象棋文化為情境，山東棗莊卷第13題以活化石植物銀杏為情境. 除了建立平面直角坐標系外，還可以用極坐標的方法表示地理位置，如江蘇連云港卷第13題.

4. 關心學生成長，體現試題的發展性和創新性

例4 （山東·東營卷）如圖5，一束光線從點A（-2，5）出發，經過y軸上的點B（0，1）反射后經過點C（m，n），則2m - n的值是" " " " .

[C][O][B][A][y][x] [圖5]

目標分析：此題設問新穎，將數學與物理學科知識相融合，考查了平面直角坐標系中坐標的意義及反射的基本原理（軸對稱性），對學生后續學習起到了鋪墊作用，關注了學生的發展.

解法分析：（方法1）如圖6，過點A作AD⊥Oy，過點C作CE⊥Oy，垂足分別為點D，E，易證得△ADB ∽ △CEB. 從而可得[CEBE=ADBD]. 由[A-2，5，B0，1，] [Cm，n]得各線段的長或表示方法，代入比例式即可解得2m - n = -1.

[E][D] [C][O][B][A][y][x] [圖6]

（方法2）如圖7，利用軸對稱性，過點B作x軸的平行線（即作對稱軸），求出反射后點A的對稱點[A′-2，-3，] 再利用待定系數法可求得直線BC的解析式為y = 2x + 1，把點[Cm，n]代入，可得2m - n = -1.

[A′] [O][B][A][y][x] [圖7]

題源分析：學生解題時可能會糾結于點C位置的不確定性. 其實，正是由于這種不確定性，才會產生點的橫、縱坐標的對應變化關系. 由此可見，理解問題本質至關重要.

類題賞析：湖北武漢卷第10題利用皮克定理創設了數學情境，需要學生設計解決問題的途徑，考查了學生的抽象能力、推理能力和空間想象能力.

二、優秀試題分析

例5 （四川·涼山州卷）如圖8，[?ABCD]的頂點O，A，C的坐標分別是[O0，0， A3，0， C1，2. ]則頂點B的坐標是" " " " .

[圖8][A（3，0）][C（1，2）][B][O][x][y]

題意理解：此題要求學生根據已知的平行四邊形的三個頂點的坐標求第四個頂點的坐標，對應《標準》中“對給定的正方形，會選擇合適的平面直角坐標系，寫出它的頂點坐標，體會可以用坐標表達簡單圖形”的內容要求.

思路探求：根據平行四邊形的性質，利用平移和對應點的坐標的變化規律即可求解.

解答過程：利用OC∥AB且OC = AB，可得B（4，2）. 利用CB∥OA且CB = OA亦可得B（4，2）.

回顧反思：類似地，即使平行四邊形的任意一邊與坐標軸不平行也可以同理求解.

例6 （山西卷）蜂巢結構精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形（如圖9）. 圖10是部分巢房的橫截面圖，圖中7個全等的正六邊形不重疊且無縫隙，將其放在平面直角坐標系中，點P，Q，M均為正六邊形的頂點. 若點P，Q的坐標分別為[P-23，3，] [Q0，-3]，則點M的坐標為（" " ）.

lt;＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數初中版2023年飛翔＼中數初中2023年第11期＼蜂窩.jpggt; [Q][M][O][P][x][y][圖10][圖9]

（A）（[33]，-2） （B）（[33]，2）

（C）（2，-[33]） （D）（-2，-[33]）

題意理解：此題將蜂巢（正六邊形組合）置于平面直角坐標系中，要求學生根據已知的頂點P，Q的坐標求未知頂點M的坐標.

思路探求：此題綜合性較強，難度適中. 先根據點P或者點Q的坐標求得正六邊形的邊長，再根據頂點M與點P或點Q的位置關系利用平移的性質即可求得點M的坐標. 此題的難點在于利用坐標求正六邊形的邊長，易錯點在于忽略點M所處的象限，出現符號錯誤.

解答過程：（方法1）如圖11，設正六邊形的邊長為a，由正六邊形的性質，得[OB=12a，] [OA=32a]. 由點P的坐標為[P-23，3，] 可求得a = 2. 根據平移的性質，可得點M的坐標為[M33，-2].

[圖11] [Q][M][O][P][x][y][A][B][]

（方法2）如圖12，作DE⊥OQ于點E，類似于方法1，利用點Q的坐標可以求得點M的坐標為[M33，-2].

[圖12] [Q][M][O][P][x][y] [D][E][]

（方法3）此題作為選擇題，根據選項的設置，可以直接通過觀察并利用排除法得到結果. 首先，判斷點M在第四象限，故排除選項B和選項D，然后直觀判斷點M的橫坐標的絕對值比縱坐標的絕對值大，故選擇選項A.

回顧反思：蜂巢是大自然的杰作，蜂巢的六邊形結構被廣泛運用于生活中. 對于此題，掌握圖形與坐標、正六邊形的性質、含30°角的直角三角形的性質是正確求解的關鍵. 此題設問用心，關注數學本質，解題過程體現了對學生的空間觀念、幾何直觀、推理能力和運算能力的考查.

例7 （湖南·張家界卷）如圖13，在平面直角坐標系中，四邊形ABOC是正方形，點A的坐標為（1，1），[AA1]是以點B為圓心，BA為半徑的圓弧；[A1A2]是以點O為圓心，OA1為半徑的圓弧；[A2A3]是以點C為圓心，CA2為半徑的圓弧；[A3A4]是以點A為圓心，AA3為半徑的圓弧，繼續以點B，O，C，A為圓心，按上述作法得到的曲線A A1 A2 A3 A4 A5…稱為正方形的“漸開線”，則點A2 023的坐標是_______.

[A2][A1][A3][A][C][O][B][A4][y][x] [圖13]

題意理解：此題給出一組點的旋轉變換及旋轉中心的坐標，讓學生尋找旋轉點的坐標之間的規律，并確定按此規律變換得到的點A2 023的坐標.

思路探求：探尋圖形變化的規律是解決這類問題的關鍵. 此題的難點在于：一是旋轉中心在變；二是旋轉的半徑在變. 通過列舉分析發現每4次旋轉后回到第一個旋轉中心點B，半徑從1開始，每次增加1. 求出點A1，A2，A3，A4的坐標，基于此找到變化規律是解題的關鍵.

解答過程：將點A以1為半徑繞點B順時針旋轉90°得到點A1，

將點A1以2為半徑繞點O順時針旋轉90°得到點A2，

將點A2以3為半徑繞點C順時針旋轉90°得到點A3，

將點A3以4為半徑繞點A順時針旋轉90°得到點A4，

將點A4以5為半徑繞點B順時針旋轉90°得到點A5.

由此可以得出規律：每4個點作為一組，分別繞點B，O，C，A順時針旋轉90°，且半徑分別為1，2，3，…，n，每次旋轉的半徑長增加1.

因為2 023 ÷ 4 = 505……3，故A2 023為點A2 022以點C為圓心，2 023長為半徑順時針旋轉90°所得.

所以點A2 023的坐標為[-2 023，1].

回顧反思：此題考查點的運動與坐標變化的關系，需要學生通過觀察、推理和歸納來解決問題，綜合性較強，突出了數學知識的本質. 解題過程體現了對學生空間觀念、幾何直觀、推理能力和運算能力等的考查.

例8 （河北卷）在平面直角坐標系中，設計了點的兩種移動方式：從點（x，y）移動到點（x + 2，y + 1）稱為一次甲方式；從點（x，y）移動到點（x + 1，y + 2）稱為一次乙方式.

例如，點P從原點O出發連續移動2次：若都按甲方式，最終移動到點M（4，2）；若都按乙方式，最終移動到點N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最終移動到點E（3，3）.

（1）設直線l1經過上例中的點M，N，求l1的解析式，并直接寫出將l1向上平移9個單位長度得到的直線l2的解析式.

（2）點P從原點O出發連續移動10次，每次移動按甲方式或乙方式，最終移動到點Q（x，y）. 其中，按甲方式移動了m次.

① 用含m的式子分別表示x，y；

② 試說明：無論m怎樣變化，點Q都在一條確定的直線上. 設這條直線為l3，在圖14中直接畫出l3的圖象.

[ ] [33][30][27][24][21][18][15][12][9][6][3][33

30

27

24

21

18

15

12

9

6

3

][O][x][y][圖14]

（3）在（1）和（2）中的直線l1，l2，l3上分別有一個動點A，B，C，橫坐標依次為a，b，c，若A，B，C三點始終在一條直線上，直接寫出此時a，b，c之間的關系式.

題意理解：此題閱讀量較大，設問有梯度. 總題干用坐標的形式表示兩種平移方式，并通過實例降低了學生的理解難度. 第（1）小題比較簡單，即求經過已知兩點的直線解析式和平移后的直線解析式；第（2）小題難度有所提升，設問方式比較抽象，增加了“點P從原點O出發連續移動10次”及“按甲方式移動了m次”的條件，要求用含m的代數式表示經過10次平移后得到的點的坐標，并證明無論m（0 ≤ m ≤ 10）取何整數值這些點都在同一條直線上，并畫出圖形；第（3）小題綜合了前兩道小題的結果，分別在三條直線上找三個點，要求這三個點在同一條直線上時它們橫坐標之間的關系.

思路探求：第（1）小題利用待定系數法可以直接求得經過點M，N的直線解析式，平移后的直線解析式利用平移的特點即可求得.

第（2）小題根據已知條件可知若點P從原點出發按甲方式移動了m次，則按乙方式移動了[10-m]次. 雖然不知道具體的移動情況，但是從結果的角度來看，其實就是向右移動[2m+10-m]個單位長度，向上移動[m+210-m]個單位長度，故可得x = m + 10，y = 20 - m. 觀察兩式，發現x + y = 30，故點P始終在直線 y = -x + 30上.

第（3）小題拋開了主題干，單獨考慮三條直線上的點共線時這三點橫坐標的數量關系. 首先，利用解析式表示點的坐標；其次，選取其中任意兩點作直線，求得解析式；最后，把第三個點代入此解析式中消元，可得三個橫坐標之間的數量關系. 這個過程需要學生解含有字母系數的方程組，要求學生具備較強的運算能力，既是難點也是易錯點.

解答過程：（1）設直線l1的解析式為y = kx + b，由待定系數法代入M和N兩點坐標可求得l1的解析式為y = -x + 6. 將直線l1向上平移9個單位長度得到的直線l2的解析式為y = -x + 15.

（2）① 點P從原點O出發按照甲方式移動了m次后得到的點的坐標為[2m，m]，點[2m，m]按照乙方式移動[10-m]次后得到的點的橫坐標為[2m+10-m]= m + 10，縱坐標為[m+210-m=20-m.] 所以x = m + 10，y = 20 - m.

② 因為x + y = m + 10 + 20 - m = 30，所以直線l3的解析式為y = -x + 30. 函數圖象略.

（3）由題意，設[Aa，-a+6，] [Bb，-b+15，][Cc，-c+30.]

設直線AB的解析式為y = px + q，代入A，B兩點的坐標，可得直線AB的解析式為y =[-1+9b-a]x + 6 -[9ab-a].

因為A，B，C三點始終在一條直線上，

所以[-1+9b-a]c + 6 -[9ab-a]= -c + 30.

解得5a + 3c = 8b.

所以a，b，c之間的關系式為5a + 3c = 8b.

回顧反思：此題設計新穎，從學生熟悉的平移和坐標的關系出發，引申出一系列問題，別具匠心，而且問題設置從易到難，既考查基本方法，也兼顧了數學思維，需要學生具備一定的抽象能力、空間觀念和推理能力，體現了中考素養導向的考查要求.

三、復習備考建議

通過以上對2023年全國各地區中考試卷中部分“圖形與坐標”試題的解題分析，提出以下備考建議.

1. 回歸教材，注重基礎

“圖形與坐標”內容的本質是平面上的點與坐標的一一對應，即用數來刻畫形，用形來直觀地表示數. 這部分試題在中考中常作為簡單題進行考查. 復習中，教師要注意引導學生回歸教材，掌握相關的基礎知識和基本技能. 例如，平面直角坐標系中各象限及特殊位置點的坐標的特點；能用坐標描述幾何圖形的位置；會用坐標表達圖形的變換. 同時，要注意聯系圖形，會用坐標表達簡單圖形的性質.

2. 提升能力，注重思想

平面直角坐標系是溝通幾何與代數的橋梁. 在復習過程中，教師要引導學生回歸數學本質，關注數學知識的整體性、結構化，在解決綜合性較強的數學問題的過程中關注數學思想方法的運用，以提高學生的思維能力和解決綜合性問題的能力.

3. 聯系實際，強化應用

在真實情境或新的情境中運用數學知識解決問題是《標準》提出的發展學生數學核心素養的重要手段. 圖形與坐標的應用就是用坐標表示位置. 因此，在復習過程中，教師要多關注與情境相結合的問題，從而增強學生的應用意識. 根據《標準》提出的評價要求，教師也可以設置一些含有新的情境的問題，以在解決問題的過程中提升學生的數學核心素養.

四、模擬題示例

1. 如圖15，點A，B，C都在方格紙的格點上，若點A的坐標為[A-2，1]，點B的坐標為[B0，-1]，則點C關于y軸對稱的對稱點C′的坐標為（" " ）.

[ ] [圖15][C][B][A]

（A）（2，-1） （B）（1，-2）

（C）（2，1） （D）（-1，2）

答案：B.

2. 如圖16，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，⊙P經過點A，與x軸相切于點C，過點A作y軸的垂線交⊙P于點B. 若⊙P的半徑為5，點A的坐標為[A0，1]，則點B的坐標是（" " ）.

（A）（6，1） （B）（6，2）

（C）（8，1） （D）（8，2）

答案：A.

3. 圖17是某次飛行表演中戰機在空中展示的軸對稱隊形. 以飛機B，C所在直線為x軸、隊形的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系，現需將隊形繞原點O順時針旋轉90°. 若飛機E的坐標為（40，-30），則飛機E旋轉后的坐標為" " " " " ".

答案：（-30，-40）.

4. 如圖18，已知點[A0，3，B3，0，] 將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC = 60°，BC = 2AB，則點D的坐標是（" " ）.

[圖18][A][B][C][D][y][O][x]

（A）（2[3]，6） （B）（3[3]，6）

（C）（2[3]，9） （D）（3[3]，9）

答案：C.

注：本文系教育部新時代中小學學科領軍教師示范性培訓（2023—2024年）華中師范大學培養基地階段研修成果.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育課程方案（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］史寧中，曹一鳴.《義務教育數學課程標準（2022年版）》解讀［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［4］喻平. 發展學生數學核心素養的教學與評價研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.