基金項目：2022年中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——基于發展學生核心素養的課程資源優化與整合

研究（22ZS061405ZA）.

作者簡介：谷曉凱（1972— ），男，中學高級教師，主要從事中學數學教育教學研究；

張海營（1964— ），男，正高級教師，河南省特級教師，主要從事中學數學教育教學研究.

摘" 要：在對2023年全國各地區約100余份中考數學試卷進行綜合分析的基礎上，將“方程與不等式”試題特點概括為立足基礎、突出應用、廣泛聯系. 針對“方程與不等式”試題的特點，精選了10道優秀試題，重點圍繞試題考查內容和解題思路進行剖析. 在此基礎上，提出了四點方向性的復習備考建議供參考，最后給出了3道模擬題.

關鍵詞：立足基礎；突出應用；廣泛聯系；中考試題

2023年全國各地區的中考數學“方程與不等式”試題主要依據《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）的內容要求，合理體現《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）素養立意的命題理念. 具體來看，兩版課程標準對“方程與不等式”部分的內容要求變化不大，主要包括方程與方程組及不等式與不等式組的相關概念、性質、解法、應用等內容. 從能力和素養層面來看，該部分內容對學生的模型觀念、運算能力和應用意識有較高要求，同時，對抽象能力、推理能力和創新意識也有一定的要求. 通過對2023年全國各地區中考試題的分析，發現“方程與不等式”試題體現了立足基礎、突出應用、廣泛聯系的特點. 下面對2023年全國各地區中考試卷中的“方程與不等式”試題從解題角度進行歸納分析，在此基礎上提出復習備考建議，并給出典型模擬題.

一、試題特點分析

1. 立足對基礎知識的考查

2023年中考“方程與不等式”試題對基礎知識的考查主要包括三個方面：一是考查方程（組）的概念；二是考查方程（組）和不等式（組）的基本解法；三是考查一元二次方程根的判別式. 有個別試題涉及對方程解的概念、不等式的性質等內容的考查.

（1）考查方程（組）的概念.

《標準（2011年版）》和《標準（2022年版）》對方程（組）概念的要求都是要淡化形式、注重實質. 相應地，各地中考試卷中都沒有出現考查方程（組）形式化定義的試題，而是重點考查“能根據具體問題中的數量關系列出方程”. 這就要求學生能根據現實情境理解方程的意義，從而體現對方程概念本質的考查. 同時，也指向對學生抽象能力和模型觀念的考查.

例1 （湖南·衡陽卷）《孫子算經》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何.”設有x只雞，y只兔，依題意，可列方程組為（ " ）.

（A）[x+y=35，4x+2y=94] （B）[x+y=94，4x+2y=35]

（C）[x+y=35，2x+4y=94] （D）[x+y=94，2x+4y=35]

目標分析：此題考查的知識點是根據實際問題列出二元一次方程組，要求學生能分析清楚問題中的數量關系，并能用方程組表示. 試題指向對學生抽象能力的考查.

解法分析：解答此題需要先理解題意，找出題目中的兩個相等關系，即雞頭的個數 + 兔頭的個數 = 35，雞腿的個數 + 兔腿的個數 = 94，再根據題中設的未知數列出相應的方程組. 此題答案選C.

題源分析：“雞兔同籠”是我國古代數學的經典問題，多個版本的教材中都有這個素材. 華東師大版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第44頁的閱讀材料就是“雞兔同籠”問題. 該題設置為選擇題的形式，只要求找出正確的方程組，聚焦對方程意義的理解. 試題背景有利于引導學生關注數學文化.

類題賞析：此類試題注重問題背景的選擇. 例如，吉林卷第12題取材于《九章算術》，考查列一元一次方程；福建卷第6題取材于社會經濟，考查列一元二次方程.

（2）考查方程（組）和不等式（組）的基本解法.

能解各類方程（組）與不等式（組）是學習方程與不等式的主要內容，也是考查學生運算能力的重要組成部分. 各類方程（組）與不等式（組）的求解過程都有明確的方法和步驟，它們的解法充分體現了轉化與化歸的數學思想. 各地中考試題對方程（組）與不等式（組）解法的考查主要集中在解分式方程和解不等式組上，且涉及的都是基本解法，沒有繁雜的運算；對解一元二次方程和解方程組的考查主要是在綜合類和應用類試題中進行；而對解一元一次方程的考查較少.

例2 （天津卷）解不等式組[2x+1≥ x-1，①4x-1≤x+2，②]試結合題意填空，完成本題的解答.

（1）解不等式①，得 " " " .

（2）解不等式②，得 " " " .

（3）把不等式①和②的解集在如圖1所示的數軸上表示出來.

[-4][-3][-2][-1][0][1][2][][圖1]

（4）原不等式組的解集為 " " " .

目標分析：此題主要考查解不等式組，要求學生能正確求出兩個不等式的解集，再根據數軸確定不等式組的解集. 試題考查了數形結合思想.

解法分析：求出不等式①和不等式②的解集分別為x ≥ -2和x ≤ 1，再把它們的解集在數軸上表示出來，最后結合數軸確定它們的公共部分-2 ≤ x ≤ 1即為不等式組的解集.

題源分析：《標準（2011年版）》要求：會用數軸確定由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集. 這里特別指出“用數軸確定”，這體現了數形結合思想. 此題把各個版本教材中常見的解不等式組的問題設置為分步完成的填空題，意在體現對解題過程的考查，同時強調了數軸的作用. 此題對解不等式組的所謂“口訣法”進行了糾偏，對解不等式組的教學進行了正確的引導.

類題賞析：湖南湘潭卷第17題要求解不等式組并把它的解集在數軸上表示出來，也指向對課程標準要求的準確落實.

（3）考查一元二次方程根的判別式.

一元二次方程部分主要包括定義、解法、應用和根的判別式等內容. 各地中考試題對一元二次方程的定義和應用的考查較少，對解法的考查較多，但主要是把它作為解決問題的工具結合其他知識進行考查. 用根的判別式判定一元二次方程根的情況是一個典型的代數推理過程，很多試卷中加強了對一元二次方程根的判別式的考查.

例3 （四川·內江卷）對于實數a，b定義運算“?”為a?b = b2 - ab. 例如，3?2 = 22 - 3 × 2 = -2，則關于x的方程[k-3]? x = k - 1的根的情況，下列說法正確的是（ " ）.

（A）有兩個不相等的實數根

（B）有兩個相等的實數根

（C）沒有實數根

（D）無法確定

目標分析：此題主要考查用一元二次方程根的判別式判定根的情況，要求學生能根據題中的“新定義”確定一元二次方程的一般形式，再利用根的判別式進行判斷. 試題考查了配方法、運算能力和推理能力.

解法分析：此題要求學生先根據題中的新定義運算，將關于x的方程[k-3]? x = k - 1轉化為一般式[x2-k-3x-k+1=0]，再由根的判別式[Δ=k-12+][4gt;0]，得出該方程有兩個不相等的實數根. 故此題答案選A.

題源分析：此題沒有直接給出一元二次方程，而是設置為新定義的形式，對學生的數學閱讀理解能力有一定的要求. 部分學生在根據新定義得出方程并利用配方法判定[Δgt;0]時容易出錯. 教師在教學中要注意對學生數學閱讀理解能力的培養，促進學生對解題通性通法的掌握.

類題賞析：山東濟南卷第13題設置為給出方程根的情況求系數中字母的值，指向對逆向思維能力的考查. 此題設置為開放題，指向對學生思維發散性的考查.

2. 突出對應用意識的考查

方程和不等式是刻畫現實世界中數量關系的重要數學模型. 結合實際問題，用數學符號建立方程與不等式，表示實際問題中的數量關系，分析和解決問題，始終是學習和研究方程與不等式的核心，既是出發點，也是落腳點. 2023年全國各地區中考“方程與不等式”試題注重圍繞現實生活中的情境設置應用類試題，以突出考查學生的模型觀念和應用意識.

例4 （北京卷）對聯是中華傳統文化的瑰寶. 對聯裝裱后，如圖2所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統稱為邊. 一般情況下，天頭長與地頭長的比是6∶4，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的[110]. 某人要裝裱一副對聯，對聯的長為100 cm，寬為27 cm. 若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長.

[裝裱后的寬][天頭][天頭長][邊][邊][地頭長] [地頭][邊的寬] [裝裱后的長][100 cm][27 cm] [圖2]

目標分析：此題主要考查用一元一次方程解決實際問題. 題目給出了對聯裝裱的示意圖，要求學生先弄清楚對聯的裝裱規格，指向對幾何直觀的考查. 此題涉及的量較多，要求學生能用含未知數的式子表示出天頭長、地頭長和邊的寬，指向對抽象能力的考查. 最后列出一元一次方程解決問題，指向對模型觀念和應用意識的考查.

解法分析：題干可以分為兩部分，第一部分給出了對聯裝裱的標準，其中有兩個相等關系. ① 天頭長∶地頭長 = 6∶4；② 邊的寬 =[110×]（天頭長 + 地頭長）. 第二部分給出了要裝裱對聯的規格，其中有相等關系③ 裝裱后的長 = 4 × 裝裱后的寬. 題目要求的是邊的寬和天頭長，結合相等關系①和②，可設天頭長為6x cm，則地頭長為4x cm，邊的寬為x cm. 再根據相等關系③列出方程[100+10x=427+2x]，解方程作答即可. 此題也可以設兩個未知數，列二元一次方程組解決.

題源分析：此題改編自人教版《義務教育教科書·數學》九年級上冊第20頁的探究3. 情境設置方面，把教材中“書的封面設計”問題改為“對聯裝裱”問題，有利于引導學生了解中華傳統文化；知識考查方面，改為考查一元一次方程的應用，體現了中考試題命題“多思少算”的特點和素養立意的要求.

類題賞析：河北卷第20題以貼近學生生活的“磁性飛鏢游戲”為背景，考查一元一次方程的應用；湖北宜昌卷第22題以“端午節習俗”為背景，主要考查了一元一次方程和方程組的應用.

例5 （黑龍江·牡丹江卷）某商場欲購進A和B兩種家電，已知B種家電的進價比A種家電的進價每件多100元，經計算，用1萬元購進A種家電的件數與用1.2萬元購進B種家電的件數相同. 試解答下列問題.

（1）這兩種家電每件的進價分別是多少？

（2）若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53 500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？

（3）在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5 050元，試直接寫出這10件家電中B種家電的件數.

目標分析：此題主要考查分式方程、一元一次不等式和一元一次方程的應用. 前兩道小題需要學生分別建立分式方程和一元一次不等式模型求解，第（2）小題還需要根據不等式的解確定購買方案，考查學生的模型觀念和運算能力；第（3）小題需要學生利用一元一次方程經過分類計算推斷B種家電的件數，考查了分類討論思想及學生的模型觀念和應用意識.

解法分析：對于第（1）小題，設A種家電每件的進價為x元，可以根據題干中的相等關系：A種家電的件數 = B種家電的件數，列出分式方程[10 000x=12 000x+100]. 解得x = 500. 經檢驗，x = 500是所列方程的解，且符合題意. 500 + 100 = 600（元）. 所以A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元.

對于第（2）小題，首先需要根據題中的不等關系：購買A種家電的金額 + 購買B種家電的金額 ≤ 53 500元，設購進A種家電a件，列出不等式[500a+600100-a≤]

[53 500]，解得a ≥ 65. 再根據題中條件確定65 ≤ a ≤ 67.考慮a在問題中的實際意義，a可以為65，66，67，從而確定三種購買方案.

對于第（3）小題，需要根據“其余家電全部售出后仍獲利5 050元”對三種購買方案分別列出方程進行計算，再根據問題的實際意義進行推斷.

題源分析：此題設置了某商場購銷家電的問題情境，通過情境把教材中常見的方程和不等式應用題進行了整合，要求學生建立不同的方程和不等式模型解決問題. 學生的易錯點為第（1）小題解分式方程后忘記檢驗；難點為在第（3）小題中能否找到相等關系并正確地列出方程.

類題賞析：像此題這樣通過設置情境綜合考查方程（組）、不等式和函數應用的試題較為常見. 例如，江蘇揚州卷第26題通過設置商場購銷安全頭盔的情境綜合考查了二元一次方程組、不等式和一次函數的應用；四川瀘州卷第21題通過設置端午節商場購銷粽子的情境綜合考查了分式方程、不等式和一次函數的應用；湖南益陽卷第24題通過設置企業投資收益的情境綜合考查了一元二次方程和二次函數的應用.

3. 注重與其他知識的聯系

2023年全國各地區中考數學普遍重視考查“方程與不等式”知識與其他知識的聯系. 首先，大多數函數綜合題都要用到方程與不等式的知識，體現出本部分內容與函數的聯系；其次，很多幾何問題也需要運用方程思想解決，體現出本部分內容與幾何的聯系.

（1）考查與函數的聯系.

方程、不等式與函數有著緊密的聯系. 在用待定系數法求函數解析式，求函數圖象上特殊點的坐標，用函數知識解決實際問題時，往往要用到方程（組）的知識；在求函數自變量的取值范圍時，要用到不等式的知識，而利用函數圖象也可以確定相關不等式的解集. 因此，大多數考查函數的題目要用到方程與不等式的知識.

例6 （河南卷）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數學知識對羽毛球比賽進行技術分析，下面是他對擊球線路的分析.

如圖3，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網AB與y軸的水平距離OA = 3 m，CA = 2 m，擊球點P在y軸上. 若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數關系y =

-0.4x + 2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數關系y = a[x-12]+3.2.

[圖3][O][A][C][B][P][y = a[x-12]+3.2][y = -0.4x + 2.8][x][y]

（1）求點P的坐標和a的值；

（2）小林分析發現，上面兩種擊球方式均能使球過網. 要使球的落地點到點C的距離更近，試通過計算判斷應選擇哪種擊球方式.

目標分析：此題主要考查一次函數、二次函數、解一元一次方程、解一元二次方程等知識. 求a的值需要利用待定系數法列一元一次方程求解；判斷球的落點問題，本質是求函數圖象與x軸的交點坐標，需要用到解方程的知識. 試題通過利用方程的知識解決函數問題指向對數形結合思想、運算能力和應用意識的考查.

解法分析：對于第（1）小題，先解得點P的坐標為P（0，2.8），再把點P的坐標代入y = a[x-12]+ 3.2，解得a = -0.4.

對于第（2）小題，在y = -0.4x + 2.8中，令y = 0，解得x = 7. 在y = -0.4[x-12]+ 3.2中，令y = 0，解得x =[-22+1]（舍去），或x =[22+1≈ 3.83]. 由[7-5gt;][3.83-5]，即可得到答案.

題源分析：此題以分析羽毛球比賽中的擊球線路為問題情境，貼近學生生活實際，真實有趣. 兩種擊球方式對應兩種函數模型，而對函數模型進行求解時要用到相應的方程，體現了方程與函數的密切聯系. 此題的解題難點是能否正確理解題意，易錯點是運算.

類題賞析：山東棗莊卷第21題設置為一次函數和反比例函數的綜合題，體現了函數與一元一次方程、二元一次方程組和不等式的聯系；福建卷第24題設置為二次函數綜合題，體現了函數與二元一次方程組和一元二次方程的聯系.

（2）運用方程思想解決幾何問題.

例7 （江蘇·揚州卷）如圖4，已知正方形ABCD的邊長為1，點E，F分別在邊AD，BC上，將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點B′處，如果四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5，那么線段FC的長為 " " " .

[圖4][F][C][B][A][E][D][B′][A′]

目標分析：此題主要考查正方形、軸對稱、三角形全等、勾股定理、解一元二次方程等知識. 試題在考查幾何直觀和推理能力的基礎上突出了對方程思想和運算能力的考查. 設所求線段FC的長為x后，可以利用勾股定理列一元二次方程求解；在表示線段AE的長時，需要根據面積關系列一元一次方程求解. 這體現了方程思想在解決問題時的重要作用.

解法分析：如圖5，連接BB′，過點F作FH⊥AD于點H. 設FC = x，則DH = x，BF = 1 - x. 由已知條件，得S四邊形ABFE =[12AE+1-x×1=38]. 解得AE =[x-14]，則EH =[54-2x]. 易證△EHF ≌ △B′CB，得出B′C = EH =[54-2x]. 在Rt△B′FC中，根據勾股定理建立方程[1-x2=x2+54-2x2]. 解得[x=38]. 因此，線段FC的長為[38].

[圖5][F][C][B][A][E][D][B′][A′] [H][G]

題源分析：此題是以正方形折疊為背景求線段的長. 所給條件“四邊形ABFE與四邊形EFCD的面積比為3∶5”的本質是提供了等式[12AE+BF=38]，由此，用含未知數x的式子表示其他線段成為可能. 而條件“點B恰好落在CD邊上的點B′處”的本質是確定了點F的位置，由此，就可以根據勾股定理建立一元二次方程求解.

類題賞析：陜西卷第21題設置為解直角三角形的問題，需要根據三角形相似得到的比例式建立一元一次方程求解.

二、優秀試題分析

例8 （四川·廣安卷）為了降低成本，某出租車公司實施了“油改氣”措施. 如圖6，y1，y2分別表示燃油汽車和燃氣汽車所需費用y（單位：元）與行駛路程s（單位：千米）的關系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃氣汽車每千米所需的費用的3倍少0.1元，設燃氣汽車每千米所需的費用為x元，則可列方程為（ " ）.

[s / 千米][y / 元][25][10][y1][y2][O][圖6]

（A）[25x=103x-0.1] （B）[25x=103x+0.1]

（C）[253x+0.1=10x] （D）[253x-0.1=10x]

題意理解：此題主要考查根據實際問題列出分式方程. 要求學生能分析清楚問題中的數量關系，正確提取函數圖象中的信息，并能用分式方程表示. 試題設置為選擇題的形式，只要求選出正確的方程，不用計算，聚焦對抽象能力的考查.

思路探求：解答此題首先需要根據題意，結合函數圖象找出題目中的相等關系：燃油汽車行駛路程 = 燃氣汽車行駛路程；再設燃氣汽車每千米所需的費用為x元，結合所給數量關系表示出燃油汽車每千米所需的費用，列出相應的分式方程. 此題答案選擇D.

回顧反思：此題把傳統的列分式方程和函數圖象進行了創新性的組合. 列分式方程的關鍵是找相等關系，此題中的相等關系隱藏在函數圖象中，需要學生結合題中的數量關系對函數圖象進行分析，在考查抽象能力的同時自然滲透了對數形結合思想的考查. 這種創新性的考查方式啟示我們要淡化模型分類，注重方程的實質，對方程的教學有很好的導向作用.

例9 （浙江·嘉興卷）小丁和小迪分別解方程 [xx-2-x-32-x=1]，過程如圖7和圖8所示.

[小丁：

解：去分母，得[x-x-3=x-2.]

去括號，得x - x + 3 = x - 2.

合并同類項，得3 = x - 2.

解得x = 5.

所以原方程的解是x = 5.][小迪：

解：去分母，得[x+x-3=1.]

去括號，得x + x - 3 = 1.

合并同類項，得2x - 3 = 1.

解得x = 2.

經檢驗x = 2是方程的增根，原方程無解.] [圖7][圖8]

你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，在框內打“√”；若錯誤，在框內打“×”，并寫出你的解答過程.

題意理解：此題主要考查解可化為一元一次方程的分式方程，要求學生能根據解分式方程的步驟對題中的解法進行判斷，在此基礎上準確求解.

思路探求：此題要求學生先認真閱讀兩名同學的做題過程，找出其中的錯誤（小丁錯在去分母和無檢驗；小迪錯在去分母），再根據解分式方程的步驟，先將分式通過去分母轉化為整式方程[x+x-3=x-2]. 解得[x=1]，再檢驗即可. 當然，也可以先通分，再去分母進行求解.

回顧反思：解分式方程是各版本教材中的常見題目. 學生常見的錯誤有去分母時符號出錯，或將不含分母的項漏乘最簡公分母，檢驗出錯等. 此題針對以上錯誤，利用學生的錯題資源設置問題，要求學生先糾錯，再解方程. 這樣的命題方式既體現了命題者對學生的人文關懷，又體現了對數學閱讀理解能力的考查. 這也要求我們在復習階段不要盲目追求做題的數量，應多引導學生進行題后反思，強化計算時步步有據、及時檢查的學習習慣.

例10 （寧夏卷）“人間煙火味，最撫凡人心”. 地攤經濟、小店經濟是就業崗位的重要來源. 某經營者購進了A型和B型兩種玩具，已知用520元購進A型玩具的數量比用175元購進B型玩具的數量多30個，且A型玩具單價是B型玩具單價的1.6倍.

（1）求兩種型號玩具的單價各是多少.

根據題意，甲、乙兩名同學分別列出如下方程：

甲：[5201.6x=175x+30]，解得x = 5，經檢驗x = 5是原方程的解.

乙：[520x=1.6×175x-30]，解得x = 65，經檢驗x = 65是原方程的解.

則甲所列方程中的x表示 " " " ，乙所列方程中的x表示 " " " .

（2）該經營者準備用1 350元以原單價再次購進這兩種型號的玩具共200個，則最多可購進A型玩具的數量為多少？

題意理解：此題主要考查分式方程和一元一次不等式的應用. 第（1）小題首先給出了甲、乙兩名同學列的兩個分式方程，要求寫出其中未知數表示的量，這需要根據題中的相等關系進行判斷；第（2）小題要注意正確使用第（1）小題的結論求解. 試題對學生的抽象能力和模型觀念有一定的要求.

思路探求：此題要求學生先找出題干中的兩個相等關系，即① A型玩具的數量 = B型玩具的數量 + 30，② A型玩具的單價 = 1.6 × B型玩具的單價. 再根據：玩具的數量 × 玩具的單價 = 總價，對第（1）小題中的兩個方程進行分析，從而得出兩個方程中未知數表示的量. 第（2）小題需要根據題中的不等關系“A型玩具的總價 + B型玩具的總價 ≤ 1 350”列不等式求解.

回顧反思：此題第（1）小題突破了常規的列分式方程解應用題的套路，而是給出分式方程，要求判斷方程中未知數表示的量，這有利于考查學生的逆向思維能力，是此題的一大亮點.

三、復習備考建議

結合以上分析，針對2024年“方程與不等式”部分的復習備考，提出如下建議.

1. 樹立單元整體復習意識

單元整體教學的主要目的是促進學生對數學教學內容的整體理解與把握，逐步培養學生的數學核心素養，這也正是復習教學的應有之義. 因此，復習時，教師應注意通過思維導圖等形式幫助學生構建方程與不等式內容的完整知識結構，并引導學生從整體結構出發復習具體的知識點，從而使學生獲得“先有森林，再有樹木”的整體感，繼而通過認識“樹木”認識“整片森林”.

2. 重視對基礎知識的復習

中考“方程與不等式”試題普遍關注對基礎知識的考查，方程與不等式的解法更是考查的重點. 因此，復習備考中一定要重視對方程與不等式解法的復習. 其中，方程組和一元二次方程的解法是復習的重點，分式方程的解法是復習的難點，一元一次方程和不等式的解法是復習的基礎. 復習時，不但要注意對解方程與不等式基本方法的掌握和基本技能的訓練，更要注意對解題活動經驗的總結和對轉化與化歸等數學思想的感悟.

3. 以問題情境貫穿復習教學的始終

中考“方程與不等式”試題的主要命題思路是讓學生根據實際問題中的數量關系抽象提煉出已知數與未知數之間的相等或不等關系，建立方程或不等式的數學模型，求出方程（組）或不等式（組）的解，進而解決實際問題. 因此，在本部分的復習教學中，教師要重視問題情境的創設，引導學生經歷問題解決的完整過程，在解決問題的過程中復習相關的概念、解法和應用，發展學生的模型觀念. 在創設問題情境時，既要注重情境的豐富性和多樣性，又要注意淡化情境類型，以突出對相等或不等關系的分析和模型的建立.

4. 加強與其他知識的聯系

方程與不等式揭示了數學中最基本的數量關系（相等關系和不等關系），是一類應用廣泛的數學工具. 大多數中考“函數”試題都要用到方程和不等式的知識來解決，而在解決幾何問題時，也常需要建立方程模型. 因此，在復習備考中，要加強本部分知識與其他知識的聯系. 一方面，在對本部分內容進行復習時，要適當選取函數類和幾何類題目，以突出方程思想在解決不同問題中的指導作用；另一方面，在復習函數和幾何的相關內容時，要注意方程思想的滲透，增強建立方程模型解決問題的意識.

四、模擬題示例

1. 在中國數學的發展歷程中，出現了一些影響深遠的數學著作，熱愛數學的小明決定到書店購買兩本相關書籍. 小明在認真查閱資料后購買了《幾何原本》和《九章算術》各一本，共花費80元. 已知《九章算術》的單價是《幾何原本》單價的[13]，問《九章算術》和《幾何原本》的單價各是多少元？下面的分析思路正確的是（" " ）.

（A）設《幾何原本》的單價是x元，根據題意得：[3x+x=80]

（B）設《幾何原本》的單價是x元，根據題意得：[x3+x=80]

（C）設《九章算術》的單價是y元，根據題意得：[y3+y=80]

（D）設《九章算術》的單價是y元，根據題意得：[3y=80]

答案：B.

2. 春節期間，甲、乙兩商場以同樣的價格出售相同的商品，并且又各自推出了不同的優惠方案，方案如下.

甲商場：購買金額超過100元后，超出100元的部分收費按八折優惠；

乙商場：購買任何商品都按九折優惠.

設顧客購買商品所花費用為x元.

（1）顧客購買商品的金額不超過100元時，選擇到哪個商場購物更劃算？

（2）顧客購買商品的金額為多少元時，到甲商場和到乙商場購物所花費用相同？

（3）顧客因為距離乙商場比較近，想去乙商場購物，但還想得到比甲商場大的優惠，那么這位顧客購買商品的金額要低于多少元？

答案：（1）到乙商場購物更劃算.

（2）顧客購買商品的金額為200元時，到甲商場和到乙商場購物的花費相同.

（3）這位顧客購買商品的金額要低于200元.

3. 在2023年舉辦的第57屆世界乒乓球錦標賽中，中國國家乒乓球隊包攬了五個項目的冠軍，在此次比賽中產生了很多精彩的擊球瞬間. 圖9是乒乓球臺的截面示意圖，一位運動員從球臺邊緣正上方以擊球高度[OA]為[28.75][cm]，將乒乓球向正前方擊打到對面球臺，乒乓球的運行路線近似是拋物線的一部分. 乒乓球到球臺的豎直高度記為y（單位：[cm]），乒乓球運行的水平距離記為x（單位：[cm]）. 測得如表1所示的數據.

lt;＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數初中版2023年飛翔＼中數初中2023年第11期＼image17.pnggt; [球網][球臺][（a）][（b）][O][C][D][B][A][圖9]

表1

[水平距離x /[cm] [10] [50] [90] [130] [170] 豎直高度y /[cm] [33] [45] [49] [45] [33] ]

（1）認真觀察表1中的數據，選擇合適的方法求出滿足條件的拋物線解析式；

（2）當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是多少？

答案：（1）拋物線解析式為[y=-0.002 5x-902+49]；

（2）當乒乓球落在對面球臺上時，到起始點的水平距離是230 cm.

參考文獻：

［1］史寧中，曹一鳴.《義務教育數學課程標準（2022年版）》解讀［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］胡鵬龍，梁凱毓. 立足基礎重能力" 聚焦素養勇創新：2022年中考“方程與不等式”專題解題分析［J］. 中國數學教育（初中版），2023（1 / 2）：24-31，52.