基金項目：2022年中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——基于發展學生核心素養的課程資源優化與整合研究（22ZS061405ZA）.

作者簡介：周遠方（1962— ），男，正高級教師，湖北省特級教師，主要從事中學數學教材、教學和評價研究；

陳朝建（1970— ），男，中學高級教師，主要從事初中數學教育教學研究；

胡紅芳（1968— ），男，正高級教學，湖北省特級教師，主要從事中學數學教育教學研究．

編者按：《中國數學教育》“中考專刊”深耕中考研究十七載，堅持圍繞當年的中考數學試題策劃專題內容. 2023年“中考專刊”以《義務教育數學課程標準（2022年版）》為依據，參照數學課程學業質量標準的要求，突出核心素養導向的評價觀. 編輯部邀請來自全國17個省、市的權威專家分“命題分析”和“解題分析”兩個專版，按“整體評價”和“專題評價”兩個層次，通過三個維度對2023年全國各地區中考試卷展開分析，幫助教師理解中考試題的命題理念和考查要求，促進學生理解中考試題的考查要點和解題方向. 文章中所用中考試題如有出入，以官方發布為準. 同時，為了深度落實2022年中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——基于發展學生核心素養的課程資源優化與整合研究，編輯部將對這些優質資源進行優化與整合，幫助教師更方便地選取優質數學課程資源開展教學. 本課題文章將持續刊登，歡迎廣大教師繼續關注！

摘" 要：2023年中考數學試題依據義務教育數學課程標準命制，落實立德樹人根本任務，聚焦核心素養，突出關鍵能力考查，體現了中考“兩考合一”的評價功能、選拔功能、育人功能和導向功能. 命題突出數學本質，重視理性思維，關注時代氣息，強調學以致用，全面體現基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求，充分凸顯了重基礎、重思維、重應用、重創新的考查特點，有效發揮了對初中數學教學的積極引導作用. 基于此，中考數學復習應堅持重教材、重變式、重歸納、重結構的策略，引導學生學會思考，注重通性通法，提升關鍵能力，發展數學核心素養．

關鍵詞：中考數學；試題特點；整體分析；復習建議

2023年全國各地區初中學業水平考試（以下統稱“中考”）數學試題的命制落實了《教育部辦公廳關于做好2023年中考命題工作的通知》（教基廳函〔2023〕6號）的總體要求，以《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）的內容要求、學業要求和命題要求為依據，突出體現運算是具體的推理，推理是抽象的運算，注重算中有想、想中有算，體現算想結合考素養；堅持穩中有變、變中求新，體現“穩”“變”“新”“活”考能力；科學把握必備知識與關鍵能力的考查關系，準確把握了數學題型的開放性與數學思維的開放性，全面體現了基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求.

本文通過梳理分析2023年全國各地區中考數學試題，從“四層”（必備知識、關鍵能力、學科素養和核心價值）的角度，對“四性”（基礎性、綜合性、應用性和創新性）的特點進行整體分析，并以典型試題和優秀試題為例，按“四析”（目標解析、解法分析、試題分析和類題賞析）的要求詮釋“四能”（評價功能、選拔功能、育人功能和導向功能）的作用，同時為2024年的中考數學教學提供具有針對性和可操作性的復習備考建議.

一、試題特點分析

2023年全國各地區中考數學試題呈現注重基礎性、突出綜合性、關注應用型、引導創新性的特點，試題立足于考查學生在深刻理解知識基礎上的靈活運用，聚焦于學生數學核心素養的發展水平，著眼于全方位考查學生的數學關鍵能力，融合傳承與創新的同時，有效促進教考銜接.

1. 立足基礎，考查必備知識的掌握程度

中考數學試題是對學生九年數學學習學業質量水平的整體檢測，涵蓋的知識面較廣，情境設置關注時事熱點和時代特征，既有時代的變化性，又有地域的多樣性，與此同時，仍然體現了立足考查基礎的顯著特點. 與往年一樣，2023年中考的許多基礎性試題注重在相互關聯中考查通性通法，在考查必備知識系統性和認知體系完整性的同時，引導學生體會數學中蘊含的人文教育精神.

例1 （山東·濟南卷）2023年，國內文化和旅游行業復蘇勢頭強勁. 某社團對30個地區“五一”假期的出游人數進行了調查，獲得了它們“五一”假期出游人數（出游人數用m表示，單位：百萬）的數據，并對數據進行統計整理. 數據分成5組：A組：1 ≤ m lt; 12；B組：12 ≤ m lt; 23；C組：23 ≤ m lt; 34；D組：34 ≤ m lt; 45；E組：45 ≤ m lt; 56.

下面給出了部分信息：

a. B組的數據：12，13，15，16，17，17，18，20.

b. 不完整的“五一”假期出游人數的頻數分布直方圖和扇形統計圖如圖1和圖2所示.

試根據以上信息完成下列問題.

（1）統計圖中E組對應扇形的圓心角度數為 " " ；

（2）試補全頻數分布直方圖；

（3）這30個地區“五一”假期出游人數的中位數是 " " " 百萬；

（4）各組“五一”假期的平均出游人數如表1所示，求這30個地區“五一”假期的平均出游人數.

目標解析：此題主要考查扇形統計圖、條形統計圖、頻數分布直方圖等統計基礎知識，同時考查了用樣本估計總體思想、數據觀念和應用意識.

解法分析：解決此題的過程中應用了用樣本估計總體、求扇形的圓心角度數等知識. 掌握相關知識，利用數形結合思想解題是關鍵. 第（1）小題需要根據扇形統計圖與條形統計圖的對應關系，用360°乘E組地區個數占地區總數的比例來求E組對應扇形的圓心角度數；第（2）小題要先求出D組地區個數，再求得C組地區個數，從而補全頻數分布直方圖；第（3）小題要根據中位數的定義求解；第（4）小題要根據加權平均數的定義求解.

解：（1）統計圖中E組對應扇形的圓心角度數為360° ×[330]= 36°.

（2）D組地區個數為30 × 10% = 3（個），則C組地區個數為30 - （12 + 8 + 3 + 3） = 4（個）.

補全的頻數分布直方圖如圖3所示.

（3）這30個地區“五一”假期出游人數的中位數是[15+162]=15.5（百萬）.

故答案為15.5.

（4）[5.5×12+16×8+32.5×4+42×3+50×330=20].

答：這30個地區“五一”假期的平均出游人數是20百萬.

試題分析：此題以統計圖表為載體，旨在評價學生的數據觀念，引導學生經歷有條理地收集、整理、描述、分析數據的過程. 在學生熟知的生活背景中展開數學問題，引導學生在情境中解決問題，感悟數據中蘊含的信息，進而從數據中發現規律，養成用數據說話的習慣，發展應用意識，凸顯了中考數學試題基礎性的特點.

類題賞析：統計圖表既是“統計與概率”領域的必備知識，又是每年中考考查的重點內容. 通過統計圖表考查學生的數據觀念，有助于學生通過比較更好地理解不同統計量與統計圖表的意義及適用情境. 2023年全國各地區中考試題中，類似的試題還有天津卷第20題、云南卷第19題、安徽卷第21題、廣西卷第22題、貴州卷第18題、吉林卷第22題等. 此類問題考查學生對應用抽樣與數據分析解決實際問題過程的整體認知，對實際操作具有指導意義.

2. 突出綜合，甄別關鍵能力的發展水平

基于中考“評價與選拔合二為一”的功能定位，綜合性也是中考試題的重要特征之一. 這種綜合性既體現在考查內容跨板塊的縱橫關聯上，也體現在多種思想方法的選擇與運用上. 2023年中考試題既有對四個領域內部知識的深度探究，也有不同領域知識之間的跨界綜合，通常體現為壓軸題，用于甄別學生關鍵能力的發展水平.

例2 （黑龍江·齊齊哈爾卷）綜合與探究：如圖4，拋物線y = -x2 + bx + c上的點A，C坐標分別為[A0，2]，[C4，0]，拋物線與x軸負半軸交于點B，點M為y軸負半軸上一點，且OM = 2，連接AC，CM.

（1）求點M的坐標及拋物線的解析式；

（2）點P是拋物線位于第一象限圖象上的動點，連接AP，CP，當S△PAC = S△ACM時，求點P的坐標；

（3）點D是線段BC（包含點B，C）上的動點，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點Q，交直線CM于點N，若以點Q，N，C為頂點的三角形與△COM相似，試直接寫出點Q的坐標；

（4）將拋物線沿x軸的負方向平移得到新拋物線，點A的對應點為點A′，點C的對應點為點C′，在拋物線平移過程中，當 MA′+ MC′的值最小時，新拋物線的頂點坐標為 " " " ，MA′ + MC′的最小值為 " " " .

目標解析：此題主要考查求二次函數的解析式、二次函數的圖象與性質、相似三角形的性質、平移的性質、最短路徑問題、三角形面積公式等知識，是一道函數與幾何的綜合題，難度較大，重點考查學生運算能力、推理能力、幾何直觀等素養的發展水平.

解法分析：第（1）小題根據點M所在的位置可以直接得到點M的坐標，利用待定系數法可以求得拋物線的解析式；第（2）小題需要先用待定系數法求得直線AC的解析式，再利用三角形的面積公式求得點P的橫坐標的值，從而得出點P的坐標；第（3）小題需要分∠CQN = 90°和∠QCN = 90°兩種情況討論，解得點Q的橫坐標的值，從而得到點Q的坐標；第（4）小題可以通過找對稱點的方法，利用兩點間的距離公式求得兩條線段長度的最小值，再利用待定系數法確定點M的平移后的坐標和平移距離，并將原拋物線的解析式化為頂點式，得到其頂點，從而確定新拋物線的頂點坐標.

解：（1）因為點M在y軸負半軸，且OM = 2，

所以[M0，-2].

將[A0，2]，[C4，0]代入y = -x2 + bx + c，得

[c=2，-16+4b+c=0.]

解得[b=72，c=2.]

所以拋物線的解析式為[y=-x2+72x+2].

（2）如圖5，過點P作PF⊥Ox于點F，交線段AC于點E.

[B][O][A][P][C][M][x][y][圖5] [F][E]

設直線AC的解析式為y = kx + m（k ≠ 0），

將[A0，2]，[C4，0]代入y = kx + m，得[m=2，4k+m=0.]

解得[m=2，k=-12.]

所以直線AC的解析式為[y=-12x+2].

設點P的橫坐標為p（0 lt; p lt; 4），

則[Pp，-p2+72p+2]，[Ep，-12p+2].

所以[PE=-p2+72p+2--12p+2=-p2+4p 0lt;plt;4. ]

因為 [S△ACM=12AM · OC=8]，

所以S△PAC =[12]PE·OC = -2p2 + 8p = 8.

解得p = 2.

所以點P的坐標是[P2，5].

（3）因為在△COM中，∠COM = 90°，且以點Q，N，C為頂點的三角形與△COM相似，

所以以點Q，N，C為頂點的三角形也是直角三角形.

因為QD⊥Ox，直線QD交直線CM于點N，

所以∠CNQ ≠ 90°，即點N與點O不是對應點，

故分為∠CQN = 90°和∠QCN = 90°兩種情況討論.

① 如圖6，當∠CQN = 90°時，由于QN⊥Ox，所以CQ⊥Oy，即CQ在x軸上，

[O][A][P][C][M][x][y][圖6] [N]

因為點Q在拋物線上，所以此時點B與點Q重合.

此時∠CQN = ∠COM = 90°.

因為∠QCN = ∠OCM，

所以△CQN ∽ △COM.

令y = -x2 +[72]x + 2 = 0，

解得x1=[-12]，x2 = 4（舍去）.

所以點Q的坐標是[Q-12，0].

② 當∠QCN = 90°時，如圖7所示.

[O][A][C][M][x][y][圖7] [D][Q][N][B]

因為QD⊥Ox，∠COM = 90°，所以QD∥OM.

所以∠CNQ = ∠OMC.

因為∠QCN = ∠COM = 90°，

所以△QCN ∽ △COM.

所以∠CQN = ∠OCM，即∠DQC = ∠OCM.

因為∠QDC = ∠COM，

所以△QDC ∽ △COM.

所以[QDDC=COOM=42=2]，即QD = 2DC.

設點Q的橫坐標為q，

則[Qq，-q2+72q+2]，[Dq，0].

所以[QD=-q2+72q+2]，[CD=4-q].

所以[-q2+72q+2=][24-q].

解得q1 =[32]，q2 = 4（舍去）.

所以點Q的坐標是[Q32，5].

綜上所述，點Q的坐標為[-12，0]或[32，5].

（4）設拋物線沿x軸的負方向平移m個單位長度得到新拋物線，將點M向右平移m個單位長度得到點M′，如圖8所示.

[O][A][C][M][x][y][圖8][B] [C″][M′] [C′][A′]

由平移的性質，可知MA′ = M′A，MC′ = M′C.

所以MA′+ MC′的值最小就是M′A + M′C的最小值.

顯然點M′在直線y = -2上運動，作點C關于直線y = -2的對稱點C″，連接AC″交直線y = -2于點M′，則此時M′A + M′C取得最小值，即為AC″的長度.

因為點C″是點C關于直線y = -2的對稱點，且[C4，0]，

所以[C″4，-4].

所以AC″ =[4-02+-4-22=213].

所以M′A + M′C的最小值為[213].

設直線AC″的解析式是y = k1x + b1，將點[A0，2]，[C″4，-4]代入，得[b1=2，4k1+b1=-4.]

解得[b1=2，k1=-32.]

所以直線AC″的解析式是[y=-32x+2].

令[y=-32x+2=-2]，解得[x=83].

所以M′[83，-2].

所以平移的距離m =[83].

因為[y=-x2+72x+2=-x-742+8116]，

所以平移前的拋物線的頂點坐標是[74， 8116].

所以新拋物線的頂點坐標為[74-83， 8116]，

即[-1112， 8116].

試題分析：此題綜合性極強，涉及多個數學知識、方法及原理的運用. 第（2）小題的解題需要靈活使用公式計算三角形的面積；第（3）小題需要先將△QCN特殊化為直角三角形再分類討論，這樣可以簡化分類討論的情形；第（4）小題需要將點M向反方向平移，從而將兩個動點的問題轉化成一個動點來解決. 函數與幾何知識的綜合加大了對關鍵能力的考查力度，要求學生能在具體問題中結合數量關系與直觀形式，融合相關數學概念、性質、法則和方法解決問題，對學生的幾何直觀、推理能力和運算能力都提出了較高要求.

類題賞析：函數是研究運動變化的重要數學模型，是培養和考查學生數學核心素養的重要載體，在初中數學中具有核心地位. 常見的考查方式包括三種函數（一次函數、二次函數、反比例函數）之間的結合，以及基本幾何圖形（如三角形和四邊形等）與函數圖象的結合，或再添加運動變化的條件. 此類試題主要應用函數與對應方程和不等式的關系，以及圖形全等或相似等知識求解點的坐標、線段的長度和圖形的面積等，體現了對學生推理能力和幾何直觀素養的考查. 2023年全國各地區中考試卷中，類似的試題還有湖北黃岡卷第24題、湖北武漢卷第24題、吉林長春卷第24題、天津卷第25題等.

3. 關注應用，體現核心素養的育人功能

《標準》要求學生在解決數學問題的過程中感受數學在實際生活中的應用，體會數學的應用價值. 因此，2023年中考數學試題的命制重視運用數學必備知識、基本思想方法和常用模型解決實際問題，體現數學應用的廣泛性，引導學生學以致用，提升數學核心素養.

例3 （浙江·金華卷）問題：如何設計“倍力橋”的結構？

圖9是搭成的“倍力橋”，縱梁a，c夾住橫梁b，使得橫梁不能移動，結構穩固.

lt;＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數初中版2023年飛翔＼中數初中2023年第11期＼Image＼孫峰圖1.jpggt;[橫梁b][縱梁a][縱梁c][圖9]

圖10是長為l（cm），寬為3 cm的橫梁側面示意圖，三個凹槽都是半徑為1 cm的半圓. 圓心分別為O1，O2，O3，O1M = O1N，O2Q = O3P = 2 cm，縱梁是底面半徑為1 cm的圓柱體. 用相同規格的橫梁和縱梁搭“橋”，間隙忽略不計.

[橫梁][單位：cm] [2][3][Q][P][N][O1] [O2][O3] [M] [2] [圖10]

探究1：圖11是“橋”側面示意圖，A，B為橫梁與地面的交點，C，E為圓心，D，H1，H2是橫梁側面兩邊的交點. 測得AB = 32 cm，點C到AB的距離為12 cm，試判斷四邊形CDEH1的形狀，并求l的值.

[圖11] [A][B][D][E][C][H1][H2]

探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環，其側面示意圖的內部形成一個多邊形.

① 若有12根橫梁繞成環，圖12是其側面示意圖，內部形成十二邊形H1H2…H12，求l的值；

[圖12] [H11][H12][H1][H2][H3][…]

② 若有n根橫梁繞成的環（n為偶數，且n ≥ 6），試用關于n的代數式表示內部形成的多邊形H1H2H3…Hn的周長.

目標解析：此題主要考查學生運用數學知識和方法解決簡單實際問題的能力，考查菱形的性質和判定、銳角三角函數、勾股定理等知識，以及學生的應用意識和建模能力.

解法分析：探究1中，根據所給圖形即可判斷出四邊形CDEH1的形狀，再結合等腰三角形的性質，利用勾股定理即可求出l的值. 探究2中，① 根據十二邊形的特性可知∠CH1H2 = 30°，利用特殊角的正切值求出CH1的長度，最后利用菱形的性質可求出EH1的長度，從而求得l的值；② 根據正多邊形的特性，結合菱形的性質和正切值的求法即可表示出l的長.

解：探究1：四邊形CDEH1是菱形. 理由如下：

由圖11可知CD∥EH1，ED∥CH1，

所以四邊形CDEH1為平行四邊形.

因為橋梁的規格是相同的，

所以橋梁的寬度相同，即四邊形CDEH1每條邊上的高相等.

所以四邊形CDEH1每條邊相等.

所以四邊形CDEH1為菱形.

如圖13，過點C作CM⊥AB于點M，CM交H1H2于點N.

[圖13] [A][B][D][E][C][H1][H2] [M][N]

由題意，得CA = CB，CM = 12 ，AB = 32 .

所以AM =[12]AB = 16.

在Rt△CAM中，[CA=AM2+CM2=162+122=20.]

所以l = CA + 2 = 22，即l的長為22 cm.

探究2：① 由題意，得∠H1CH2 = 120°，CH1 = CH2，CN = 3.

所以∠CH1N = 30°.

所以CH1 = 2CN = 6，H1N =[62-32=33].

因為四邊形CDEH1是菱形，

所以EH1 = CH1 = 6 .

所以l = 2 ×[2+6+33]= 16 + [63]，

即l的長為[16 +63]cm.

② 依題意，形成的正n邊形的外角∠CH1H2 =[360°n].

如圖13，在Rt△CNH1中，

[H1N=CNtan∠CH1H2=3tan 360°n].

又因為CH1 = CH2，CN⊥H1H2，

所以H1H2 = 2H1N =[6tan360°n].

所以形成的多邊形的周長為[6ntan360°n]cm.

試題分析：此題是以“倍力橋”為背景設計的實際應用題，考查了菱形的性質和判定、銳角三角函數、勾股定理的應用等知識. 解題的關鍵在于將生活實際和有關數學知識有效結合，并熟練掌握相關性質. 此題對學生讀懂信息、明確題意的數學閱讀理解能力提出了較高要求，體現了數學模型的應用價值和工具作用，有利于引導學生養成理論聯系實際的習慣，發展學生的模型觀念和應用意識.

類題賞析：數形結合思想是解決圖形與幾何問題的基本思想. 綜觀近幾年全國各地區中考試題，立足于對基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗等方面的考查，突出對學生數學觀察、數學思考、數學表達能力的考查，滲透了對抽象能力、推理能力、運算能力和模型觀念等數學核心素養的考查，彰顯了數學的理性思維和數學的育人功能. 2023年全國各地區中考試卷中，類似的試題還有湖南常德卷第23題、山西卷第20題、江蘇徐州卷第26題、山東濟南卷第20題、四川達州卷第19題、遼寧錦州卷21題、甘肅白銀卷第22題、湖南邵陽卷第24題等. 此類試題不僅都體現了這種考查特點，而且致力于教材資源的開發，讓教材發揮其應有的范本功能.

4. 適度創新，突出數學思維的普適價值

《標準》指出，培養學生的創新精神、創新意識和創新能力是初中數學課程教學的重要任務. 2023年的中考數學試卷中有很多開放性試題，它們為學生提供了發揮的空間，賦予了學生選擇的權利，這種自主選擇包括選擇自己關注的問題、習慣的分析問題的方向、拿手的解決問題的方法，這是理性思維的高度體現，需要學生具有較強的獨立思考能力和批判性思維品質，對學生知識、能力和素養的考查更深刻、更有效、更寬廣.

例4 （甘肅·蘭州卷）在平面直角坐標系中，給出如下定義：P為圖形M上任意一點，如果點P到直線EF的距離等于圖形M上任意兩點距離的最大值時，那么點P稱為直線EF的“伴隨點”.

例如，如圖14，已知點[A1，2]，[B3，2]，[P2，2]在線段AB上，則點P是直線EF：x軸的“伴隨點”. [圖14][O][x][y][A][B][P][E][F]

（1）如圖15，已知點[A1，0]，[B3，0]，P是線段AB上一點，直線EF過[G-1，0]，[T0， 33]兩點，當點P是直線EF的“伴隨點”時，求點P的坐標.

[圖15][O][x][y][A][B][P][E][F][G][T]

（2）如圖16，x軸上方有一等邊三角形ABC，BC⊥Oy，頂點A在y軸上且在BC上方，[OC=5]，點P是△ABC上一點，且點P是直線EF：x軸的“伴隨點”.當點P到x軸的距離最小時，求等邊三角形ABC的邊長.

[圖16][O][x][y][A][B][P][E][C][F]

（3）如圖17，以[A1，0]，[B2，0]，[C2，1]為頂點的正方形ABCD上始終存在點P，使得點P是直線EF：y = -x + b的“伴隨點”. 試直接寫出b的取值范圍.

[圖17][O][x][y][A][B][P][F][C][D][E]

目標解析：此題屬于新定義題型，主要考查一次函數的相關知識及銳角三角函數的應用，同時考查了學生的創新意識、動手實踐能力、運算能力和推理能力.

解法分析：第（1）小題中，由已知點的坐標可以求出∠TGO的度數和點P到直線EF的距離，從而利用銳角三角函數求出線段GP的長，進而可得點P的坐標；第（2）小題需要先確定當點P在線段BC上時，點P到x軸距離的最小值，從而通過解方程即可求出三角形的邊長；第（3）小題中，由已知點的坐標先確定正方形的邊長，再求出點P到直線EF的距離，即可求出b的取值范圍.

解：（1）因為線段AB上任意兩點距離的最大值為2，且點P是直線EF的“伴隨點”，即點P到直線EF的距離為2，如圖18，過點P作PC⊥EF于點C.

[圖18][O][x][y][A][B][P][E][F][G][T] [C]

由題意知，GO = 1，TO =[33]，

則tan ∠TGO =[TOGO=33].

所以∠TGO = 30°.

所以GP =[CPsin∠TGO=2sin30°=4].

所以[P3，0].

（2）設等邊三角形ABC的邊長為2a（0 lt; a lt;[5]），則[Ca， 5-a2]，△ABC上任意兩點距離的最大值即為2a.

當點P在線段BC上時，點P到x軸的距離最小，且距離為[5-a2].

由題意，知[5-a2]= 2a.

解得a =1或a = -1（舍去）.

所以此時等邊三角形ABC的邊長為2.

（3）如圖19，由題意知，正方形ABCD的邊長為1. 所以正方形ABCD上任意兩點距離的最大值為[2]. 因為正方形ABCD上的點P是直線EF的“伴隨點”，所以點P到直線EF的距離為[2]. [O][x][y][A][B][P][F][C][D][E] [l1][圖19]

將EF向上或者向下平移2個單位長度得到直線l1，直線l1與直線EF平行，且兩直線間的距離為[2].

所以點P既在直線l1上，又在正方形ABCD的邊上，即直線l1與正方形ABCD有交點.

當b ≤ 1時，l1為y = -x + b + 2，當l1過點A時，b = -1，當l1過點C時，b = 1，即-1 ≤ b ≤ 1；

當b gt; 1時，l1為y = -x + b - 2，當l1過點A時，b = 3，當l1過點C時，b = 5，即3 ≤ b ≤ 5；

綜上所述，當-1 ≤ b ≤ 1或3≤ b ≤ 5 時，正方形ABCD上始終存在點P，使得點P是直線EF的“伴隨點”.

試題分析：此題以新定義為載體，分步設問，梯次展開，綜合性較強，考查學生即學即用的能力. 解題的關鍵是讀懂定義，找到每個情況下點P到直線EF的實際距離，有助于引導學生在解題過程中逐步克服困難，養成獨立思考、反思質疑和勇于創新的學習習慣.

類題賞析：即學即用能力是指學生能夠即刻運用新習得的數學知識或方法解決問題的一種遷移能力，其學習方法與“定義—表示—性質—應用”的研究路徑一脈相承. 近幾年部分中考試題設計新穎別致，關注利用創新思維解決問題的一般觀念. 解決問題的過程需要運用聯系與變化的觀點，厘清量與量之間的關系，發現對應關系及其規律，體現創新性的考查要求. 2023年全國各地區中考試卷中，類似的試題還有湖北隨州卷第23題、山東日照卷第23題、四川成都卷第23題、重慶B卷第18題、北京卷第28題等. 此類試題采用新定義的方式命制，立足新穎性，注重適度的開放性和有效的探索性，落實“雙減”政策要求，促進學生創新意識和應用意識的提升.

二、優秀試題分析

優秀數學試題通常應該具備六個基本要素，即基本要求達標，考查目標明確，情境設計新穎，區分功能優良，育人價值突出，引導作用顯著. 其中，結合學生的認知水平和生活經驗，設計真實合理的生活情境、數學情境、科學情境，滲透數學文化，測量學生對數學概念、原理、思想方法的理解程度，有效展現學生的數學素養及繼續學習的潛能，是優秀數學試題的顯著標志.

在2023年全國各地區中考試卷中，有很多優秀的情境化試題值得分析和研究，深刻領悟其中蘊含的價值和功能，可以為今后的數學復習備考提供參考.

1. 以真實化的問題情境考查理性精神

真實化的問題情境主要源于與日常生活、生產實踐及社會實際密切相關的問題背景，跨學科融合，重在考查數學與其他學科和社會生活實際的關聯，考查學生發現、提出、分析和解決實際問題的能力，有助于培養學生的科學精神、理性思維和創新意識，促進學生真懂會用，體現以境育人.

例5 （廣西卷）【綜合與實踐】有言道：“桿秤一頭稱起人間生計，一頭稱起天地良心”. 某興趣小組將利用物理學中杠桿原理制作簡易桿秤，小組先設計方案，然后動手制作，再結合實際進行調試，試完成下列方案設計中的任務.

【知識背景】如圖20，稱重物時，移動秤砣可使桿秤平衡，根據杠桿原理推導得：[m0+m · l= M ·] [a+y]，其中秤盤質量m0克，重物質量m克，秤砣質量M克，秤紐與秤盤的水平距離為[l]厘米，秤紐與零刻線的水平距離為a厘米，秤砣與零刻線的水平距離為y厘米.

lt;＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數初中版2023年飛翔＼中數初中2023年第11期＼Image＼廣西卷秤桿.pnggt;[圖20" 桿秤示意圖][秤盤][重物][秤砣][零刻線][末刻線][秤紐][l][a][y]

【方案設計】目標：設計簡易桿秤. 設定m0 = 10，M = 50，最大可稱重物質量為1 000克，零刻線與末刻線的距離定為50厘米.

任務1：確定l和a的值.

（1）當秤盤不放重物，秤砣在零刻線時，桿秤平衡，試列出關于l，a的方程.

（2）當秤盤放入質量為1 000克的重物，秤砣從零刻線移至末刻線時，桿秤平衡，試列出關于l，a的方程.

（3）根據（1）和（2）所列方程，求出l和a的值.

任務2：確定刻線的位置.

（4）根據任務1，求y關于m的函數解析式.

（5）從零刻線開始，每隔100克在秤桿上找到對應刻線，試寫出相鄰刻線間的距離.

目標解析：此題主要考查一次函數的應用、解二元一次方程組等基礎知識，同時考查學生的運算能力、推理能力、幾何直觀等素養的發展水平.

解法分析：第（1）小題根據題意可以直接進行求解，較為基礎；第（2）小題根據題意可以直接代入求解；第（3）小題由第（1）（2）小題建立二元一次方程組進行求解；第（4）小題可以根據第（3）小題的結論求解；第（5）小題分別把m = 0，m = 100，m = 200，m = 300，m = 400，m = 500，m = 600，m = 700，m = 800，m = 900，m = 1 000代入即可求解.

解：（1）由題意得m = 0，y = 0.

因為m0 = 10，M = 50，

所以10l = 50a.

所以l = 5a.

（2）由題意得m = 1 000，y = 50.

所以（10 + 1 000）l = 50（a + 50）.

所以101l - 5a = 250.

（3）由（1）（2）， 得[l=5a，101l-5a=250.]

解得[a=0.5，l=2.5.]

（4）由（3）可知l = 2.5，a = 0.5.

所以2.5（10 + m） = 50（0.5 + y）.

所以[y=120m].

（5）由（4）可知[y=120m].

所以當m = 0時，y = 0.

當m = 100時，y = 5；

當m = 200時，y = 10；

當m = 300時，y = 15；

當m = 400時，y = 20；

當m = 500時，y = 25；

當m = 600時，y = 30；

當m = 700時，y = 35；

當m = 800時，y = 40；

當m = 900時，y = 45；

當m = 1 000時，y = 50.

由此可知相鄰刻線間的距離為5厘米.

試題分析：此題以設計桿秤為情境，緊扣函數與方程的核心內容，突出數學的應用價值，強調理性思維和數學探索，同時考查了學生對跨學科知識的應用能力；要求學生能將具體的數學問題轉換成常見的數學問題，并綜合運用數學知識分析問題，進而解決問題. 此題考查了學生用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實問題、用數學的方法解決現實問題的能力.

類題賞析：函數是刻畫現實世界的重要模型. 近幾年全國各地區中考以函數為背景命制的應用問題形式多樣，有方案設計問題、行程問題、利潤問題和跨學科問題等，考查了學生從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，并建立函數模型解決實際問題的能力，有助于學生形成模型觀念，提升建模素養和應用意識. 2023年全國各地區中考試卷中，類似的試題還有湖南郴州第24題、四川達州卷第23題、浙江臺州卷第24題、山西卷第20題等. 這類基于真實生活情境設計的應用型試題，在“抽象模型—分析模型—求解模型—應用模型”的數學建模過程中，突出考查了學生的閱讀理解能力和自主探究能力，潛移默化地落實了對抽象能力、推理能力、運算能力和模型觀念等素養的考查.

2. 以綜合化的數學情境考查深度思維

數學情境是情境化試題的主要呈現方式，構成對必備知識、關鍵能力、學科素養和核心價值考查的主體. 為體現綜合性的數學情境而選取的情境材料主要源于學生已有的數學學習經歷、學習體驗和學習收獲，突出對基本概念、基本原理、基本方法的考查，注重對解決學科問題的本原性方法的考查，注重考查學生在深刻理解基礎上對知識的靈活運用，引導學生重視基礎、掌握原理、內化方法、舉一反三，引導學生全面提升數學核心素養.

例6 （湖北·武漢卷）拋物線[C1：y=x2-2x-8]交x軸于A，B兩點（A在B的左邊），交y軸于點C.

（1）直接寫出A，B，C三點的坐標；

（2）如圖21，作直線x = t（0 lt; t lt; 4），分別交x軸、線段BC、拋物線C1于D，E，F三點，連接CF.若△BDE與△CEF相似，求t的值；

[圖21][C][A][O][B][x][y]

（3）如圖22，將拋物線C1平移得到拋物線C2，其頂點為原點. 直線y = 2x與拋物線C2交于O，G兩點，過OG的中點H作直線MN（異于直線OG）交拋物線C2于M，N兩點，直線MO與直線GN交于點P. 問點P是否在一條定直線上？若是，求該直線的解析式；若不是，試說明理由.

[圖22][O][x][y][P][N][H][G][M]

目標解析：此題主要考查拋物線與坐標軸的交點、相似三角形的判定和性質及二次函數圖象上點的坐標特征等基礎知識，考查學生運用數形結合、分類討論和待定系數法等解決問題的能力，以及推理能力、運算能力和幾何直觀等素養.

解法分析：（1）分別令x，y為0，解方程即可求得點A，B，C的坐標；（2）分CF與x軸平行和不平行兩種情況，建立方程即可求解；（3）由題意知拋物線C2：y = x2，先通過解方程和中點坐標公式即可求解得點G和點H的坐標，再根據直線MN與x軸平行與垂直的極端位置，并結合待定系數法即可確定點P在定直線y = 2x - 2上.

解：（1）當y = 0時，x2 - 2x - 8 = 0.

解得x1 = -2，x2 = 4.

當x = 0時，y = -8.

所以A（-2，0），B（4，0），C（0，-8）.

（2）因為F是直線x = t與拋物線C1的交點，

所以F（t，t2 - 2t - 8）.

① 如圖23，若△BE1D1 ∽ △CE1F1，

[圖23][C][A][O][D1][B][x][y] [F1][E1]

則∠BCF1 = ∠CBO.

所以CF1∥OB.

因為C（0，-8），所以t2 - 2t - 8 = -8.

解得t = 0（舍去）或t = 2.

② 如圖24，若△BE2D2 ∽ △F2E2C，過點F2作F2T⊥Oy于點T.

[圖24][C][A][O][B][x][y] [T] [D2][F2] [E2]

因為∠BCF2 = ∠BD2E2 = 90°，

所以∠F2CT = ∠OBC.

又因為∠CTF2 = ∠BOC，

所以△BCO ∽ △CF2T.

所以[F2TCO=CTBO].

因為[B4，0]，[C0，-8]，

所以OB = 4，OC = 8.

因為F2T = t，CT = -8 -[t2-2t-8]= 2t - t2，

所以[4t=82t-t2]，即2t2 - 3t = 0.

解得t = 0（舍去）或[t=32].

綜上所述，符合題意的t的值為2或[32].

（3）由題意知拋物線C2：y = x2.

因為直線OG的解析式為y = 2x，

所以[G2，4].

因為H是OG的中點，所以[H1，2].

設[Mm，m2]，[Nn，n2]，直線MN的解析式為y = k1x + b1，

則[nk1+b1=n2，mk1+b1=m2.]

解得[k1=m+n，b1=-mn.]

所以直線MN的解析式為y =[m+n]x - mn.

因為直線MN經過點H[1，2]，

所以mn = m + n - 2.

同理，直線GN的解析式為y =[n+2]x - 2n；直線MO的解析式為y = mx.

因為直線OM與NG相交于點P，

所以n - m + 2 ≠ 0.

聯立，得[y=n+2x-2n，y=mx.]

解得[x=2nn-m+2，y=2mnn-m+2.]

因為mn = m + n - 2，

所以P[2nn-m+2， 2m+2n-4n-m+2].

設點P在直線y = kx + b上，

則[2m+2n-4n-m+2=2nkn-m+2+b].

整理，得2m + 2n - 4 = -bm +[2k+b]n + 2b.

比較系數，得[2=-b，2=2k+b.]

解得k = 2，b = -2.

此時，無論m，n為何值，等式[2m+2n-4n-m+2=][2nkn-m+2+b]恒成立.

所以點P在定直線y = 2x - 2上.

試題分析：此題以拋物線為載體，是一道代數與幾何的綜合題，既源于教材又高于教材，以坐標法、待定系數法等通性通法為考查基點，以坐標系中“化斜為直”（將斜線段用豎直或水平的線段表示）及將幾何問題轉化為代數問題為突破口，以利用二次函數的平移規律構造平行四邊形為核心考點，將數形結合、直觀想象、坐標方法融入其中，難度與要求逐步提升，整體難度適中. 第（2）小題需要以相似三角形為媒介進行線段轉化，既是基本方法，也是此題的亮點；第（3）小題中不變性的研判，需要將定量與定性相結合，綜合考查學生分析問題和解決問題的能力.

類題賞析：《標準》明確提出了“增加代數推理，增強幾何直觀”的主張，體現了通過幾何建立直觀、通過代數予以表達的現代數學的基本特征. 近幾年部分地區的中考試卷中明顯加強了代數與幾何的融合力度，突出了依標命題、教考銜接的命題特點. 2023年全國各地區中考試卷中，類似的試題還有山東濟南卷第25題、山西卷第23題、湖北黃岡卷第24題、江蘇揚州卷第28題、四川遂寧卷第25題、湖南岳陽卷第24題等，這些試題都是以函數為載體，考查平行四邊形的存在性問題. 此類問題重在考查學生的幾何直觀、推理能力、運算能力等關鍵能力，蘊含數形結合、函數與方程、分類與整合、化歸與轉化等數學思想方法，涵蓋的知識面廣，綜合性強，突出考查學生思維的靈活性、深刻性和嚴謹性.

3. 以結構化的科學情境考查探究能力

突出試題情境的結構化，主要是通過創設新穎的情境、條件和設問等方式，增強試題的多樣性、層次性、開放性和探究性，引導學生主動思考、深度思維和有效探究，以促進學生創新應用能力的提高. 為體現探索創新情境而選取的情境材料，主要關注數學知識的深入探索與思想方法的適度創新，通常借助數學探究、數學建模和數學實驗等問題情境，在綜合性、應用性和創新性的層次上考查學生對已有知識與方法的遷移和運用水平，考查學生數學學習與研究的潛在能力.

例7 （四川·成都卷）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究.

在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，D是邊AB上一點，且[ADBD=1n]（n為正整數），E是邊AC上的動點，過點D作DE的垂線交直線BC于點F.

【初步感知】

（1）如圖25，當n = 1時，興趣小組探究得出結論：AE + BF =[22]AB，試寫出證明過程.

[圖25][D][A][E][C][F][B]

【深入探究】

（2）① 如圖26，當n = 2，且點F在線段BC上時，試探究線段AE，BF，AB之間的數量關系，試寫出結論并證明.

[圖26][D][A][E][C][F][B]

② 試通過類比、歸納、猜想，探究出線段AE，BF，AB之間數量關系的一般結論.（直接寫出結論，不必證明.）

【拓展運用】

（3）如圖27，連接EF，設EF的中點為M. 若AB =[22]，求點E從點A運動到點C的過程中，點M運動的路徑長.（用含n的代數式表示.）

[圖27][D][A][E][C][F][B][M]

目標解析：此題主要考查相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，考查學生的幾何直觀、空間觀念、推理能力和運算能力.

解法分析：第（1）小題由“ASA”可以證得△CDE ≌ △BDF，可得CE = BF，即可得證；第（2）小題第①問先證△ADN和△BDH是等腰直角三角形，再通過證明△EDN ∽ △FDH，即可得證；第②問需要分兩種情況討論，由相似三角形的性質即可求解；第（3）小題由題意先判斷點M在線段CD的垂直平分線上運動，再由勾股定理和相似三角形的性質即可求解.

解：（1）證明：如圖28，連接CD.

[圖28][D][A][E][C][F][B]

因為∠C = 90°，AC = BC，AD = DB，

所以AB =[2]AC，∠A = ∠B = ∠ACD = 45°，AD =CD = BD，CD⊥AB.

因為ED⊥FD，所以∠EDF = ∠CDB = 90°.

所以∠CDE = ∠BDF.

所以△CDE ≌ △BDF（ASA）.

所以CE = BF.

所以AE + BF = AE + CE = AC =[22]AB.

（2）① AE +[12]BF =[23]AB.

證明：如圖29，過點D作DN⊥AC于點N，DH⊥BC于點H.

[D][A][E][C][F][B] [N] [H] [圖29]

因為∠C = 90°，AC = BC，所以∠A = ∠B = 45°.

因為DN⊥AC，DH⊥BC，

所以△ADN和△BDH都是等腰直角三角形.

所以△ADN ∽ △BDH.

所以[ADBD=ANDH=12].

設AN = DN = x，則BH = DH = 2x.

所以AD =[2x]，BD =[22x].

所以AB =[32x].

因為DN⊥AC，DH⊥BC，∠ACB = 90°，

所以四邊形DHCN是矩形.

所以∠NDH = ∠EDF = 90°.

所以∠EDN = ∠FDH .

因為∠END = ∠FHD = 90°，

所以△EDN ∽ △FDH.

所以[ENFH=DNDH=12].

所以FH = 2NE.

所以AE +[12]BF =[x+NE+122x-2NE=2x=][23]AB.

② 如圖30，當點F在射線BC上時，過點D作DN⊥AC于點N，DH⊥BC于點H.

[圖30][D][A][E][C][F][B] [N] [H]

可得AE +[1n]BF = x - NE +[1n][nx+FH]= 2x =[2n+1]AB.

如圖31，當點F在線段CB的延長線上時，過點D作DN⊥AC于點N，DH⊥BC于點H.

[D][A][E][C][F][B] [N] [H] [圖31]

同理，可得AE -[1n]BF = x + NE -[1n][FH-nx]= 2x =[2n+1]AB.

綜上所述，當點F在射線BC上上時，AE +[1n]BF =[2n+1]AB；當點F在線段CB的延長線上時，AE -[1n]BF =[2n+1]AB.

（3）如圖32，連接CD，CM，DM，

[圖32][D][A][E][C][F][B][M]

因為EF的中點為M，∠ACB = ∠EDF = 90°，

所以CM = DM =[12]EF.

所以點M在線段CD的垂直平分線上運動.

如圖33，當點E′與點A重合時，點F′在線段BC的延長線上；當點E′與點C重合時，點F″在線段CB的延長線上. 過點M′作M′R⊥F′C于點R，則M′R∥AC.

[D][E][F][B][M] [R][圖33] [H] [N]

所以[M′RAC=M′F′AF′=12=F′RF′C].

由AB =[22]，得AC = BC = 2.

所以M′R = 1，F′R = CR.

過點D作DN⊥AC于點N，DH⊥BC于點H.

設AN = DN = x，則BH = DH = nx.

所以AD =[2]x，BD =[2]nx.

所以AB =[2][n+1]x =[22].

解得x =[2n+1].

因為F′D = BD =[2]nx，

所以F′B = 2nx.

所以CF′ = 2nx - 2.

所以CR = nx - 1 =[2nn+1-1]=[n-1n+1].

由（2）可得[CD=DN2+NC2=x1+n2]，[DF″=nDE″=][nx1+n2].

所以CF″ =[1+n2]x.

所以CM″ =[1+n2x2=2n+1 · 1+n22=1+n2n+1].

所以RM″ = n.

所以M′M″ =[1+n2].

所以點M運動的路徑長為[1+n2].

試題分析：此題涉及特殊三角形的基本性質、基本相似形的構造、動態問題的解法、動手操作等內容，問題設置由易到難，要求逐步提升，需要學生全方位調動幾何學習經驗求解. 試題注重對典型圖形、重要方法的考查，圖形簡潔，思維量較大，充分體現了通過構造基本圖形實現幾何問題代數化的考查特點.

類題賞析：《標準》提出，學生通過“圖形的性質”的學習，感悟幾何體系的基本框架，即通過定義確定論證的對象，通過基本事實確定論證的起點，通過證明確定論證的邏輯，通過命題確定論證的結果，并運用結果解決新的問題. 在探尋圖形的位置和數量關系時，通過圖形特殊化或一般化設計問題情境，并將幾何直觀與代數推理有機融合，既是命制這部分試題的常用方法，也是實現圖形與幾何內容育人價值的有效途徑. 2023年全國各地區中考試卷中，類似的試題還有河南卷第23題、山西卷第22題、甘肅蘭州卷第28題、湖北武漢卷第23題、湖北黃岡卷第23題、江蘇徐州卷第27題等. 這類試題立足于動態與靜態結合、幾何與代數交會、直觀與推理融合，通過創新問題情境，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等思維活動過程，感悟基本思想，積累基本活動經驗，發展創新意識.

三、復習備考建議

針對中考數學命題的理念，中考數學復習備考應該做到“四有”，即基礎有體系、方法有個性、思維有速度、訓練有針對. 具體地，在復習備考過程中應該注意落實以下四點.

1. 重教材，深化基礎知識

多數中考試題取材于教材，通過類比、延伸或拓展等加工改造而成. 因此，在復習備考中，一定要立足教材，回歸基礎，厘清知識脈絡，在知識的具體運用過程中掌握知識間的關聯，建立完整的初中數學知識體系，真正做到融會貫通.

教師應該堅持“三重、四化”的復習策略，即重視基本概念的理解與說明、重視公式定理的應用與規范、重視技能技巧的熟練與靈活，以使得基礎知識系統化、基本方法個性化、解題思維規范化、繁難題目簡明化. 對于經典試題，主動嘗試舉一反三.

同時，要關注跨學科知識的有機融合，積累在學科融合的問題情境下運用數學知識和方法解題的經驗，還要區分不同學科處理同一問題時在思路、方法及規范上的異同點.

2. 重變式，強化通性通法

數學知識和數學思想方法是數學學習的兩條主線. 數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程中. 數形結合思想、函數與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想，以及配方法、換元法、待定系數法、面積法、幾何變換法等都是解決問題的通性通法，它們不僅貼近學生的認知水平，符合常人的思維習慣，而且適用面寬、局限性小. 復習時，應該熟練掌握通性通法，并靈活應用，而對那些適用面窄、局限性大的特殊技巧要予以淡化.

復習備考中，應該重視選題和變式訓練，通過不同的試題達到不同的功效，通過變式訓練多角度理解知識，掌握數學知識中蘊含的數學思想和方法，從而達到靈活運用的目的. 在選擇練習題時，既要關注通性通法，即包含的基本數學思想方法，又要有適量“難、新、活、寬”的題目，做到難而不怪、新而不奇、活而不亂、寬而不偏. 在解題過程中，要注意避免思維定式和淺嘗輒止，可以通過一題多解、變換題型、修改條件或結論、引申結論、增減條件、類比編題等方式，逐步豐富自己的解題經驗，形成適合自己的解題方法體系，使自身的知識體系結構化、方法體系個性化，以此提升數學思維水平，以及分析問題和解決問題的能力.

3. 重歸納，優化解題經驗

注重歸納、提煉各專題中的基本問題，是做好復習的前提. 復習時可以針對包含同一知識內容的試題進行專題訓練，如函數與方程專題復習、數形結合專題復習、閱讀型專題復習等，以提高復習的時效性. 專題訓練能快速提升專項解題技能，使得對相關知識的掌握更快、更深、更牢. 對同一專題可以采取不同的題型訓練，如填空題、選擇題、判斷題、解答題、證明題、探究題、閱讀題等，并進行變式訓練. 復習時，要避免“題海戰術”，留出時間總結解題規律和方法，讓復習變得輕負高效. 另外，要加強錯題管理，分門別類地整理錯題，分析錯因，糾正錯誤，有效利用，是做好復習的關鍵. 針對不同錯因采取有效措施，爭取在考試中應收盡收，這是復習的最終目的. 錯題管理重在日積月累、落實到位、養成習慣.

4. 重結構，細化復習環節

《標準》對中考命題學業質量標準的評價提出了明確要求，提出以結構化數學知識主題為載體，考查學生“四基”的掌握情況下呈現出的核心素養發展水平；以學生熟悉的、真實的情境為載體，考查學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的水平；以學習過程的再現為題材，考查學生的科學態度等. 這些理念是中考命題的指揮棒，更是復習備考的準繩. 首先，要針對本地考情備考. 各地中考命題通常遵循傳承與創新并重的理念，歷年的中考試題、當年的模擬題都為中考備考指明了方向，復習過程中一定要研究相關題目，以加深對中考命題要求的理解，提升復習的針對性和有效性，避免盲目備考. 其次，要根據試題的難易程度備考. 例如，綜合題考查的知識點多，解法靈活，解題過程較長，難度大，沒有固定的解題模式可循，得分難度大，在復習中就應該力求多分析、精解答、多反思，以提升解題技能和應考能力. 另外，還要結合自身的學情備考. 復習時要逐步明確自己的短板，有的放矢，集中精力突破.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］周遠方，陳朝建，胡紅芳. 著力考查關鍵能力" 充分發揮導向作用：2022年中考數學試題解題分析及復習教學建議［J］. 中國數學教育（初中版），2023（1 / 2）：4-15.