基金項目：重慶市教育科學(xué)規(guī)劃“十四五”2022年度規(guī)劃課題——“雙減”背景下的初中數(shù)學(xué)單元設(shè)計與實施研究（K22YG109406）.

作者簡介：蔣梅（1973— ），女，高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究.

摘" 要：通過對2023年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)“圖形的變化”相關(guān)試題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其特點主要是立足基礎(chǔ)、注重能力、聚焦素養(yǎng)，滲透學(xué)科核心素養(yǎng). 主要表現(xiàn)為考查知識技能的熟練掌握，凸顯思想方法的靈活應(yīng)用，體現(xiàn)學(xué)習(xí)經(jīng)驗的遷移運(yùn)用. 在復(fù)習(xí)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生用好教材，形成結(jié)構(gòu)化知識；抓住題目特點，尋找解決問題的突破口；用好圖形探究解題思路，強(qiáng)調(diào)回顧積累活動經(jīng)驗.

關(guān)鍵詞：圖形的變化；典型試題；解法分析

一、試題特點分析

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》），“圖形的變化”部分包含圖形的軸對稱、圖形的旋轉(zhuǎn)、圖形的平移、圖形的相似和圖形的投影等內(nèi)容. 2023年全國各地區(qū)初中學(xué)業(yè)水平考試（以下統(tǒng)稱“中考”）數(shù)學(xué)試卷中“圖形的變化”試題主要考查了判斷、識別圖形的變化，利用圖形的變化推理，用相似三角形或銳角三角函數(shù)知識解決實際問題等內(nèi)容，同時考查學(xué)生的幾何直觀、空間觀念、推理能力等素養(yǎng). 試題特點如下：立足基礎(chǔ)，在具體的圖例中識別回憶，體現(xiàn)圖形變化的特征；注重能力，在多種變化中尋找聯(lián)系，凸顯變化的聯(lián)系；聚焦素養(yǎng)，在問題情境中探究思路，彰顯不變的關(guān)系.

1. 在具體圖例中識別回憶，立足基礎(chǔ)知識

2023年全國各地區(qū)中考“圖形的變化”試題的考查立足基礎(chǔ)，部分試題要求學(xué)生對具體圖例的對稱性和三視圖進(jìn)行識別. 學(xué)生在解題時，或回憶軸對稱圖形、中心對稱圖形的特點，識別圖形的對稱性；或根據(jù)每一種對稱圖形的特點在網(wǎng)格中作圖；或利用中心投影與平行投影的概念判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體.

（1）根據(jù)具體圖例，識別圖形變化的類型.

例1 （黑龍江·牡丹江卷）下列圖形中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（" " ）.

[（A）][（B）][（C）][（D）]

目標(biāo)分析：識別軸對稱圖形和中心對稱圖形，認(rèn)識并欣賞自然界和現(xiàn)實生活中的對稱圖形.

解法分析：找對稱軸和對稱中心. 此題選A.

題源分析：在多個版本的初中數(shù)學(xué)教材中都有類似的習(xí)題. 在判斷圖形是軸對稱圖形或中心對稱圖形的過程中，需回憶圖形變化的特點，識別變化的類型.

類題賞析：2023年全國各地區(qū)中考試卷中，識別簡單幾何圖形對稱性的試題還有山東濰坊卷第2題、北京卷第2題、四川內(nèi)江卷第5題等. 還有結(jié)合生活實例判斷建筑物對稱性的試題，如江蘇蘇州卷第2題的識別古典園林中的花窗圖案，內(nèi)蒙古赤峰卷第2題的剪紙圖案，湖南衡陽卷第3題的化學(xué)儀器示意圖，新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)卷第2題的交通標(biāo)志，云南卷第7題的藝術(shù)字，等等. 湖南株洲卷第8題是以命題的形式判斷所給圖形的對稱中心和對稱軸，山東東營卷第4題則是把剪紙、圖形的對稱性與概率的知識融合在一起進(jìn)行考查. 在中考復(fù)習(xí)時，要重視對圖形軸對稱的特點與中心對稱的特點進(jìn)行辨別.

例2 （湖南·衡陽卷）作為中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一的紫砂壺，成型工藝特別，造型式樣豐富，陶器色澤古樸典雅，從一個方面鮮明地反映了中華民族造型審美意識. 圖1是一把做工精湛的紫砂壺“景舟石瓢”，其左視圖的大致形狀是（" " ）.

lt;＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數(shù)初中版2023年飛翔＼中數(shù)初中2023年第11期＼Image＼蔣梅圖2.jpggt;[圖1][（A）][（B）][（C）][（D）]

目標(biāo)分析：經(jīng)歷從不同角度觀察立體圖形的過程，發(fā)展幾何直觀和空間觀念.

解法分析：區(qū)分幾何體的三視圖. 此題選B.

題源分析：各版本初中數(shù)學(xué)教材中都有從不同角度觀察立體圖形得到三視圖的例題和習(xí)題. 例如，人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）“29.2 三視圖”的例1即是讓學(xué)生畫出圓柱、正三棱柱、球的三視圖. 解決這類問題時，需分清各種視圖，以及視圖（平面圖形）與幾何體的聯(lián)系.

類題賞析：2023年全國各地區(qū)中考試卷中，山東濱州卷第3題判斷水杯的俯視圖，浙江溫州卷第2題判斷幾何體組成擺件的主視圖，重慶卷第2題判斷由幾個簡單幾何體構(gòu)成的立體圖形的三視圖，湖北天門卷第3題、四川瀘州卷第4題、云南卷第4題根據(jù)三視圖推測原幾何體的形狀. 復(fù)習(xí)時要弄清楚三種視圖的特點，以及視圖與幾何體的相互轉(zhuǎn)化.

（2）利用網(wǎng)格操作，回憶圖形變化的特點.

例3 （浙江·寧波卷）在如圖2所示的4 × 4的方格紙中，按下列要求畫出格點三角形（頂點均在格點上）.

[ ] [P][（a）][ ][B][（b）] [C][A][圖2]

（1）在圖2（a）中先畫出一個以格點P為頂點的等腰三角形PAB，再畫出該三角形向右平移2個單位后的△P′A′B′；

（2）將圖2（b）中的格點△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，畫出經(jīng)旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C.

目標(biāo)分析：在網(wǎng)格中根據(jù)圖形變化的特點畫圖.

解法分析：第（1）小題要求畫出以點P為頂點的等腰三角形，答案不唯一，需考慮把這個等腰三角形向右平移2個單位長度后圖形還在網(wǎng)格中. 第（2）小題只需找到點A，B繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點再順次連接即可（圖略）.

題源分析：人教版教材第23章“旋轉(zhuǎn)”習(xí)題23.1的第4題要求在網(wǎng)格中作已知圖形繞固定點逆時針旋轉(zhuǎn)90°和180°后的圖形. 在“圖形的變化”專題中，結(jié)合圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱與網(wǎng)格的特點，準(zhǔn)確畫出圖形，也是復(fù)習(xí)的重點.

類題賞析：2023年全國各地區(qū)中考試卷中，安徽卷第17題要求在網(wǎng)格中畫出已知線段關(guān)于某條直線對稱的圖形及平移后的圖形，湖北武漢卷第21題要求在網(wǎng)格中畫出已知圖形的旋轉(zhuǎn)、軸對稱圖形，四川廣安卷第24題把網(wǎng)格作圖與拼圖綜合在一起，山東聊城卷第8題把圖形在網(wǎng)格中的變化與求點的坐標(biāo)融合. 網(wǎng)格有助于學(xué)生在理解圖形變化的特點基礎(chǔ)上簡化作圖過程. 同時，也可以把圖形的變化與平面直角坐標(biāo)系結(jié)合起來. 2023年多地中考試題把網(wǎng)格與圖形的變化相結(jié)合，結(jié)合圖形與坐標(biāo)考查圖形變化的特點.

2. 在多種變化中尋找聯(lián)系，注重能力發(fā)展

圖形的每一種變化都有著獨特的特點，關(guān)鍵要厘清圖形中相關(guān)元素變化前后的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系. 有形狀、大小不變的全等變化，如圖形的平移、翻折（軸對稱）和旋轉(zhuǎn)；也有形狀不變、大小改變的相似變化. 找準(zhǔn)每一種圖形變化的特點，厘清圖形變化前后對應(yīng)角、對應(yīng)線段的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

（1）軸對稱的表述.

例4 （湖北·天門卷）如圖3，將邊長為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應(yīng)點M落在邊AD上（點M不與點A，D重合），點C落在點N處，MN與CD交于點P，折痕分別與邊AB，CD交于點E，F(xiàn)，連接BM．

（1）求證：∠AMB = ∠BMP；

（2）若DP = 1，求MD的長．

[圖3][B][C][F][N][P][D][M][A][E]

目標(biāo)分析：理解軸對稱的概念和性質(zhì).

解法分析：（1）由折疊可知EB = EM，則∠EBM = ∠EMB. 又由∠EMN = ∠ABC = 90°，得∠CBM = ∠BMN. 故∠AMB = ∠MBC = ∠BMP.

（2）設(shè)[MD=x]，則[AM=3-x.] 設(shè)[AE=y，] 則[EM=][EB=3-y.] 在Rt△AEM中，由[AE2+AM2=EM2，] 得[y2+][3-x2=3-y2.] 解得[y=-16x2+x，] 即[AE=-16x2+x.] 由已知可證得△AME ∽ △DPM，所以[AMDP=AEMD，] 即[3-x1=-16x2+xx]. 解得[x1=0]（舍），[x2=125，] 即[MD=][125].

題源分析：折紙是軸對稱的典型表述，折紙中會隱含相等的線段和相等的角. 人教版教材第18章“平行四邊形”的數(shù)學(xué)活動就是折紙活動. 學(xué)生在解題時，常找不全隱含的條件，導(dǎo)致解決問題出現(xiàn)困難. 解決這類題的關(guān)鍵是先找出隱含在折紙中的相等條件.

類題賞析：2023年全國各地區(qū)中考試題中還有把折紙與綜合實踐相聯(lián)系，融合線段垂直平分線、角平分線、等腰三角形等知識進(jìn)行考查的試題，如廣西卷第26題、內(nèi)蒙古通遼卷第22題、山東棗莊卷第24題、遼寧大連卷第25題等.

（2）旋轉(zhuǎn)的要素.

例5 （上海卷）如圖4，在△ABC中，∠C = 35°，將△ABC繞著點A旋轉(zhuǎn)α（0° lt; α lt; 180°），旋轉(zhuǎn)后的點B落在BC上，點B的對應(yīng)點為D，連接AD，AD是∠BAC的角平分線，則α的度數(shù)為 " " " .

目標(biāo)分析：認(rèn)識旋轉(zhuǎn)的基本特征.

解法分析：如圖5，根據(jù)已知條件，可得∠BAD = ∠DAC = α，∠B = ∠ADB = α + 35°. 由∠DAB + ∠ABD + ∠ADB = 180°，求出[α=110°3].

[圖5][A][B][C][D][E]

題源分析：因為圖形旋轉(zhuǎn)變化前后有對應(yīng)線段相等，因此圖形的旋轉(zhuǎn)變化常與等腰三角形聯(lián)系起來. 在圖形的旋轉(zhuǎn)變化中，找到變化前后相等的線段和角很重要.

類題賞析：類似地，2023年全國各地區(qū)中考試卷中，利用圖形的旋轉(zhuǎn)變化求值（坐標(biāo)、角度、線段長度）的試題有浙江紹興卷第24題、山東東營卷第8題等，在旋轉(zhuǎn)變化中求最值的試題有四川廣元卷第25題、遼寧本溪卷第18題、山東泰安卷第12題等，還有將旋轉(zhuǎn)與多種知識融合的試題，如安徽卷第22題、福建卷第25題等. 在解答旋轉(zhuǎn)的問題時，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分析出旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)線段、對應(yīng)角的關(guān)系，以及形成的等腰三角形，是解題的關(guān)鍵.

（3）體會變化中的聯(lián)系.

例6 （河南卷）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣. 下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計的問題，請你解答.

（1）觀察發(fā)現(xiàn).

如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，過點[M4，0]的直線l平行于y軸，作△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A1B1C1，再分別作△A1B1C1關(guān)于x軸和直線l對稱的圖形△A2B2C2和△A3B3C3，則△A2B2C2可以看作是△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為" " ；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距離為" " 個單位長度.

[ ] [B3][A3][C3][C2][B2][A2][B1][A1][C1][B][A][C][M][l][y][x][O][圖6]

（2）探究遷移.

如圖7，?ABCD中，∠BAD = α（0° lt; α lt; 90°），P為直線AB下方一點，作點P關(guān)于直線AB的對稱點P1，再分別作點P1關(guān)于直線AD和直線CD的對稱點P2和P3，連接AP，AP2，試僅就圖7的情形解決以下問題.

[P][A][B][C][D][D][P2][P3][P1][圖7]

① 若∠PAP2 = β，試判斷β與α的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

② 若AD = m，求P，P3兩點間的距離．

（3）拓展應(yīng)用.

在（2）的條件下，若α = 60°，AD =[23]，∠PAB = 15°，連接P2P3. 當(dāng)P2P3與?ABCD的邊平行時，試直接寫出AP的長.

目標(biāo)分析：此題中蘊(yùn)含多種圖形變化的關(guān)系，體現(xiàn)了知識的結(jié)構(gòu)化，考查了學(xué)生的幾何直觀、空間觀念和推理能力等素養(yǎng)，滲透了分類討論思想.

解法分析：第（1）（2）小題比較簡單，直接用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的相關(guān)性質(zhì)解決即可.

第（3）小題，“P2P3與?ABCD的邊平行”可以分解為P2P3∥AD和P2P3∥AB兩種情況，如圖8和圖9所示. 由∠PAB = 15°，可得∠PAP1 = 30°. 利用等腰三角形的兩腰相等，建立等式，求出AP的長為[32-6]或[26].

[P][P3] [圖8][A][B][C][D][P2][P1] [圖9][P][P3][A][B][C][D][P2][P1]

題源分析：人教版教材第23章復(fù)習(xí)題的第4～6題是對圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱進(jìn)行綜合應(yīng)用. 把多種圖形的變化融合在一起，更需要厘清變化前后對應(yīng)的線段、角之間的聯(lián)系，然后利用圖形的性質(zhì)解答. 這類試題綜合性較強(qiáng)，難度相對較高，一般作為壓軸題出現(xiàn).

類題賞析：2023年全國各地區(qū)中考試卷中，河北卷第26題聯(lián)系了圖形的軸對稱與旋轉(zhuǎn)、相似變化，湖北鄂州卷第24題含有翻折和旋轉(zhuǎn)變化，山西卷第22題綜合了三角形全等、旋轉(zhuǎn)、相似進(jìn)行考查. 把多種圖形的變化融合在一起，分析這些變化中對應(yīng)元素間的聯(lián)系及對應(yīng)圖形的相關(guān)性質(zhì)，是解決這類問題的關(guān)鍵.

3. 在問題情境中探究思路，聚焦核心素養(yǎng)

2023年全國各地區(qū)中考“圖形的變化”的試題以圖形的變化為載體，在數(shù)學(xué)情境中考查學(xué)生的推理能力，以生活情境考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，滲透了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，利用科學(xué)情境體現(xiàn)創(chuàng)新意識.

（1）在數(shù)學(xué)情境中考查推理能力.

例7 （山東·泰安卷）如圖10，△ABC，△CDE是兩個等腰直角三角形，EF⊥AD.

（1）當(dāng)AF = DF時，求∠AED的度數(shù)；

（2）求證：△EHG ∽ △ADG；

（3）求證：[AEEH=ACHC].

[圖10][B][E][C][G][D][F][A][H]

目標(biāo)分析：此題在數(shù)學(xué)情境中整合相似變化與圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)了對幾何直觀和推理能力的考查.

解法分析：（1）由已知，可證得△AEC ≌ △ADC，得AE = AD. 因為EF⊥AD，且AF = DF，得AE = DE. 所以△AED是等邊三角形，即∠AED = 60°.

（2）由已知，易得∠AGE = 90°. 所以∠AGD = ∠EGH = 90°. 因為∠AHF = ∠EHG，所以∠FAH = ∠HEG. 所以△EHG ∽ △ADG.

（3）如圖11，過點H作HK⊥BC，垂足為點K，可得[ACHC=ABHK]. 因為∠AEB = 45° + ∠EAC，∠HEK = 45° + ∠HEG，∠EAC = ∠HEG，所以∠AEB = ∠HEK. 由此可以證得△ABE ∽ △HKE，所以[AEEH=ABHK]. 再用線段的比值等量代換，可得結(jié)論[AEEH=ACHC].

[B][E][C][G][D][F][A][H] [K] [圖11]

題源分析：第（1）（2）小題主要考查等腰三角形的性質(zhì)；第（3）小題考查三角形相似的判定和性質(zhì). 此類問題中，需要學(xué)生結(jié)合圖形的變化，綜合應(yīng)用圖形的性質(zhì)來解決問題，考查了學(xué)生的推理能力，重點提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

類題賞析：2023年全國各地區(qū)中考試卷中，山東菏澤卷第23題以相似、軸對稱、矩形、正方形、菱形為背景命制，綜合了圖形的變化與性質(zhì)的內(nèi)容. 重點分析條件與結(jié)論之間的關(guān)系，利用數(shù)學(xué)推理逐漸縮小條件和結(jié)論之間的差距，是解決問題的基本方向.

（2）在生活情境中融入應(yīng)用意識.

例8 （湖南·常德卷）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學(xué)和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖12（a）所示的椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同學(xué)小余. 小陳同學(xué)先測量，根據(jù)測量結(jié)果畫出了如圖12（b）所示的示意圖. 已知四邊形ABCD是平行四邊形，座板CD與地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC = CE，∠FBA = 114.2°，靠背FC = 57 cm，支架AN = 43 cm，扶手的部分BE = 16.4 cm. 這時她問小余同學(xué)，你能算出靠背頂端F點距地面（MN）的高度是多少嗎？試幫小余同學(xué)算出結(jié)果.（最后結(jié)果保留一位小數(shù).）

（參考數(shù)據(jù)：[sin65.8°≈0.91，] [cos65.8°≈0.41]，[tan65.8°≈2.23].）

[M][N][D][C][E][A][B][F] [（b）]lt;＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數(shù)初中版2023年飛翔＼中數(shù)初中2023年第11期＼蔣梅" 折疊椅.jpggt;[（a）][圖12]

目標(biāo)分析：此題在生活情境中融入了銳角三角函數(shù)知識，考查了學(xué)生的幾何直觀、應(yīng)用意識等素養(yǎng).

解法分析：如圖13，分別過點F，A作MN的垂線，垂足分別為點H[，H2，] FH與CD交于點[H1]，過點C作AB的垂線，垂足為點[H3]，可得[FH1=FCsin65.8°]，[AH2=][ANsin65.8°，] [CH3=][12BEtan 65.8°]. 結(jié)合圖形，得[FH=][FH1+AH2-CH3]. 代入相應(yīng)的數(shù)值即可得FH的長約為72.7 cm.

[M][N][D][C][E][A][B][F][圖13] [H2] [H3][H1][H]

題源分析：此題求椅子的高度，視角新穎，與學(xué)生的生活息息相關(guān). 各版本初中數(shù)學(xué)教材中都含有豐富的利用銳角三角函數(shù)知識解決實際問題的例題和習(xí)題. 銳角三角函數(shù)知識主要與測量相關(guān)聯(lián)，一般試題中的文字信息量大，需要從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，這是學(xué)生解題的難點. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從生活實際問題情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，這是解決這類問題的重點.

類題賞析：2023年全國各地區(qū)中考試卷中，利用銳角三角函數(shù)解決實際問題，是歷年各地中考常見的試題類型，如四川成都卷第16題的遮陽棚、重慶卷第24題路線的選擇、廣東卷第18題空間站上機(jī)械臂兩點的距離等. 把實際問題數(shù)學(xué)化是解答這類問題的難點，復(fù)習(xí)時要給學(xué)生留出充分理解題意的時間.

（3）在科學(xué)情境中隱藏創(chuàng)新意識.

例9 （山東·棗莊卷）如圖14（a），桔槔是一種原始的汲水工具，它是在一根豎立的架子上加上一根細(xì)長的杠桿，末端懸掛一重物，前端懸掛水桶. 當(dāng)人把水桶放入水中打滿水以后，由于杠桿末端的重力作用，便能輕易把水提升至所需處. 若已知：杠桿AB = 6米，AO∶OB = 2∶1，支架OM⊥EF，OM = 3米，AB可以繞著點O自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點A旋轉(zhuǎn)到如圖14（b）所示的位置時，∠AOM = 45°，此時點B到水平地面EF的距離為 " " " ．（結(jié)果保留根號.）

lt;＼＼10.1.5.160＼f＼00初中＼00中數(shù)初中版2023年飛翔＼中數(shù)初中2023年第11期＼Image＼蔣梅圖15.jpggt; [圖14][（a）][（b）][E][F][M][O][B][T][O][A][水桶]

目標(biāo)分析：此題寓物理學(xué)科的杠桿原理于相似三角形中. 利用三角形相似和物理學(xué)科知識解決實際問題，體現(xiàn)了學(xué)科融合，滲透了幾何直觀和創(chuàng)新意識等素養(yǎng).

解法分析：如圖15，延長BT，與MF交于點N，過點O作OC⊥BT，垂足為點C. 由題意易得BC∥OM，所以∠AOM = ∠OBC = 45°. 由已知易得四邊形OMNC是矩形，所以O(shè)M = NC = 3. 在Rt△OBC中，BC = OB·sin 45°，且易得OB = 2，所以BC =[2]. 因此，點B到EF的距離BN = BC + CN = （3 +[2]）米.

[E][F][M][O][B][O][A] [C] [N][圖15]

題源分析：人教版教材第26章的閱讀與思考——生活中的反比例關(guān)系，以及“數(shù)學(xué)活動”中，除了有物理的壓力、壓強(qiáng)和受力面積之間的關(guān)系，還有氣體質(zhì)量、壓強(qiáng)、體積的關(guān)系，也有汽車功率、行駛速度、所受的阻力之間的反比例關(guān)系，等等. 解答這類問題時，除了要用到數(shù)學(xué)知識，還需要綜合應(yīng)用其他學(xué)科知識. 科學(xué)情境類問題是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的重要載體.

類題賞析：2023年全國各地區(qū)中考試卷中，類似的試題有浙江嘉興卷第22題的人臉識別、甘肅定西卷第9題把物理的光學(xué)融入數(shù)學(xué)知識等. 在教學(xué)中，教師應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生用跨學(xué)科知識解決綜合性問題的意識.

二、優(yōu)秀試題分析

1．考查知識技能的熟練掌握

例10 （北京卷）在△ABC中，∠B = ∠C =[α][0°lt;αlt;45°]，AM⊥BC于點M，D是線段MC上的動點（不與點M，C重合），將線段DM繞點D順時針旋轉(zhuǎn)[2α]得到線段DE．

（1）如圖16（a），當(dāng)點E在線段AC上時，求證：D是MC的中點；

（2）如圖16（b），若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足DF = DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明.

[A] [B][C][M][D][E] [A] [B][C][M][D][E][F][（a）][（b）][圖16]

題意理解：由“∠B = ∠C =[α]，AM⊥BC于點M”，知AB = AC，BM = CM. 根據(jù)“DM繞點D順時針旋轉(zhuǎn)[2α]得到線段DE”，得DM = DE，∠MDE =[2α]= 2∠C. 解決第（1）小題，需證明DM = DC；第（2）小題中，需結(jié)合DF = DC，求∠AEF的大小.

思路探求：第（1）小題，利用“等角對等邊”，可得DC = DE = DM. 第（2）小題，觀察∠AEF的度數(shù)可能為90°. 按第（1）小題的思路，延長DE交AC于點P，可證△CPF是直角三角形，再利用直角三角形的判定求∠AEF的度數(shù). 或者構(gòu)造以AF為腰、FE所在直線為底的等腰三角形.

解析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得DM = DE，∠MDE =[2α]. 由∠C =[α]，得∠C = ∠CED =[α]，則DE = CD. 所以DM = CD，即D是MC的中點.

（2）∠AEF = 90°. 下面給出兩種證明方法.

（方法1）如圖17，延長DE交AC于點P，取AF的中點Q，連接PQ，QE，QM. 可得DF = DC = DP，即∠FPC = 90°，MF = PE，∠DFP = ∠DPF. 由Q是Rt△AFM和Rt△APF的斜邊AF的中點，得QF = QA = QP = QM，∠QFP = ∠QPF. 因此可證得△QFM ≌ QPE，即QE = QM =[12]AF，故∠AEF = 90°.

[圖17][A] [B][C][M][D][E][F] [P] [F][Q]

（方法2）如圖18，延長FE至點G，使GE = FE，連接AG，CG. 因為DF = DC，所以DE是△FCG的中位線. 所以∠FCG = ∠FDE = 2∠ACB. 所以∠ACG = ∠B. 因為BF = BM - MF = CM - （DF - DM） = CM - CD + MD = 2MD = 2DE = CG，且AB = AC，所以△ABF ≌ △ACG. 所以AF = AG. 又因為點E是線段FG的中點，所以AE⊥FG，即∠AEF = 90°.

[圖18][A] [B][C][M][D][E][F][G][F]

回顧反思：此題以等腰三角形為背景，結(jié)合旋轉(zhuǎn)進(jìn)行結(jié)論探究，涉及等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)與判定、三角形的中位線等知識. 兩道小題思維呈遞進(jìn)方式. 在解答第（2）小題時，學(xué)生的難點是構(gòu)造直角三角形，如方法1中構(gòu)造Rt△CFP，方法2中利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到直角. 2023年中考試題中，安徽卷第22題也是將線段旋轉(zhuǎn)后求角、線段和三角函數(shù)值的大小. 把圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形的性質(zhì)融合，體現(xiàn)了知識的結(jié)構(gòu)化，滲透了對幾何直觀和推理能力的考查.

2. 凸顯思想方法的靈活應(yīng)用

例11 （江西卷）如圖19，在?ABCD中，∠B = 60°，BC = 2AB，將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0° lt; α lt; 360°）得到AP，連接PC，PD. 當(dāng)△PCD為直角三角形時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為 " " ．

[B][P][C][A][D][圖19]

題意理解：根據(jù)已知，點P在以點A為圓心、AB為半徑的圓上運(yùn)動. 當(dāng)△PCD為直角三角形時，每個頂點都可能是直角，因此需要分情況討論.

思路探求：先根據(jù)已知求出題中的隱含條件，然后分別討論△PCD中三個角分別為直角的情況，注意判斷是否每種情況都符合條件.

解析：如圖20（a），連接AC. 由已知可得∠BAC = 90°. 因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以∠BAC = ∠ACD = 90°. 在AP旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠PCD = 90°時，點P在直線AC上，此時AB旋轉(zhuǎn)了90°或270°；當(dāng)∠PDC = 90°時，DP⊥BA，AB旋轉(zhuǎn)了180°.

[B][C][A][D] [P1] [P3][P2] [B][F][C][A][D] [（b）][（a）][圖20] [P]

如圖20（b），取CD的中點F，連接AF，以點F為圓心，CF長為半徑作☉F. 令CD = 2a，則可得[AF=13][a]. 此時☉A與☉F相離，所以∠DPC lt; 90°.

因此，當(dāng)△PCD為直角三角形時，旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為90°或180°或270°.

回顧反思：解決此題的難點是分析出旋轉(zhuǎn)過程中滿足條件的幾種情況. 借助圖形直觀分析是解答策略. 此題把圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形的性質(zhì)綜合起來，考查了學(xué)生的幾何直觀、分類討論和推理能力. 試題設(shè)計新穎，需要學(xué)生敏銳感知圖形的運(yùn)動變化.

3. 體現(xiàn)學(xué)習(xí)經(jīng)驗的遷移運(yùn)用

例12 （湖南·湘潭卷）問題情境：

小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后，進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動：在正方形ABCD的邊BC上任意取一點G，以BG為邊長向外作正方形BEFG，將正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn).

特例感知：

（1）當(dāng)BG在BC上時，連接DF，AC相交于點P，小紅發(fā)現(xiàn)點P恰為DF的中點，如圖21（a）所示. 針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，試給出證明.

（2）小紅繼續(xù)連接EG，并延長與DF相交，發(fā)現(xiàn)交點恰好也是DF的中點P，如圖21（b）所示. 根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，試判斷△APE的形狀，并說明理由.

規(guī)律探究：

（3）如圖21（c），將正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)[α]，連接DF，點P是DF的中點，連接AP，EP，AE，△APE的形狀是否發(fā)生改變？試說明理由.

[A][D][B][C][G][F][E][P][（a）] [A][D][B][C][G][F][E][P][（b）] [A][D][B][C][G][F][E][P][（c）][圖21]

題意理解：此題將兩個正方形按照一定要求擺放，因其位置的特殊性，可以探究其中一些邊、角的關(guān)系. 解第（1）小題需證DP = PF；第（2）小題中，通過直觀觀察，猜測△APE是等腰直角三角形，需證明∠APE = 90°，且AP = EP. 第（3）小題中，通過直觀觀察，猜測結(jié)論不變.

思路探求：（1）根據(jù)已有的經(jīng)驗，可以把DP，PF分別置于兩個三角形中，根據(jù)三角形全等判斷DP = PF. （2）根據(jù)已知條件，因為點P既在AC上，也在EG的延長線上，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得△APE中有兩個45°的角，因此可以得到結(jié)論. （3）可以延長AP或EP構(gòu)造等腰直角三角形來解決問題.

解析：（1）延長FG交AC于點Q，或延長EF，AC交于點H，通過證明三角形全等可以得到結(jié)論.

（2）因為∠PAB = ∠GEB = 45°，所以△APE是等腰直角三角形.

（3）方法1：如圖22，延長AP至點M，使PM = PA，連接ME和MF，先證△APD ≌ △MPF，得MF = DA，且MF∥CB. 由∠ABE + ∠CBG = 180°，∠CBG + ∠EFM = 180°，得∠ABE = ∠MFE，故可證得△ABE ≌ △MFE，得∠AEB = ∠MEF，即∠AEM = ∠BEF = 90°，且AE = ME，所以△AEM是等腰直角三角形. 所以△APE是等腰直角三角形.

[A][D][B][C][G][F][E][P] [M][圖22]

方法2：如圖23，延長EP至點N，使NP = PE. 先證△PDN ≌ △PFE，得DN = EF = BE，從而證得△ADN ≌ △ABE，得AN = AE，∠DAN = ∠BAE. 可得△AEN是等腰直角三角形. 所以△APE是等腰直角三角形.

[A][D][B][C][G][E][P] [N][F][圖23]

回顧反思：此題第（3）小題的解法可以類比第（1）小題的思路，延長AP或EP，使AP或EP成為等腰直角三角形斜邊的部分. 對學(xué)生而言，這幾種思路的難點都是轉(zhuǎn)化旋轉(zhuǎn)角[α]與∠ABE的大小關(guān)系.

對于第（2）小題，可以進(jìn)行適當(dāng)改編，如證明“點G在EP上”，還可以探究AP，CG，GE的關(guān)系或者探究AP與AE的關(guān)系. 對于第（3）小題，可以試著把正方形變?yōu)榱庑危鹊?

此題的三道小題從簡單到復(fù)雜，從特殊的位置開始旋轉(zhuǎn)，探究旋轉(zhuǎn)過程中存在的關(guān)系，這種從特殊到一般的探究過程，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要具備的經(jīng)驗之一.

三、復(fù)習(xí)備考建議

1. 用好教材，形成結(jié)構(gòu)化知識

教材中的學(xué)習(xí)素材是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能、形成知識網(wǎng)絡(luò)、培養(yǎng)能力的重要資源. 在中考復(fù)習(xí)備考過程中，教師可以提煉多個主題，引導(dǎo)學(xué)生在主題的引領(lǐng)下，把知識上串下聯(lián)，形成內(nèi)容結(jié)構(gòu). 通過梳理教材例題和習(xí)題的解答，剖析解決問題的方法，歸納、提煉有效策略，使學(xué)生在具體的問題情境中感悟數(shù)學(xué)思想，在參與數(shù)學(xué)活動的過程中積累學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗. 學(xué)生通過綜合內(nèi)容結(jié)構(gòu)、策略方法、數(shù)學(xué)思想、活動經(jīng)驗，形成結(jié)構(gòu)化知識，從而提升學(xué)習(xí)能力.

對于“圖形的變化”主題，可以引導(dǎo)學(xué)生歸納研究學(xué)習(xí)圖形的變化內(nèi)容的基本套路，即“抽象形成研究對象—研究圖形的變化特點（性質(zhì)、判定）—與其他主題聯(lián)系—應(yīng)用”. 將圖形的變化內(nèi)容與圖形的性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)相聯(lián)系，有利于學(xué)生建構(gòu)知識體系. 學(xué)生通過參與數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)活動過程，達(dá)成“四基”，培養(yǎng)“四能”，提升學(xué)習(xí)能力，為之后的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

2. 抓住特點，尋找問題突破口

分析圖形中元素之間的關(guān)系是解決圖形的變化問題的突破口. 圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱是全等變換，在變化過程中原圖形與變化后的圖形的對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等，變化后又會產(chǎn)生新的角、新的線段關(guān)系. 相似是圖形的形狀不變、大小改變，對應(yīng)線段成比例，對應(yīng)角相等. 投影則是立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化. 每種變化都有其獨特的特點，解題時，掌握每種變化的特點是關(guān)鍵.

3. 用好圖形，探究解題思路

“圖形的變化”部分的試題往往需要按照要求作出變化后的圖形，分析變化前后組成元素的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，為解題提供思路和方向. 在復(fù)習(xí)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所給條件，把圖形變化前后相關(guān)的線段和角的關(guān)系梳理清楚，找出相等的關(guān)系，分析存在的線段或角的和差倍分關(guān)系，結(jié)合所給圖形聯(lián)想有關(guān)圖形的性質(zhì). 全等變化中，常將軸對稱與垂直平分線聯(lián)系，將旋轉(zhuǎn)與等腰三角形聯(lián)系，把問題中的變化條件轉(zhuǎn)化成相關(guān)的圖形，或引導(dǎo)學(xué)生按照要求作出圖形，利用圖形的直觀解題.

4. 強(qiáng)調(diào)回顧，積累活動經(jīng)驗

波利亞提出了解題的四步，即理解題意，擬訂計劃，執(zhí)行計劃，回顧反思. 在教學(xué)中，“回顧反思”往往被忽略. 在進(jìn)行題后回顧時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：此題還有沒有其他解法？哪種方法比較自然？哪種方法比較簡單？解題時遇到的困難是什么？遇到困難的原因是什么？這個圖可以分解出哪些基本圖形？還可以得到哪些結(jié)論？可以與教材中的哪些題歸為一類？可以怎樣進(jìn)行改編？等等.

通過題后反思、歸類，可以提升數(shù)學(xué)思維，積累解題經(jīng)驗. 回顧，是對學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗的積累，更是對學(xué)習(xí)能力的提升，也是學(xué)科育人落地的重要路徑之一.

四、模擬題示例

1. 如圖24，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，點P是CD上的一個動點，連接AP，把△ADP沿AP翻折，得到△APQ，點Q在矩形內(nèi). 若AB = 12，AD = 10，當(dāng)QE取得最小值時，求PE的長. [圖24][A][B][Q][P][D][C][E]

答案：[4813].

2. 如圖25，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B =[α]，[0°lt;α≤45°]，點D是邊CB上一點，把CD繞著點D旋轉(zhuǎn)[2α]得到線段DE.

（1）如圖25（a），點E在線段AB上時，求證：點D是邊CB的中點；

（2）如圖25（b），若點E在∠ABC的平分線BF上時，連接CE并延長交AB于點G.

求證：[CBCF=ABAF].

[圖25][（a）][（b）][C][D][B][E][A][C][D][B][G][A][E][F]

答案：略.

3. 如圖26，在△ABC與△CDE中，AC = BC，DC = EC.

（1）如圖26（a），若∠ACB = ∠DCE = 60°.

① 點D在AC邊上，連接AE，BD，BD的延長線交AE于點M. 直接寫出BD與AE的大小關(guān)系和∠AMD的度數(shù)；

② 如圖26（b），把△CDE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，以上結(jié)論是否還成立？試說明理由.

（2）若∠ACB = ∠DCE =[α]（[0°lt;αlt;90°]），試判斷AE與BD的大小關(guān)系，并求∠AMD的度數(shù).（用含[α]的代數(shù)式表示.）

[B][C][A][E][M][D] [B][C][A][D][M][E] [B][C][A][E][M][D] [圖26][（b）][（a）][（c）]

答案：（1）① AE = BD，∠AMD = 60°；② 結(jié)論仍成立，理由略.（2）AE = BD；當(dāng)∠AMD為銳角時，∠AMD =[α]，當(dāng)∠AMD為鈍角時，∠AMD =[180°-α].

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］陳耀忠，孫陳威. 按圖索驥" 探變求本：2022年中考“圖形的變化”專題解題分析［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2023（1 / 2）：53-60.