聚焦核心知識·注重思想應用·指向素養提升

基金項目：2022年中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——基于核心素養的學業質量標準與考試評價（22ZS111408ZB）.

作者簡介：姜黃飛（1975— ），男，高級教師，主要從事初中數學教育教學研究；

張宗余（1976— ），男，高級教師，主要從事中學數學教育教學和命題研究.

摘" 要：函數是初中數學的核心知識與重要數學模型，蘊含豐富的數學思想與方法，是培養和考查學生數學核心素養的重要載體，也是中考命題的熱點. 2023年全國各地區中考“函數”試題聚焦對函數核心知識的考查，注重數學思想方法的應用，關注函數的應用意識，指向數學核心素養的提升，凸顯素養導向. 文章從目標分析、解法分析、題源分析和類題賞析四個方面對2023年全國各地區中考“函數”部分的優秀試題進行剖析，在此基礎上對2024年中考“函數”專題的復習備考提出三點建議并提供部分模擬題.

關鍵詞：解題分析；核心知識；思想方法；素養提升

函數是“數與代數”領域的核心知識，是整個中學階段的重要內容. 與《義務教育數學課程標準（2011年版）》相比，《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）在“函數”專題的內容與要求上都有一定的變化. 2023年全國各地區初中學業水平考試（以下統稱“中考”）“函數”專題在應對課程標準的變化，考查核心概念、核心知識的基礎上，對函數的本質屬性、函數與其他知識的關聯，以及建立函數模型解決實際問題的應用能力與意識方面都有較好的體現.

一、試題特點分析

1. 關注基礎，聚焦核心概念考查

2023年全國各地區中考“函數”試題注重對函數知識中核心概念的考查，從實際情境中抽象出數學模型，考查變量之間的關系，數形結合地分析問題，注重考查抽象能力和幾何直觀等素養. 對函數基礎知識和核心概念的考查要求如下：探索簡單實例中的函數關系和變化規律；了解常量和變量的意義；了解函數的概念和三種表示方法，能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析等.

例1 （河北卷）圖1是一種軌道示意圖，其中ADC和ABC均為半圓，點M，A，C，N依次在同一直線上，且AM = CN. 現有兩個機器人（看成點）分別從M，N兩點同時出發，沿著軌

道以大小相同的速度勻速移動，其路線分別為[M→A→D→C→N]和[N→C→B→A→M]. 若移動時間為x，兩個機器人之間距離為y，則y與x關系的圖象大致是（" " ）.

[（A）][1][1][O][x][y] [（B）][1][1][O][x][y]

[（C）][1][1][O][x][y] [（D）][1][1][O][x][y]

目標分析：此題需要學生將運動中數量關系的變化與圖象進行對比，經歷從數到形的轉換，考查對函數概念的理解，以及對函數三種表達形式之一的圖象法的轉化.

解法分析：通過找運動時的特殊點，直觀感知兩個機器人之間距離的變化. 由距離的增減變化對應圖象的直觀體現. 兩個機器人分別從M，N兩點同時出發，速度相同，所以同時到達點A，C，它們之間的距離y越來越小，故排除選項A和選項C；當兩個機器人分別沿A→D→C和C→B→A移動時，距離為直徑長，保持不變；當兩個機器人分別沿C→N和A→M移動時，距離越來越遠，故排除選項B. 故此題答案選D.

題源分析：此類用圖象刻畫了一個運動變化過程中兩個變量的變化規律的問題，在各版本教材中都有出現，如人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊習題19.1第8題的“漏壺”問題. 反之亦可以給出圖象，考查學生的讀圖、識圖能力，教材中更多的是此類問題.

類題賞析：2023年全國各地區中考試卷中，四川廣安卷第7題、浙江嘉興卷第10題等都是這種考查方式. 而像貴州卷第12題、山東聊城卷第10題等則是給出函數圖象，要求從圖象中獲取信息并加工，數形結合地進行解答.

2. 蘊含思想，考查函數的圖象與性質

函數的圖象與性質是函數內容的核心知識，主要涉及如下內容：一是函數的解析式中各項系數與函數圖象位置的關系，由系數確定圖象的位置或由圖象確定系數；二是函數的增減性、對稱性和最值問題的考查，體現了數與形的完美結合. 所以數形結合思想是解決此類問題的基本思想，也是解題的基本路徑.

例2 （北京卷）在平面直角坐標系xOy中，[Mx1，y1]，[Nx2，y2]是拋物線[y=ax2+bx+cagt;0]上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x = t.

（1）若對于x1 = 1，x2 = 2，有y1 = y2，求t的值；

（2）若對于0 lt; x1 lt; 1，1 lt; x2 lt; 2，都有y1 lt; y2，求t的取值范圍.

目標分析：此題需要學生對二次函數的對稱性、增減性等性質有較深刻的理解，考查數形結合思想、運算能力與推理能力.

解法分析：（1）根據二次函數的性質得對稱軸為直線[x=x1+x22=32]，所以t的值為[32].

（2）由題意，得[Mx1，y1]離對稱軸更近，[x1lt;x2]，則[Mx1，y1]與[Nx2，y2]的中點在對稱軸的右側. 根據對稱性求得[12lt;x1+x22lt;32]，進而根據[x1+x22gt;t]即可求解得[t≤ 12].

題源分析：此題考查的是二次函數的對稱性、增減性等重要性質，求對稱軸和比較函數值的大小是常見的題型. 對于動對稱軸問題，學生的常見錯誤有：一是對兩段區間關于x = t的位置考慮不全，忽視對稱軸兩邊都有分布的情況；二是對線段MN的中點在對稱軸的哪一側分析不清楚. 解題時可以結合不等式的運算及線段MN的中點關于對稱軸的位置進行推理，或是數形結合地討論區間的分布使問題解決更加直觀.

類題賞析：類似地，新疆卷第9題、浙江寧波卷第9題、安徽卷第9題等對函數的圖象與性質都進行了考查.

3. 知識關聯，考查函數與方程、不等式

函數是初中代數學習的一條主線，貫穿整個中學階段的代數學習，統領著數與式、方程與不等式內容的學習.《標準（2022年版）》新增了“知道二次函數和一元二次方程之間的關系”等內容，站在函數的視角看方程與不等式，是解決方程與不等式問題的有效路徑.

例3 （湖南·衡陽卷）已知m gt; n gt; 0，若關于x的方程x2 + 2x - 3 - m = 0的解為x1，x2（x1 lt; x2），關于x的方程x2 + 2x - 3 - n = 0的解為x3，x4（x3 lt; x4），則下列結論正確的是（ " ）.

（A）x3 lt; x1 lt; x2 lt; x4" （B）x1 lt; x3 lt; x4 lt; x2

（C）x1 lt; x2 lt; x3 lt; x4 （D）x3 lt; x4 lt; x1 lt; x2

目標分析：站在方程視角，此題考查解一元二次方程，并會比較解的大小；站在函數視角，此題考查函數與方程的關系，以及應用函數解決方程問題的能力.

解法分析：直接求解得x1 =[-4+m-1]，x2 =[4+m-1]，x3 =[-4+n-1]，x4 =[4+n-1]. 因為m gt; n gt; 0，可得x1 lt; x3 lt; x4 lt; x2. 或者用函數的觀點看，一元二次方程的解是對應拋物線y = x2 + 2x - 3分別與直線y = m和直線y = n交點的橫坐標的大小比較，如圖2所示更為直觀. 此題選B.

[圖2][x1][x3][x4][x2][y = n][y = m][y = m][y][x][O]

題源分析：此題形式上是兩個含參數的一元二次方程解的比較問題，可以由直接求解比較，但含參數m和n會給部分學生解方程和比較解的大小帶來一定的困難. 利用函數的觀點，通過數形結合的方法使得解答更為直觀. 各版本教材在例題和練習題中都安排了較多相關的內容，教師在教學中需給予足夠的重視.

類題賞析：類似地，浙江寧波卷第19題、四川南充卷第10題、湖南岳陽卷第8題等，以及涉及二次函數系數考查的試題中，函數與方程、不等式的考查是常考試題. 用函數的視角看方程與不等式，或是站在方程的視角看函數，都有相應的考查.

4. 函數建模，考查應用意識與能力

函數是研究運動變化的重要模型，函數的學習過程中蘊含著豐富的數學思想與方法.《標準（2022年版）》指出，函數的教學要通過對現實問題中變量的分析，建立兩個變量之間變化的依賴關系，讓學生理解用函數表達變化關系的實際意義，并運用相關性質解決實際問題. 會用函數表達現實世界事物的簡單規律，經歷用數學的語言表達現實世界的過程，提升學生學習數學的興趣，進一步發展學生的應用意識. 在2023年全國各地區中考“函數”試題中，存在大量與實際情境相關聯、應用函數模型解決現實生活問題的試題，較好地考查了學生的模型觀念與應用意識.

例4 （湖北·武漢卷）某課外科技活動小組研制了一種航模飛機. 通過實驗，收集了飛機相對于出發點的飛行水平距離x（單位：m）、飛行高度y（單位：m）隨飛行時間t（單位：s）變化的數據如表1所示.

表1

[飛行時間[t / s] 0 2 4 6 8 … 飛行水平距離[x / m] 0 10 20 30 40 … 飛行高度[y / m] 0 22 40 54 64 … ]

探究發現：x與t，y與t之間的數量關系可以用我們已學過的函數來描述. 直接寫出x關于t的函數解析式和[y]關于t的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）.

問題解決：如圖3，活動小組在水平安全線上[A]處設置一個高度可以變化的發射平臺試飛該航模飛機. 根據上面的探究發現解決下列問題.

[A][M][N][水平安全線][圖3]

（1）若發射平臺相對于安全線的高度為0 m，求飛機落到安全線時飛行的水平距離；

（2）在安全線上設置回收區域MN，AM = 125 m，MN = 5 m. 若飛機落到MN內（不包括端點M，N），求發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍.

目標分析：首先，學生要對一次函數、反比例函數、二次函數的相關概念和性質理解到位；其次，充分理解題意，將實際問題經過分析轉變為數學問題，建立相應的數學模型；最后需要具備一定的推理能力和運算能力.

解法分析：“探究發現”部分，先猜想函數類型，再設函數表達式，通過待定系數法求解并驗證，得x = 5t，[y=-12t2+12t].

“問題解決”部分，第（1）小題是已知函數值求自變量的值. 當[-12t2+12t=0]時，解得[t1=0]（舍），[t2=24]. 當[t=24]時，x = 120.

解答第（2）小題的關鍵是設發射平臺相對于安全線的不同高度時的函數表達式，結合飛行水平距離x的范圍求解.

設發射平臺相對于安全線的高度為n m，

則飛機相對于安全線的飛行高度[y1=-12t2+12t+n].

因為125 lt; x lt; 130，

所以125 lt; 5t lt; 130.

所以25 lt; t lt; 26.

在[y1=-12t2+12t+n]中，

當[t=25，y1=0]時，n = 12.5；

當[t=26，y1=0]時，n = 26.

所以12.5 lt; n lt; 26.

所以發射平臺相對于安全線的高度的變化范圍是大于12.5 m且小于26 m.

題源分析：此題的探索發現過程是典型的函數建模過程，在多個版本的教材中可以找到原型. 其中，x與t是典型的正比例函數關系，y與t的函數類型不易直接看出，需要經歷猜想與驗證，這是問題解決的難點.“問題解決”中，需要理解改變高度相當于將拋物線向上平移. 若學生不理解這一點，就無法解決此題. 同時，此題通過兩個函數關系關聯三個變量，涉及字母較多，是學生解題的難點所在.

類題賞析：綜觀2023年全國各地區中考試卷，函數建模與函數應用是考查的重點之一. 湖南郴州卷第24題構造的函數是滿足平移關系的雙曲線. 此外，湖北宜昌卷第18題、江蘇連云港卷第27題、四川達州卷第23題、浙江臺州卷第24題等都考查了函數的建模與應用，而且大多數作為壓軸題進行考查.

5. 推理分類，考查存在性問題

函數是溝通代數與幾何的橋梁. 函數圖象關聯平面幾何圖形的考查，也是中考考查的重點內容. 綜觀2023年全國各地區中考“函數”試題，存在性問題是一類常見試題. 此類試題涵蓋的知識面廣，蘊含函數與方程、數形結合、分類討論等數學思想方法，綜合性強，通常考查學生的識圖作圖、幾何直觀、推理能力、運算能力等關鍵能力和核心素養，常以壓軸題的形式呈現.

例5 （湖北·隨州卷）如圖4，平面直角坐標系xOy中，拋物線y = ax2 + bx + c過點[A-1，0]，[B2，0]和[C0，2]，連接BC，點[Pm，n][mgt;0]為拋物線上一動點，過點[P]作PN⊥Ox交直線BC于點M，交x軸于點N.

（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；

（2）如圖5，連接OM，當△OCM為等腰三角形時，求m的值；

（3）當點P在運動過程中，在y軸上是否存在點Q，使得以O，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似（其中點P與點C相對應）. 若存在，直接寫出點P和點Q的坐標；若不存在，試說明理由.

[圖4][圖5][O][A][B][C][y][x][O][A][B][C][y][x][N][P][M]

目標分析：此題考查用待定系數法求函數解析式，以及等腰三角形、相似三角形的性質與判定等知識，需要學生選擇適當策略進行分類討論，對學生思維的嚴謹性有著較高的要求，綜合考查學生的幾何直觀、推理能力、運算能力等素養.

解法分析：第（1）小題直線的解析式為y = -x + 2，已知拋物線與x軸的交點坐標，可設交點式，用待定系數法求得拋物線的解析式為y = -x2 + x + 2；第（2）小題可設點M的坐標，分別表示出△OCM三邊的長度，兩兩相等分類討論，這是破解等腰三角形存在性問題的常用方法，求得m = 1或m =[2]或m = 2；解決第（3）小題，需要對點P在點[B]左側或右側進行分類討論，分別表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解m的值，進而可得點P，Q的坐標分別為[P2， 2]，[Q0， 2-1]，或[P1+133， 7+139]，[Q0， 4-2139]，或[P1+3，-1-3]，[Q0，1]，或[P1+5，-3-5]，[Q0，-2].

題源分析：此題是架構在拋物線背景下的等腰三角形存在性問題和相似三角形存在性問題，是拋物線關聯平面幾何的典型試題，對學生的分類討論意識和運算能力要求較高. 試題中限定了點P與點C相對應，但是另兩組點的對應還需分類討論，學生容易漏解. 同時，容易漏掉點P在點B右側的情形.

類題賞析：綜觀2023年全國各地區中考試卷，安徽卷第23題是拋物線背景下一定面積的四邊形存在性問題，浙江金華卷第24題是拋物線背景下角的存在性問題. 此外，也有考查直角三角形、平行四邊形、菱形、正方形等各種圖形存在性的問題，且一般都在壓軸題位置出現.

二、優秀試題分析

1. 深化數形結合，考查函數系數與圖象的關系

例6 （湖北·鄂州卷）已知拋物線[y=ax2+bx+][c a≠0]的對稱軸是直線[x=1]，且過點[-1，0]，頂點在第一象限，其部分圖象如圖6所示. 給出以下結論：①[ablt;0]；②[4a+2b+cgt;0]；③[3a+cgt;0]；④ 若[Ax1，y1]，[Bx2，y2]（其中[x1lt;x2]）是拋物線上的兩點，且[x1+x2gt;2]，則[y1gt;y2]，其中正確的選項是（ " ）.

[圖6][-1][x = 1][-1][O][x][y]

（A）①②③ （B）①③④

（C）②③④ （D）①②④

題意理解：此題考查了二次函數的圖象與各項系數符號的關系，圖象上點的位置與其對應的方程與不等式解集之間的關系，以及二次函數的對稱性、增減性等知識，主要考查學生讀取圖象信息的能力、數形結合思想，以及代數推理能力.

思路探求：結論①可以直接根據對稱軸與y軸的位置，決定a，b是否同號；結論②中的4a + 2b + c是x = 2時的函數值，結合圖象，根據x = 2時點的位置即可判斷；結論③式子中不含系數b，所以借助對稱軸直線x = 1得到a和b的關系，再利用一個已知的點得到關于a，b，c的關系式，將b用含a的代數式代換即可；結論④則是通過比較A，B兩點距對稱軸的遠近，結合函數增減性求解.

解：因為圖象開口向下，所以a lt; 0. 又由對稱軸為直線x =[-b2a]= 1，得b = -2a gt; 0，所以ab lt; 0. 故①正確.

由于圖象過點[-1，0]，所以由對稱性可得二次函數與[x]軸的另一個交點坐標為[3，0]，由圖象可知x = 2時對應的點在x軸的上方，所以[4a+][2b+cgt;0]，故②正確.

因為當x = -1時y = 0，所以a - b + c = 0. 把[b=-2a]代入，得[3a+c=0]. 故③錯誤.

由對稱軸是直線[x=1]，得當[x1+x2gt;2]時，[x1+x22gt;1]. 又因為[x1lt;x2]，所以自變量x1對應的點比x2對應的點更靠近對稱軸. 又因為當a lt; 0時，距離對稱軸越近的點的函數值越大，所以[y1gt;y2]. 故④正確.

綜上所述，正確的選項是①②④.

故此題選D.

回顧反思：此類題型是對教材中分散的多個知識點的整合，每一個小結論考查的知識點都可以在教材中找到原型. 解題時需要理解函數的每一個系數與圖象的聯系，以及各系數之間的關聯，在教學時可作一些較深入的探究. 例如，探究系數a與b的符號關系與對稱軸的關聯，判斷“2a + b”“2a - b”“3a + c”等的符號，已知一個系數的范圍考查另一個系數的范圍，引入函數最值的考查，等等. 在教學中，教師需要將內容進行歸類再引導學生分析，找到每一類考查點的破解之道.

綜觀2023年全國各地中考試卷，考查函數系數與圖象的關系的試題較多，而且較多位于選擇題或填空題的壓軸位置，如湖北黃岡卷第8題為選擇題的壓軸題，考查了不同點函數值的比較、最值，以及函數與方程的關系. 此外，四川達州卷第10題、湖北武漢卷第15題、湖北鄂州卷第9題、山東棗莊卷第10題、山東聊城卷第11題、內蒙古通遼卷第12題等都是類似的考查方式.

2. 聚焦核心知識，考查函數最值問題

例7 （浙江·杭州卷）設二次函數[y=ax-m ·][x-m-k]（a gt; 0，m，k是實數），則（" " ）.

（A）當[k=2]時，函數[y]的最小值為[-a]

（B）當[k=2]時，函數[y]的最小值為[-2a]

（C）當[k=4]時，函數[y]的最小值為[-a]

（D）當[k=4]時，函數[y]的最小值為[-2a]

題意理解：此題考查了二次函數的最值問題，求解拋物線的對稱軸和最值. 利用拋物線的對稱性求出拋物線的對稱軸是解題的關鍵. 用方程的視角看二次函數，易得y = 0時方程的解，即是拋物線與x軸交點的橫坐標. 對于此類問題，教師要引導學生理解函數與方程之間的聯系，既要會用函數的視角看方程，也要會用方程的視角看函數，體現數與形的完美結合.

思路探求：題目所給的是二次函數的交點式，利用交點式可知拋物線與x軸的兩個交點坐標，從而得出拋物線的對稱軸，再分別求出當k = 2和k = 4時函數y的最小值即可.

解：令y = 0，則[ax-mx-m-k]= 0.

解得[x1=m]，[x2=m+k].

所以拋物線的對稱軸為直線[x=m+m+k2=2m+k2].

當[k=2]時，拋物線對稱軸為直線[x=m+1]，把[x=m+1]代入[y=ax-mx-m-2]，得y = -a.

因為[agt;0]，所以當[x=m+1]，[k=2]時，y有最小值[-a]. 故選項A正確，選項B錯誤.

當[k=4]時，拋物線的對稱軸為直線[x=m+2]，把[x=m+2]代入[y=ax-mx-m-4]，得[y=-4a].

因為[agt;0]，所以當[x=m+2]，[k=4]時，y有最小值[-4a]，故選項C和選項D錯誤.

故此題選A.

回顧反思：教材中，給出二次函數的交點式，要求函數最值的問題是較常見的. 而此題在二次函數交點式[y=ax-x1x-x2 a≠0]中引入參數m和k，使試題在形式上更具不確定性. 而當k確定時，其實表達式中只含a和m兩個參數，而對稱軸只與m有關，所以表達出對稱軸后就不難求解最值了. 但學生若直接將二次函數的交點式化為一般式，再套用一般式的對稱軸公式求解對稱軸，計算量會比較大，從而造成求解失敗. 教學中，教師應引導學生明晰二次函數的一般式、頂點式、交點式的特征，使學生會選擇恰當的表達形式進行分析、解題.

綜觀2023年全國各地區中考試卷，遼寧大連卷第9題考查了求一個定區間的二次函數最大值問題. 此外，多數試卷的壓軸題考查了二次函數的最值問題，如江蘇連云港卷第26題、浙江臺州卷第24題、浙江紹興卷第23題、山東東營卷第25題、四川涼山州卷第28題、湖南永州卷第26題、山西卷第23題等.

3. 溝通代數與幾何，考查多知識的融合

例8 （浙江·寧波卷）如圖7，點A，B分別在函數[y=ax agt;0]圖象的兩支上（A在第一象限），連接AB交x軸于點C. 點D，E在函數[y=bx blt;0，xlt;0]的圖象上，AE∥Ox，BD∥Oy，連接DE，BE. 若AC = 2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則[a-b]的值為__________，a的值為__________.

[圖7][B][D][C][O][A][E][x][y]

題意理解：此題考查了反比例函數圖象上點的特點、系數k的幾何意義、平行線分線段成比例定理的應用、相似三角形的性質、坐標與圖形的面積等知識，以及方程思想、等積轉化思想等，需要學生具備一定的代數推理能力.

思路探求：此題解法多樣，大方向分為兩類. 一類是借助題中已知條件之間的關聯，如“AC = 2BC，AE∥Ox，BD∥Oy”，通過設反比例函數圖象上的點的坐標，利用題中已有的條件“△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14”等列方程，解方程即可；另一類則是利用反比例函數k的幾何意義，靈活應用等積轉化及面積的比求解反比例函數的比例系數.

解：（方法1）如圖8，延長BD，AE交于點N，BD交x軸于點M.

[圖8][B][M][D][C][O][A][E][N][x][y]

因為AE∥Ox，BD∥Oy，所以∠N = 90°.

設[Am， am]，[Bn， an]，

所以[Nn， am]，[Dn， bn]，[Ebma， am].

所以BD =[bn]-[an]，EN =[bma]- n，AE = m -[bma]，BN =[am]-[an].

由S△ABE = 9，S四邊形ABDE = 14，得S△BDE = 5.

所以得[12bn-anbma-n=5， 12m-bmaam-an=9.]

整理，得（b - a）（bm - an） = 10na，①

（a - b）（n - m） = 18n. ②

又因為OM∥AN，AC = 2BC，

所以[BMMN=BCAC=12].

所以MN = 2BM.

所以[am=2-an].

得[n=-2m]. ③

把③代入②，得-3m（a - b） = 18 × （-2m）.

解得a - b = 12. ④

把③代入①，得（b - a）（b + 2a） = -20a. ⑤

由④⑤，解得a = 9.

（方法2）如圖9，連接AO，EO，BO，DO. 延長BD，AE交于點N，BD交x軸于點M.

[圖9][B][M][D][C][O][A][E][x][y] [N]

因為AC = 2BC，AE∥Ox，BD∥Oy，

所以S△BOD = S△AOE =[23]S△ABE =[23]× 9 = 6，

即[a-b2=6].

所以a - b = 12.

由S△BDE = 5，得[NEMO=56].

又因為AC = 2BC，

所以點A的縱坐標的絕對值是點B的縱坐標的絕對值的2倍.

所以設E（m，6k），則B（6m，-3k），D（6m，k）.

所以[DMBM=13].

所以a =[34]（a - b） = 9.

回顧反思：此題是一道以兩個反比例函數圖象上已知比例的線段和三角形、四邊形的面積，求解比例系數的問題. 可以通過設點列方程求解，考查了方程思想及學生的代數推理能力. 方法1需要設的字母較多，對學生的運算能力和推理能力有較高的要求. 方法2通過等積轉化和利用已知比例進行面積轉化，考查了反比例函數k的幾何意義. 但此類方法中，面積的轉化較為靈活，對學生也有著較高的要求，所以此類試題往往作為壓軸題呈現.

綜觀2023年全國各地區中考試卷，四川宜賓卷第11題、湖南張家界卷第8題都考查了已知線段比與三角形面積求反比例函數的系數k的問題. 此外，安徽卷第14題考查了兩條線段的平方差，山東煙臺卷第15題則是結合圓中相切的知識進行考查.

三、復習備考建議

1. 立足基礎，聚焦核心知識，形成網絡

歷年中考函數內容的考查是全方位的，既有函數概念、圖象與性質、簡單應用等基礎知識的考查，又有引入參數，融合多個知識的綜合考查，如含字母的一定區間函數最值問題，與平面幾何圖形相關聯的最值問題，以及各種存在性問題等難度較高的試題. 而解決這些試題，就需要以基礎性問題解決為前提，加以適度地拓展. 因此，中考復習時，教師一定要先把重點放到基礎問題的解決上，夯實學生的基礎知識和基本技能，發揮教材的示范性作用，回歸教材，引導學生應用基礎知識解決相關問題，提升學生的“四基”“四能”. 然后，將幾類函數的復習融合起來，形成知識網絡，使學生從“學會”到“會學”.

2. 勤于反思，優化解題路徑，提升能力

在中考復習中，教師要關注反思提煉環節，引導學生多反思，從多視角、多方位去思考一個問題，一題多解，一題多變，多題歸一. 教師需要多開展一些專題的變式教學，引導學生深入挖掘問題的本質，優化解題路徑，尋求通性通法. 例如，對例5中各類存在性問題具體的解題思路進行反思與提煉，從而內化經驗，提升能力.

3. 注重思想，加強滲透引導，指向素養

數形結合、函數建模是“函數”內容中的核心思想，指向幾何直觀和模型觀念的培養. 中考復習中，要關注“數”與“形”的相互轉化. 例如，上述例2和例3都可以通過畫出函數大致圖象使問題解決變得更為直觀，例8中反比例函數系數a，b的絕對值對應的幾何意義，等等. 在解決問題中需要關注對學生抽象能力的培養. 例如，類似于例1和例4的相關題型，往往都是由實際情境轉化為數學問題，再抽象成不同函數模型，進而求解，因此需要強化學生的抽象能力和模型觀念. 而在具體的問題解決中需要關注學生推理能力和運算能力的培養，在中考復習中需要有計劃地滲透、引導并加以訓練. 例如，本文中的例5和例8的求解過程對學生的推理能力和運算能力都有較高的要求.

四、模擬題示例

1. 已知點[A0，0.59]，[B2，-1]，[C2，0.59]在二次函數[y=ax2+bx+c][a≠ 0]的圖象上，則方程[ax2+bx+1.59=0]的解為" " " " " .

答案：[x1=2]，[x2=2-2].

2. 如圖10，以菱形OABC的頂點O為原點，邊OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系，∠AOC = 60°，過C點的反比例函數[y=kx]交AB于點D，則[ADAB]的值為（" " ）.

（A）[25]" （B）[2-1]

（C）[2-3] （D）[33]

答案：B.

3. 如圖11，已知拋物線[y=ax-22-2][a≠0]與x軸交于原點O與點A，點B為頂點.

（1）求拋物線的表達式；

（2）若在坐標平面內（直線AB的左側）存在點[P2，m]，[Q-1，n]，使得[S△PBA=S△QAB]= 3，求m，n的值；

（3）在（2）的條件下，若將拋物線向下平移k個單位長度，拋物線與線段BQ都只有一個公共點，求k的取值范圍.

[圖11][B][A][O][x][y]

答案：（1）[y=12x2-2x]；

（2）m = 1，n = -2；

（3）0 ≤ k ≤[92].

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］姜黃飛，陳世文. 2020年中考“函數”專題解題分析［J］. 中國數學教育（初中版），2021（1 / 2）：47-56.

［3］孫鋒，楊明. 注重本質理解·強化應用意識·導向素養發展：2022年中考“函數”專題解題分析［J］. 中國數學教育（初中版），2023（1 / 2）：32-41.