基于網格作圖 彰顯育人價值

摘" 要：以2023年中考天津卷中的一道網格作圖題為例，分析網格背景下用無刻度直尺作圖的基本探究方法，以及在網格中如何使用無刻度直尺畫線來實現預期的圖形效果，旨在通過日常教育教學分階段培養學生掌握基本的網格作圖方法，加強學生對相關知識的理解，提升學生的動手操作能力，培養學生的創新意識.

關鍵詞：網格作圖；幾何直觀；育人價值；教學建議

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中增加了對尺規作圖能力的要求. 尺規作圖過程中，根據不同作圖工具所具有的特定功能，通過題目中所給圖形的幾何關系特點，設計不同順序的作圖動作，實現預期的圖形效果，既能增強學生對圖形的性質與關系的認識，又能提高學生的動手操作能力，積累基本活動經驗. 不同試題對學生有不同層級的能力要求，同一道題的不同解法又能拓展為對問題多角度的認識. 在新時代呼喚培養更多創新發展人才的情況下，發展作圖能力會更有效地激發學生的學習興趣和潛能，提升學生的數學核心素養. 在網格中使用無刻度直尺作圖和尺規作圖同根同源，對學生的能力訓練效果各有千秋. 而且網格更像坐標系環境，如果再有給定的圓，就可以實現一些使用圓規才能畫出的效果，兩相結合，使此類問題變化無窮、妙趣橫生. 近年來，越來越多的中考試卷中把網格作圖題作為重要的考查題型進行設計，用以甄別學生的幾何直觀和創新思維能力. 下面結合2023年中考天津卷中的網格作圖題對此類問題進行探究與實踐，并提出相關的教學建議.

一、試題呈現

題目" 如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網格中，等邊三角形[ABC]內接于圓，且頂點[A]，[B]均在格點上.

（1）線段[AB]的長為___________；

（2）若點[D]在圓上，[AB]與[CD]相交于點[P]. 試用無刻度的直尺，在如圖1所示的網格中，畫出點[Q]，使[△CPQ]為等邊三角形，并簡要說明點[Q]的位置是如何找到的（不要求證明）___________.

二、思路分析

此題考查了勾股定理、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、平行線的判定、圓的性質等知識，以及綜合運用所學知識解決問題的能力. 其中，第（1）小題是基礎題，通過運用勾股定理容易求得線段AB的長為[29]；第（2）小題要借助網格圖中所給的條件畫出符合要求的等邊三角形的頂點Q，對學生能力要求較高，需要有策略、有順序地逐步分析探究.

我們分析此類有深度的問題時，一般流程如下：

（1）考慮按照題目要求，所要畫的點或者線應該在什么位置，在網格所給區域內是否唯一存在.

（2）找所求圖形具有的幾何特征. 要畫點時，就找經過點的直線需要滿足什么幾何條件；要畫線時，就找線上的哪個點容易確定又如何去確定.

（3）在探究出的所求圖形的幾個特征中，選擇適合在網格中使用無刻度直尺畫圖的性質，可以確保在用線較少的情況下解決問題.

（4）分步畫線構圖，并用規范、準確的語言說明每一步的作法.

如圖2，去除網格后觀察可知，問題背景為學生非常熟悉的有公共頂點的兩個等邊三角形問題. 連接[BQ]后，圖中含有旋轉型全等的兩個三角形，根據“邊角邊”的判定方法，容易證得[△CAP]≌ [△CBQ]. 要想畫出符合要求的點[Q]，就要找到經過點[Q]的直線. 由圖2可以看出，選擇直線[BQ]，[CQ]，[PQ]中的任意兩條都符合題目要求. 可以考慮分別作相應直線，以滿足[BQ∥AC]，[∠PCQ=60°]，[∠CPQ=60°]. 網格內，用無刻度直尺可以實現平行線分線段成比例、平行、垂直及它們各自組合而成的各種效果，如平移、對稱和旋轉等. 從題目需求和特性出發，結合網格和圓就可以分別設計這幾條線的畫法.

三、作法探究

1. 畫直線[BQ]

在網格中用無刻度直尺實現[BQ∥AC]，相對容易. 過格點作任意直線的平行線，常用構造三角形全等或平行四邊形的方法來實現. 如圖3，分別取[AC，AB]與網格線的交點[E，F]，連接[EF]并延長交網格線于點[M]，則直線[MB]必定經過點[Q]. 同理，作平行所需的點還有其他的選擇. 如圖4，取[AC]與網格線的交點[E]，[F]，連接[FB]與網格線交于點[G]，連接[EG]并延長，交網格線于點[H]，則直線[BH]必定經過點[Q].

2. 畫直線[CQ]

要作[∠PCQ=60°]，可以通過平行線分線段成比例、平行、垂直這些適合用無刻度直尺的作圖方法來組合實現.

（1）由[∠ACB=∠PCQ=60°]，可得[∠ACP=∠BCQ]. 若射線[CQ]交圓于點[I]，則[∠ABD=∠ACD=∠BCI=][∠BAI]. 由此可得[AD]=[BI]. 則必然有[AI∥BD]. 像這樣過格點作已知直線的平行線，可以利用三角形全等來實現. 如圖5，取[AB]與網格線的交點[F]，連接[BD]交網格線于點[G]，連接[GF]并延長交網格線于點[H]，連接[AH]并延長交圓于點[I]，則作射線[CI]必定經過點[Q]. 還可以利用中位線作平行線. 如圖6，連接[BD]交網格線于點[E]，[F]，連接[EA]并延長交網格線于點[G]，連接[GF]交網格線于點[H]，連接[AH]并延長交圓于點[I]，則所作射線[CI]必定經過點[Q].

（2）連接[AD]，考慮[∠ADC=∠ABC=60°]，于是[∠DCQ=∠ADC]，則有[CQ∥AD]. 而過網格內的點作任意直線的平行線，畫法相對復雜.

如圖7，連接[AD]并延長交網格線于點[E]，[F]，延長[AC]交網格線于點[G]，連接[GF]，[GE]，[CF]，[CF]與GE相交于點[H]，連接[AH]并延長交[GF]于點[I]，則作射線[CI]必定經過點[Q].

如圖8，根據塞瓦定理，在任意[△ABC]中，[D]，[E]，[F]分別為邊[BC]，[AB]，[AC]上的點，則當[AD]，[CE]，[BF]交于一點時，有[AEEB ? BDDC ? CFFA=1]. 當[D]為[BC]的中點時，[AEEB ? CFFA=1]，即[AEEB=AFFC]. 由于[△AEF]和[△ABC]有等角，可得[△AEF]∽[△ABC]，得∠AEF = ∠ABC. 可知[EF∥BC]. 在網格線足夠的情況下，在已知直線上找一段含中點的線段很容易，所以使用無刻度直尺必然可以作出任意直線的平行線.

3. 畫直線[PQ]

要想作出[∠CPQ=60°]，則一定會有[∠CPQ=∠CAB=]

4. 找圓心，借助對稱畫圖

網格中有給定的圓，而且等邊三角形內接于這個圓，如果能找到圓心就可以得到不同方向的對稱軸，這樣就可以改變此題中主要目標點[P]的位置，從而有機會找到更多的可以經過所求點[Q]的直線.

（1）定圓心.

圓心是圓中的關鍵位置，因此在網格中找圓心的方法自然被重點關注. 其方法多種多樣，特別是在圓上有格點的情況下，可以用更少的直線確定圓心的位置. 常用的方法是利用“[90°]的圓周角所對的弦是直徑”，以及“弦的垂直平分線經過圓心”來作圖. 如圖11，分別取圓和網格線的交點[E]，[F]，[G]，[H]，連接[EF]，[GH]相交于點[O]，則點[O]即為圓心. 或者畫出一個圓內接矩形的四個頂點，連接對角線可得圓心. 如圖12，取格點[E]，[F]，[G]，連接[AE]交圓于點[I]，連接[FG]交網格線于點[H]，連接[BH]并延長交圓于點[J]，連接[BI]和[AJ]相交于點[O]，則點[O]即為圓心.

還可以考慮作弦的垂直平分線，它必然經過圓心，另外，90°的圓周角除了可以由橫、縱相交的網格線提供，還可以選擇合適的格點自由設計取得. 如圖13，取[AB]與網格線的交點[E]，連接[CE]，取格點[F]，[G]，連接[BF]，[BG]與圓分別相交于點[H]，[I]，連接[HI]交[CE]于點[O]，則點[O]即為圓心.

（2）根據對稱性作圖.

有圓心[O]的情況下，直線[AO]，[BO]，[CO]都是等邊三角形[ABC]的對稱軸，尋找點D的作圖方法會更加靈活，但是所需要畫的線相對會更多一些. 例如，考慮先通過對稱軸[AO]將點[P]對稱到邊[AC]上的點[P1]處，則必有[AP1]和[BQ]平行且相等. 通過對稱軸[CO]將點[P1]對稱到邊[BC]的點[P2]處，則有[P1P2]∥[AB]. 如圖14，連接[AO]交[CP]于點[E]，連接[BE]交射線[CO]于點[F]，延長[BE]交[AC]于點[P1]，連接[AF]并延長交[CB]于點[P2]，則所作射線[P1P2]必定經過點[Q].

還可以考慮先通過對稱軸[CO]將點[P]對稱到邊[AB]上的點[P3]處，再根據點[P3]和點[Q]關于[CB]對稱設計作圖. 如圖15，連接[BD]交射線[CO]于點[E]，連接[AE]并延長交圓于點[F]，連接[CF]交[AB]于點[P3]，射線[AO]交圓于點[G]，連接[GP3]交[CB]于點[H]，則所作射線[OH]必定經過點[Q]. 另外，由軸對稱也可以得到等弧和等角，或者思考用兩次對稱來實現以兩對稱軸交點為旋轉中心，夾角的2倍為旋轉角的旋轉效果. 如圖16，在前者方法的基礎上作出[CF]后，連接[OB]交[CF]于點[G]，連接[AG]并延長，交圓于點[H]，則所作射線[CH]必定經過點[Q].

除了軸對稱，還可以結合中心對稱設計經過點[Q]的直線. 例如，考慮[AP1]和[BQ]平行且相等，找到[BP1]的中點后，以點[A]為頂點作經過這個中點的射線就會經過點[Q]. 如圖17，作射線[AO]分別交[CP]，[CB]于點[E]，[F]，取[AB]和網格線的交點[G]，連接[BE]，[FG]相交于點[H]，則所作射線[AH]必定經過點[Q]. 同樣地，結合在其他位置點[P]的對稱點也可以得到經過點[Q]的直線. 例如，將點[P]繞點[O]順時針旋轉[120°]得對應的點[P4]，可以根據[CP4]和[BQ]平行且相等設計作圖. 如圖18，作射線[AO]分別交[CP]，[CB]于點[E]，[F]，連接[BE]并延長交圓于點[G]，連接[CG]交射線[BO]于點[H]，連接[AH]并延長交圓于點[I]，連接[BI]交[AC]于點[P4]，則所作射線[P4F]必定經過點[Q].

前面談到的這些內容選擇的是一部分畫線相對較少的作法，此題還有眾多由簡到繁的其他作法，此處不再一一列舉. 此題要求畫的是點，兩條線相交能確定所求點，而選擇不同直線，用不同設計去思考畫圖順序，多種因素相互組合后會形成千變萬化的作法，靈活巧妙的設計可以讓不同學生體現各自在不同知識領域的發展水平，可以有效考查學生的幾何直觀、推理能力和創新思維能力.

此題所給的參考答案就是選擇其中的兩種畫線的方法，兩線相交得到所求點. 如圖19，取[AC]，[AB]與網格線的交點[E]，[F]，連接[EF]并延長，與網格線相交于點[M]，連接[MB]，連接[DB]與網格線相交于點[G]，連接[GF]并延長，與網格線相交于點[H]，連接[AH]并延長，與圓相交于點[I]，連接[CI]并延長，與[MB]的延長線相交于點[Q]，則點[Q]即為所求.

四、教學建議

網格作圖題重視考查學生已有的數學基礎知識、基本技能和基本活動經驗，多種解題思路能夠激發學生的數學思考，使其體會數學的基本思想和思維方式，從不同角度分析問題和解決問題，從而培養學生勇于探索、敢于創新的精神. 這類試題的教學功能和考查效果是非常顯著的，但由于其綜合性較強，既要求學生具備可以深入分析圖形中幾何元素之間的位置關系和數量關系的能力，又要求學生熟悉在網格中使用無刻度直尺能夠實現的作圖效果有哪些. 這僅靠幾次專題課講解或者考前突擊是很難達到理想效果的. 最好的方式，應該如春風化雨一般，將此項內容融入日常教學，把學生幾何能力和動手操作能力的訓練有機結合起來，才能達到相輔相成、共同促進的作用.

網格作圖題對學生的要求較高，學生在七年級上學期學習的幾何知識有限，不適合過多引入此類問題. 七年級下學期開始，學生有了幾何初步與平面直角坐標系的知識基礎，可以在涉及幾何內容的教學中適時適量地引入網格相關問題，可以是識圖，也可以是作圖或者簡單計算，循序漸進地將此類問題的解決方法和解題原理慢慢地滲透給學生.

八年級上學期學習了全等三角形和四邊形的知識后，以相關內容為背景，教師可以設計更多網格作圖問題來鞏固學生的所學知識，并增加涉及無刻度直尺的基本作圖方法，題目設計以三條線以內就可以完成為宜，還不適合過早涉及較復雜的內容，避免挫傷學生學習的積極性. 同一道幾何證明題常會有不同的證法對應不同的輔助線添加方法，同樣，網格作圖會有不同的選點方式或是設計思路，也常常能一題多解. 學生在不斷探究最佳畫法的過程中，題目的挑戰性和趣味性會大幅提升. 在八年級下學期學習一次函數后，網格作圖題迎來可以“先算后畫”的一個分支，對于定點、定直線，可以結合一次函數解析式和交點計算，再反推所需的直線經過的且容易畫出的點. 此時的題目設計，可以考慮以能建立平面直角坐標系計算出坐標的固定位置的幾何題為主，結果對應的數值復雜程度要適中，用線條數不受限制，強調通性通法. 在這個階段，融合了考查學生的運算能力、推理能力和動手能力的網格作圖題，可以更有效地整合代數知識和幾何知識，并提高學生的認知.

九年級上學期學習圖形的旋轉和圓的知識后，學生已經掌握三大圖形全等變換（平移、軸對稱、旋轉）的知識. 三大圖形全等變換都是基于點、線的位置關系，兩兩之間有內在聯系又有機會相互轉化，使得作圖題的設計素材更加豐富. 而將圓引入網格后，可以部分實現圓規的功能. 結合給定的圓可以使“平分圖中任意角、不同方向上截等長線段等”由之前單純網格內的不可能變為可能，作平行、垂直、特殊角也變得更加容易，使得在網格中用無刻度直尺作圖更接近尺規作圖，豐富了此類問題可實現的效果. 在九年級下學期完成相似內容的學習后，網格作圖的最后一塊重要拼圖補齊，結合“平行線分線段成比例”這一基本事實，使得在網格中作任意比例分線段成為可能. 而有了相似的理論基礎，使得一系列特別的作圖方法有了理論依據，證明確認原理后，使得應用了相應知識的作圖方法形成基本操作，并在不同的題目中得以運用，提升了解決問題的必然性，也使可解決的作圖問題極大地得到了拓展.

在中考復習階段，適合以專題復習的方式把各種類型的基本作圖方法分類整理出來，讓學生形成知識體系. 學生在吸收并靈活運用這些基本方法后，問題的解決水到渠成，在答題時各種巧妙的作法常常爭相涌現，百花齊放. 往往越復雜的問題作法越多，極為有效地促進了學生對整個初中階段知識的理解并將其融會貫通.

五、結束語

網格中使用無刻度直尺作圖，表面上看只是一類數學問題，但細品后就會發現其內涵豐富，是能很好地體現其是數學核心內容的載體. 此類題目重點考查學生的幾何直觀、推理能力和創新意識. 對于幾何直觀，要求學生能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類，根據語言描述畫出相應的圖形，并分析圖形的性質. 對于創新意識，要求學生能夠主動嘗試從日常生活、自然現象或科學情境中發現和提出有意義的數學問題，并探索開放性的數學問題. 幾何直觀和創新意識都是學生數學核心素養的重要表現. 培養創新意識有助于學生在空間觀念的基礎上進一步建立幾何直觀，提升抽象能力和推理能力. 通過練習，學生不僅可以鞏固相關問題中涉及的數量關系和空間形式方面的知識、技能，還可以學會從不同視角選擇數學工具解決問題，基于實踐體驗構筑數學思維，提升數學核心素養.《標準》強調，學生要通過學習掌握適應現代生活及進一步學習必備的基礎知識和基本技能、基本思想和基本活動經驗；激發學生學習數學的興趣，養成獨立思考的習慣和合作交流的意愿；發展實踐能力和創新精神，形成和發展核心素養. 網格作圖題恰好完美地契合《標準》提出的理念. 在實踐中，看著學生為題目解法的優化而冥思苦想，通過合作探討突破難點時的豁然開朗，靈光閃現使思路通透的歡呼雀躍，讓筆者更堅信提升數學核心素養對學生的重要性，而好的鍛煉方法也必然會更有效地實現預期的教學目的.

當前教育背景下，要把創新教育貫穿于教育活動的全過程，倡導“處處是創造之地，天天是創造之時，人人是創造之人”的教育氛圍，鼓勵學生善于奇思妙想并努力實踐，以創造之教育培養創造之人才，以創造之人才造就創新之國家. 因此，要落實立德樹人根本任務，需要努力提升學生的創新能力，讓學生勇于探索一些開放性的、非常規的數學問題，使之形成獨立思考、敢于質疑的科學態度和理性精神. 順勢而為，才會真正有所作為！在教育教學的道路上，教師要不斷探索好的方式方法，用更有效的載體、更高效率的方式去推進落實課程教學深化行動方案，實現全面育人、高質量育人目標.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］劉金英. 尺規作圖" 畫出精彩：基于2022年中考感悟尺規作圖的育人價值［J］. 中國數學教育（初中版），2022（12）：41-45.

作者簡介：劉小鵬（1979— ），男，中學高級教師，主要從事初中數學教育教學研究.