基金項目：黑龍江省教育科學“十四五”規劃2023年度重點課題——基于核心素養建構初中數學知識體系的教學研究（JJB1423166）.

作者簡介：劉璇（1971— ），男，副研究員，主要從事初中數學教育教學研究.

摘" 要：對2023年全國各地區中考試卷中“數與式”試題進行整理和分析，概括“數與式”試題的突出特點為構建體系重基礎，聚焦能力提素養. 結合試題的特點，針對6道典型試題進行了解題分析，并圍繞3道優秀試題分析了“考什么”“如何考”“為什么考”等問題. 同時，針對2024年中考“數與式”部分的復習備考給予建議并給出6道模擬題.

關鍵詞：中考試題；構建體系；聚焦能力；提升素養

2023年全國各地區初中學業水平考試（以下統稱“中考”）試題的命制，是在進一步了解和落實《義務教育課程方案（2022年版）》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》的基礎上進行的，通過對2023年中考數學試題的特點進行分析，發現試題評價起到了全面了解學生數學學習過程和結果的作用. 科學評價可以激勵學生學習，改進教師教學，全面評價學生在數學核心素養各方面的綜合表現. 對于“數與式”部分的考查，主要關注實數的相關運算，用字母表示代數式及其運算，重點考查了運用字母像數一樣進行運算和推理，體驗在具體情境中用數學符號表達數量關系的過程.

“數與式”部分考查的內容主要包括有理數、實數、整式、分式、二次根式的相關概念和性質，數與式的加、減、乘、除，以及乘方、開方的混合運算，因式分解及其應用，分式的意義及運算，等等. 這部分內容的考查方式比較靈活，可以單獨考查對一個知識點的理解和運用，也可以結合實際背景考查幾個知識點的綜合運用，體現了數學的應用價值，對學生的運算能力、推理能力和創新意識等素養進行了滲透和考查.

一、試題特點分析

1. 關注數的發展，感悟數形結合

數的形成和發展以生產、生活實踐的需要為基礎，并以數學內在發展的需要為依據（主要是運算的封閉性）. 學生在對負數、有理數、實數的認知中，了解到數是一種對數量的抽象，了解到相反數的含義，了解到絕對值是對數量大小和線段長度的一種表達方式，通過數軸把實數與數軸上的點一一對應起來，初步體會數形結合的思想方法，增強解題過程中的應用意識.

例1 （四川·南充卷）如果向東走10 m記作+10 m，那么向西走8 m記作（" " ）.

（A）-10 m （B）+10 m

（C）-8 m" " （D）+8 m

目標分析：理解用正數和負數表示具有相反意義的量.

解法分析：因為向東與向西是一對具有相反意義的量，所以若把向東走10 m記作+10 m，那么向西走8 m應該記作-8 m. 故答案為選項C.

題源分析：此題考查了正數和負數的相關知識，使學生在理解具有相反意義的量的同時，體會正數和負數在生活實踐中的應用，以增強學生對數學知識的應用意識.

類題賞析：廣東深圳卷第1題考查學生對負數意義的理解，要求學生會用正數和負數表示具體情境中具有相反意義的量.

例2 （浙江·溫州卷）如圖1，比數軸上點A表示的數大3的數是（" " ）.

[-2][-1][0][1][2][-1][A][圖1]

（A）-1" " " " " （B）0

（C）1 " " " （D）2

目標分析：會用有理數表示數軸上的點.

解法分析：由數軸可知點A表示的數是-1，所以比-1大3的數是-1 + 3 = 2；也可以根據數軸上的點從左向右依次表示負數、0、正數，得出點在數軸上向右平移時，對應的數逐漸變大的規律，將-1向右移動3個單位長度得出答案為2. 故答案為選項D.

題源分析：此題主要考查數軸及有理數加法的相關知識. 數軸是數形結合思想的重要體現，數軸上的點與實數具有一一對應關系. 人教版《義務教育教科書（五·四學制） · 數學》（以下統稱“人教版教材”）六年級下冊習題7.2第3題（在數軸上，點A表示-3，從點A出發，沿數軸移動4個單位長度到達點B，則點B表示的數是多少？）考查了相同的知識點，其中，對于點A沿數軸移動4個單位長度，要討論向正方向移動還是向負方向移動. 這個討論也可以延續到平面直角坐標系的學習中，這是學生比較容易忽視的.

類題賞析：數軸的相關問題是中考命題的熱點. 此類試題還可以結合相反數、絕對值、不等式、比較大小等知識進行考查，且都需要運用數形結合思想來解決問題. 類似的試題有四川自貢卷第1題、浙江杭州卷第7題等. 對于該部分內容，復習時應該注意以下幾點：（1）明確數軸上點的特點，為借助數軸比較大小作準備；（2）審題時注意點的運動方向是否需要討論；（3）要關注借助數軸體會絕對值的意義，理解數軸上與原點距離相等的點有兩個，其表示的數互為相反數；（4）通過點到原點的距離比較大小，考查學生的幾何直觀素養.

2. 考查運算法則，明確運算算理

“數與式”試題側重數學中算理與算法的聯系. 在計算的過程中，“理”是思維方式；算法是一種運算的產物，它是人們對復雜思想過程的簡化，是經過人工指定的具有程序性的運算步驟；算理是運算的基礎，保障了計算的正確性，而算法則是算理的推廣.“數與式”部分的基本原理比較多，是后續運算和推理的基礎，包括數與式的運算法則、整式的運算、因式分解、分式的運算等.

例3 （重慶B卷）計算：[-5+2-30]等于______.

目標分析：此題考查了實數的混合運算. 熟練、準確地掌握相關運算法則是解決此題的關鍵.

解法分析：根據絕對值、零指數冪法則計算即可求解，即[-5+2-30=5+1=6].

題源分析：此題涉及絕對值、零指數冪的知識點，主要考查學生的運算能力和推理能力. 部分學生對非零數的零指數冪的結果容易記錯.

類題賞析：此類圍繞絕對值、算術平方根、立方根、零指數冪、三角函數值進行實數計算的試題，主要考查學生的運算能力. 類似的試題還有福建卷第17題、四川涼山州卷第13題、湖南常德卷第17題等. 復習時應該注意以下幾點：（1）重點夯實相關的基礎知識，進行相關知識點的串聯；（2）對于平方根、算術平方根、立方根的特點要及時復習；（3）零指數冪中底數不為0時，結果為1，理解負指數冪的意義.

例4 （江西卷）化簡[xx+1+xx-1 · x2-1x]. 圖2是甲、乙兩同學的部分運算過程.

lt;＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數初中版2023年飛翔＼中數初中2023年第11期＼微信圖片_20231019151004.pnggt;[……][……] [圖2][甲同學][乙同學]

（1）甲同學解法的依據是 " " " ，乙同學解法的依據是 " " " ；（填序號.）

① 等式的基本性質；② 分式的基本性質；③ 乘法分配律；④ 乘法交換律.

（2）試選擇一種解法，寫出完整的解答過程.

目標分析：此題考查了因式分解、分式的混合運算的相關知識，要求學生對基礎知識掌握牢固，運算準確.

解法分析：甲同學的解法是先把括號內的兩個分式通分、相加，再進行乘法運算. 通分的依據是分式的基本性質. 乙同學的解法是根據乘法分配律，去掉括號后先算分式的乘法再算加法，這樣運算更為簡便.

解：（1）甲同學解法的依據是分式的基本性質，故填②；乙同學解法的依據是乘法分配律，故填③.

（2）甲同學的解答過程如下：

原式 =[xx-1x+1x-1+xx+1x-1x+1 ? x2-1x]

=[x2-x+x2+xx+1x-1 ? x+1x-1x]

=[2x2x+1x-1 ? x+1x-1x]

= 2x.

乙同學的解答過程如下：

原式 =[xx+1 ? x2-1x+xx-1 ? x2-1x]

=[xx+1 ? x+1x-1x+xx-1 ? x+1x-1x]

= x - 1 + x + 1

= 2x.

題源分析：此題考查了分式的混合運算，根據題目的特點需要靈活選用合適的解法. 復習備考教學中，要關注不同解法的區別和優劣，讓學生既能節約時間，又能提高計算的準確性.

類題賞析：分式的相關概念及運算是中考熱點題型，具體可以考查分式有意義、分式無意義、分式的值為0時求具體的未知數的值或范圍，以及分式的混合運算等. 類似的試題有黑龍江龍東地區卷第21題、云南卷第13題、四川南充卷第11題、吉林卷第15題等. 復習時應該注意以下幾點：（1）對比并總結分式、二次根式有意義和無意義的條件；（2）熟練掌握分式的混合運算法則，合理進行因式分解，準確進行通分和約分.

3. 類比數的運算，滲透數式通性

數和式的運算之間有著密切的關系，如整式與整數、分式與分數、因式與質因數的分解等，都反映了數式的通性. 在代數式運算中，主要考查的是整式、分式、二次根式的相關運算，要求學生對字母表示數的意義有更深層次的了解，以符號的運算和推理為基礎，形成符號意識，以數的運算律的普遍適用為基礎，感悟數式通性.

例5 （四川·涼山州卷）先化簡，再求值：[2x+y2-]

[2x+y2x-y-2yx+y]，其中[x=122 023]，[y=22 022].

目標分析：此題是化簡求值問題，考查了完全平方公式、平方差公式、單項式乘多項式法則及有理數的計算. 掌握相關公式及法則是解題的關鍵.

解法分析：根據[a±b2=a2±2ab+b2]，[a+ba-b=][a2-b2]，單項式乘多項式法則進行展開，再進行整式加、減運算，代入數值計算即可.

解：原式 =[4x2+4xy+y2-4x2-y2-2xy-2y2]

=[4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2]

[=2xy].

當[x=122 023]，[y=22 022]時，原式[=2×122 023×22 022=1].

題源分析：此題是對“數與式”內容中運算的綜合考查. 由于學生解題時常會出現對相關知識點掌握不準確而出錯的現象，因此在復習時要注意理解并夯實基礎知識. 例如，容易把[a±b2]的結果寫成[a2±b2]而出錯，這就要求在復習時明確公式的特點.

類題賞析：此類試題也可以結合冪的有關運算、整式的乘法、因式分解、求代數式的值進行考查. 在求值過程中會用到整體思想，因此要注意觀察式子的特點. 類似的試題有江西卷第4題、甘肅蘭州卷第18題、浙江臺州卷第4題等. 復習時，要結合冪的有關運算公式，引導學生理解乘法公式和因式分解是互逆運算的特點，并引導學生養成先觀察再計算的習慣，掌握完全平方公式、平方差公式及單項式乘多項式法則，并能熟練運用、準確計算.

例6 （安徽卷）【觀察思考】

如圖3所示.

[★][★][★][★][★][★][★][★][★][★] [★][★][★][★][★][★] [★][★][★] [★][第1個圖案][第2個圖案][第3個圖案][第4個圖案][圖3][……][（a）][（b）][（c）][（d）]

【規律發現】

試用含n的式子填空.

（1）第n個圖案中“ ”的個數為" " " "；

（2）第1個圖案中“★”的個數可表示為[1×22]，第2個圖案中“★”的個數可表示為[2×32]，第3個圖案中“★”的個數可表示為[3×42]，第4個圖案中“★”的個數可表示為[4×52]，……，第n個圖案中“★”的個數可表示為" " " ".

【規律應用】

（3）結合圖案中“★”的排列方式及上述規律，求正整數n，使得連續的正整數之和1 + 2 + 3 + … + n等于第n個圖案中“ ”的個數的2倍.

目標分析：能運用數形結合思想找出圖案中的規律，列式求解.

解法分析：（1）第1個圖案中有1 × 3 = 3個“ ”，

第2個圖案中有2 × 3 = 6個“ ”，

第3個圖案中有3 × 3 = 9個“ ”，

第4個圖案中有4 × 3 = 12個“ ”，

……

第n個圖案中有3n個“ ”.

故此題答案為3n.

（2）由第1，2，3，4個圖案中“★”的個數，可知第n個圖案中“★”的個數可表示為[nn+12].

（3）依題意，1 + 2 + 3 + … + n =[nn+12].

由第n個圖案中有3n個“ ”，

得[nn+12=2×3n].

解得n = 0（舍去）或n = 11.

題源分析：此題主要考查的是由所給的圖形總結規律及前后知識點的關聯，通過觀察具體算式中數字的特點，猜想得出一般規律形成表達式. 人教版教材六年級上冊第18頁的數學活動即是對相關方法進行的練習.

類題賞析：類似地，也可以從特殊的圖形關系、數字關系、算式關系中通過觀察、猜想、驗證得到一般性規律，再進行列式或計算. 例如，湖北十堰卷第14題、山西卷第12題、黑龍江綏化卷第21題等. 復習時應該注意對相關題型進行歸納和總結，從所給圖形關系得到數字關系或算式關系，關注圖形、算式與序數之間的聯系，便于對一般性規律進行猜想與歸納，進而解答問題.

二、優秀試題分析

例7 （黑龍江·大慶卷）已知a + b gt; 0，ab gt; 0，則在如圖4所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（" " ）.

[圖4][O][x][y]

（A）（a，b） （B）（-a，b）

（C）（-a，-b） （D）（a，-b）

題意理解：已知兩數和及其乘積均為正數，則可以確定兩個數及其相反數的符號，從而確定對應點所在的象限.

思路探求：通過實數的加法、乘法運算中的符號法則，運用分類討論思想、數形結合思想確定a，b的符號，結合坐標系中各象限點的坐標特點，進而求解.

解答過程：因為ab gt; 0，所以a，b同號. 因為a + b gt; 0，所以a gt; 0，b gt; 0. 因為小手蓋住的點在第四象限，故答案為選項D.

此題也可以先從坐標系入手分析，由于小手蓋住的點在第四象限，則可知對應點的橫坐標為正數、縱坐標為負數. 因為ab gt; 0，所以a，b同號. 故可以排除選項A和選項C. 再由a + b gt; 0，可知a，b同為正數. 故[-a]為負數. 所以排除選項B. 故答案為選項D.

回顧反思：此題題干較短，語言簡練，從有效信息入手經過分類討論能逐步解決問題. 可以分別從先數后形、先形后數兩個角度進行分析，但是難易程度不同. 顯然，從數到形的角度更容易理解. 在教學時建議讓學生體會兩種方法，為后面應用數形結合方法解決問題奠定基礎.

例8 （重慶A卷）如果一個四位自然數[abcd]的各數位上的數字互不相等且均不為0，滿足[ab-bc=cd]，那么稱這個四位數為“遞減數”. 例如，四位數4 129，因為[41-12=29]，所以4 129是“遞減數”；又如，四位數5 324，因為[53-32=21≠ 24，] 所以5 324不是“遞減數”. 若一個“遞減數”為[a312]，則這個數為 " " " ；若一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數[abc]與后三個數字組成的三位數[bcd]的和能被9整除，則滿足條件的數的最大值是 " " " .

題意理解：首先要理解“遞減數”的定義，再進行推理，然后尋找等量關系求解.

思路探求：明確四位數、三位數、兩位數的表示方法，理解“遞減數”的定義. 根據“遞減數”的定義，得[10a-9b-][11c=d]，然后根據題意列出兩個三位數字之和能被9整除的數的特征，分析滿足條件的最大值.

解答過程：若一個“遞減數”為[a312]，

由題意，可得[10a+3-31=12].

解得[a=4].

所以這個數為4 312.

若一個“遞減數”為[abcd]，

由題意可得，[10a+b-10b+c=10c+d].

整理，得[10a-9b-11c=d].

則這個“遞減數”的前三個數字組成的三位數[abc]與后三個數字組成的三位數[bcd]的和為：

[" "100a+10b+c+100b+10c+d=100a+10b+c+100b+10c+10a-9b-11c=110a+101b]

[=99a+b+11a+2b].

因為[abc]+[bcd]能被9整除，所以[11a+2b9]是整數，且[a≠b≠c≠d]，1 ≤ a ≤ 9，1 ≤ b ≤ 9，1 ≤ c ≤ 9，1 ≤ d ≤ 9.

當[a=9]時，原四位數可取最大值，此時b只能取0，不符合題意，舍去；

當[a=8]時，[b=1]，此時[71-11c=d]，c取9或8或7時，均不符合題意，舍去，當c取6時，[d=5]，所以滿足條件的數的最大值是8 165.

回顧反思：此題考查了新定義的運算，要求在學習數與式的相關運算的基礎上，靈活運用相關知識解決數學問題. 可以從特殊到一般地理解兩位數、三位數、四位數的基本表示方法及其加、減、乘、除運算的字母表示方法. 在充分理解相關運算的基礎上考查學生的抽象能力、概括能力和應用意識，讓學生經歷觀察、試驗、猜想、推理和反思等活動，強化學生解決問題的意識，提高學生解決問題的能力.

例9 （四川·南充卷）如圖5，直線y = kx - 2k + 3（k為常數，k lt; 0）與x，y軸分別交于點A，B，則[2OA+][3OB]的值是________.

[圖5][O][A][B][x][y]

題意理解：已知一次函數解析式可以得出其與坐標軸交點的坐標，從而得到線段長，利用數形結合思想進行分式加法運算即可解答. 此題考查了學生的運算能力、推理能力和應用意識.

思路探求：通過一次函數解析式及其性質可以求出點A，B的坐標. 從問法中可以看出是求代數式的值，說明在分式相加的過程中會出現特殊情況，因此在解答時要先觀察題中數與式的特點，在計算、整理的過程中找到突破口.

解答過程：因為y = kx - 2k + 3，

所以當y = 0時，[x=-3k+2]，即[A-3k+2，0]；

當x = 0時，y = -2k + 3，即[B0，-2k+3].

所以[OA=-3k+2=2k-3k]，[OB=-2k+3].

所以[2OA + 3OB = 22k-3k+33-2k=2k2k-3-32k-3=]

[2k-32k-3=1.]

回顧反思：在應用數學知識解決實際問題的過程中，要先觀察數與式的形式和特點，而不要急于計算，因為在計算、整理的過程中有可能會發現更簡便的解題方法，進而快速求得答案.

三、復習備考建議

1. 夯實基礎知識，關注教材內容

2023年全國各地區中考“數與式”試題考查的知識覆蓋面較廣，試題難度普遍較小，更多關注對基礎知識的考查. 因此，在“數與式”部分的復習中，教師要重點幫助學生鞏固基礎知識. 如何夯實基礎知識，使學生掌握相應的思想方法，直接關系到后續對方程、不等式、函數等知識的學習. 中考試題的命制既源于教材，又高于教材. 很多中考試題是由教材例題、習題改編而成的變式拓展題，是對教材原題進行加工、組合、延伸和拓展而來的. 復習時要緊扣教材，夯實基礎，對教材知識進行系統梳理，同時對典型問題進行變式訓練，以提高學生的應變能力.

2. 重視學習過程，建構知識網絡

在學習數系及其運算的擴充、由數到式的過程中，要將其與數進行類比，類比數的運算法則、運算順序及運算律，要讓學生經歷由具體的數到抽象的量、再到具有一般意義的式的抽象過程，并結合具體背景或意義抽象出數學概念和法則，讓學生真正體會知識的發生、發展和形成過程. 對于“數與式”專題的相關例題和習題的講解，要引導學生感悟數式運算中的通性通法，通過代數式和代數式運算的教學，讓學生進一步理解字母表示數的意義，通過基于符號的運算和推理，使學生感悟數學結論的一般性，理解運算方法和運算律之間的關系.

3. 提高運算能力，加強問題糾錯

中考“數與式”試題注重對學生運算能力的考查，即考查學生根據運算法則和運算律正確進行運算的能力，如實數的混合運算、整式運算、分式運算等. 在教學中，教師要堅持正確、有據、合理、簡潔的原則，引導學生掌握運算法則、運算律和運算公式，理解算理，善于尋求最優的運算路徑，領悟并準確運用有關的數學思想方法，養成良好的運算習慣，重視檢查. 面對學生“會而不對”的現象，教師要避免只重視解題思路的明晰，而忽視解題過程的完善及結果的正確等眼高手低的現象，要著重關注學生的基本運算的訓練，使其養成步步有據、準確表達的良好學習習慣.

4. 滲透核心素養，落實立德樹人

教師要吃透“數與式”內容中蘊含的數學思想，關注對學生數學核心素養的培養，將數學核心素養的培養滲透到復習教學的每個環節，注重對學生的運算能力、推理能力、模型觀念、抽象能力、數據觀念等素養的培養. 中考復習階段，教師要精選試題，恰當選取含有實際生活背景的試題，培養學生解決實際問題的能力. 同時，可以通過數學史的介紹和數學文化的熏陶，使學生對數學知識的發生發展過程有所了解，關注人文教育，既教書又育人，努力提升學生的數學核心素養.

四、模擬題示例

1. 已知[1a+2b=1]，且a ≠ -b，則[ab-aa+b]的值為

.

答案：1.

2. 圖6是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項式. 試寫出單項式M，并將該例題的解答過程補充完整.

[例" 先化簡，再求值：[Ma+1-1a2+a]，其中[a=100].

解：原式[=a2aa+1-1aa+1]

……] [圖6]

答案：M = a，原式 =[a-1a].

當a = 100時，原式 =[99100].

3. 定義新運算“[?]”，規定：a[?]b =[a2-b]，則[-2][?][-1]的運算結果為（" " ）.

（A）-5" " " （B）-3

（C）5" " " " （D）3

答案：D.

4. 已知2a2 - a - 3 = 0，則[2a+32a-3+2a-12]

的值是（" " ）.

（A）6 （B）-5

（C）-3 （D）4

答案：D.

5.（1）計算：[3tan45°-2 023-π0+23-2].

（2）先化簡，再求值：[x2-xx2+2x+1÷2x+1-1x]，化簡后，從[-2lt;xlt;3]的范圍內選擇一個符合題意的整數作為x的值，代入求值.

答案：（1）[33-3]；

（2）原式 =[x2x+1]；當x = 2時，原式 =[43].

6. 設[m=515-45]，則實數m所在的范圍是

（" " ）.

（A）[mlt;-5] （B）[-5lt;mlt;-4]

（C）[-4lt;mlt;-3] （D）[mgt;-3]

答案：B.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］顧沛. 數學文化［M］. 北京：高等教育出版社，2008.

［3］曹一鳴，王立東，何雅涵. 義務教育數學考試評價與教學實施：基于《義務教育數學課程標準（2022年版）》的學業質量解讀［J］. 教師教育學報，2022，9（3）：97-103.