基于波利亞“怎樣解題表”的數學問題解決課例研究

摘" 要：以“應用一元一次方程——打折銷售”為例，依托波利亞“怎樣解題表”探索提升教師問題解決教學能力的課例研究方式，分別從教學目標、問題提出、理解問題、擬訂與執行方案、回顧與反思五個方面呈現了課例研究的過程與結果，探討了它們為問題解決、問題解決的教學和問題解決教學的課例研究帶來的啟示.

關鍵詞：怎樣解題表；問題解決；課例研究

新世紀以來的三個版本義務教育數學課程標準都非常重視培養學生的問題解決能力，《義務教育數學課程標準（2022年版）》更是在《義務教育數學課程標準（2011年版）》的基礎上將發展學生“發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力”（以下簡稱“四能”）從課程總目標上升到課程理念中. 但已有研究表明，教師很難達到課程標準的要求，將問題解決很好地融入自己的課堂教學中. 教師的問題解決教學能力亟須提升. 課例研究是教師教育的“載體學習”方式. 因此，探尋能夠支持教師問題解決教學能力提升的課例研究方式具有現實意義.

“四能”本質上關注的是從發現問題到解決問題的整個過程. 波利亞在《怎樣解題》一書中將問題解決的全過程劃分為理解題目、擬訂方案、執行方案、回顧與反思四個階段，并把各階段的思維過程凝練為“怎樣解題表”. 可以看到，“四能”的提法與“怎樣解題表”天然契合. 由此，將“怎樣解題表”用于發展學生問題解決能力和改進問題解決教學是合理的. 事實上，這也正是我國目前在這方面研究的趨勢，如在職前教師問題解決教學素養的培養中將怎樣解題表作為指導理論，在尺規作圖教學中進行實踐等. 基于這樣的合理性，我們嘗試依托“怎樣解題表”探索提升教師問題解決教學能力的課例研究方式. 下面借助北師大版《義務教育教科書·數學》七年級上冊“一元一次方程的應用——打折銷售”中的一道例題呈現這種課例研究的過程和結果.

一、課例研究的設計

1. 研究內容及其分析

在學習本節內容前，學生已經學習了一元一次方程的概念和解法，并通過前一節“水箱變高了”的問題感悟了運用方程進行問題解決的大致過程. 對于如圖1所示的問題的編寫，教材的呈現與“怎樣解題表”的脈絡一致，旨在讓學生通過建立成本、售價、標價、利潤、利潤率等的關系得出方程，并領會問題解決的一般過程.

2. 研究思路及其過程

本次的研究對象是1名教齡為7年的青年教師A的三次教學設計及其在不同班級的教學實踐. 研究人員組成的實踐共同體，除教師A外，還有一支包含教材編寫者、省級教研員、特級教師、省學科帶頭人的6人專家團隊及來自不同地區的6名教師. 研究方式借鑒了顧泠沅的“行動研究”模式，包括三次教學及兩次研討，具體過程如圖2所示.

二、課例研究的實施

1. 對于“教學目標”的改進

第一次執教后，實踐共同體研討發現，教師A的教學過程側重教師講授和學生模仿，割裂了知識技能、思想方法、情感態度的目標，教學過程既沒有反映出教材給出的知識的內在邏輯關系，也沒有引導學生完整經歷從實際情境中抽象出數學問題再逐步解決的全過程. 鑒于此，此次研討將“如何從問題解決的視角認識教材編排并設計教學目標？”作為研究問題. 教師A基于研討結果形成了第二稿的設計及教學.

第二次執教后，實踐共同體普遍關注到，教師A想要面面俱到地體現教材的問題解決理念，但實際卻蜻蜓點水. 于是，“本節課的核心目標是什么？怎么教？”成為接下來要研究的問題，從而逐步厘清教學過程的四個關鍵點——量的表示、數量關系的數學化、等量關系的建立、問題解決的一般過程.

最終，第三稿時確定如下教學目標：（1）結合問題情境，引導學生發現并理解各個量的含義，探索量之間的關系并引導學生借助適當手段進行表征；（2）能用不同的表達式表示同一個量，建立等量關系，學會從不同的角度分析和解決問題；（3）經歷用一元一次方程解決問題的過程，感悟解決問題的一般步驟與過程.

2. 對于“問題提出”的改進

教材中的問題串條理清晰、邏輯性強，有利于提示學生多角度地從問題條件入手逐步表征各個信息，獲得所需的各個代數式，步步有據地形成列方程的計劃.

教師A第一次的教學照搬教材的分析序列編排課堂教學問題，并設置了若干具體的追問作為鋪墊. 從問題解決的視角來看，這樣既不利于學生建立對問題的熟悉感，也無形中縮小了學生的思維空間，不能很好地讓學生整體感悟問題解決的全過程. 于是，兩次研討都對該階段進行了改進，歷稿設計如表1所示.

在兩次研討中，實踐共同體逐漸形成了關于該階段的一致建議：第一，開門見山地提出“打折銷售”情境遠離學生思維的最近發展區，不利于學生認識這類情境的核心要素；第二，預先將問題的難點分解到微觀層面會使學生陷于被動接受的境地；第三，過于細化的問題會限制學生的思考方向，割裂學生對情境的整體理解，無法發展學生的探究性思維.

到了第三稿時，教師A認識到要從學生熟悉的情境入手，先幫助他們感性認識問題情境，再引導他們設計開放性問題，挖掘情境中蘊含的量及關系. 在執教時，教師A先給出了沒有包含問題的“小明媽媽開服裝店”情境，學生經歷小組活動后提出了多樣化問題，再認識其中各類型的量及其關系，這種方式有力地支持了學生思維的廣闊性和條理性.

3. 對于“理解問題”的改進

對于例題，教材給出的問題串以由點到線再及面為線索，按照從直接條件到間接條件再到條件間關系的序列推進，體現了建立各個量之間聯系的過程與方法，留給學生的思考空間大，反映了問題解決的一般思路，值得對其他課堂形態開展研究. 該階段的歷稿設計如表2所示.

實踐共同體認為，教師A第一稿的問題設計是表面化和程式化的，沒有體現出“發現量—理解量—表達量及關系”這樣遞進的思維過程. 在第二稿中，教師A將第一稿的前兩問合二為一，增加了關于認識已知量和未知量的問題并要求學生利用圖形表征量的關系，意圖讓學生借助圖形構建從條件到目標的路徑. 但研討結果表明，教師A在以下兩個方面有待改進：一是需要深入關注學生將未知逐步轉化為已知的過程，二是圖形表征與方程之間的聯結有待合理建立.

到了第三稿，教師A進一步將第二稿的前兩問合二為一，設置問題（2）引導學生關注不同類型量之間的轉化路徑，減弱第二稿中問題（3）的局限性，鼓勵學生用不同的方式表達量之間的關系. 從教學效果來看，這樣的設計指向問題解決，開放性強，從多種視角引導學生完整經歷了發現、理解、概括、表征等思維階段.

4. 對于“擬訂與執行方案”的改進

對于該例，學生理解了量及其關系后，需要根據這些關系逐步列出方程并求解. 從本質上來說，這一過程即為“擬訂與執行方案”. 教材對本階段的內容編排融合在問題串中，意圖讓學生在回答問題的過程中厘清問題解決的思路. 關于如何在教學中進行詮釋，該階段的歷稿設計如表3所示.

實踐共同體第一次研討時關注了教師A引導學生合理假設未知數和構建列方程的思路. 實踐共同體認為，未知數的設法不應由教師拋出，需要學生經歷比較后形成共識；列方程時，需要在明確一般方法的基礎上再形成具體思路. 第二次研討關注了設未知數和列方程思路的多樣性與關聯性，重點討論了怎樣支持學生列出不同方程并認識它們之間的聯系.

在第三稿的設計中，教師A進行了以下改進：一是設計了幫助學生構建多種思路和建立多個方程的系列追問，二是設計了引導學生比較各個方程的方法，三是強調了問題解決的一般過程. 觀察該次教學后，多位教師均認為，教師A的教學既留給了學生較大的探究空間，也使學生充分展現了運用方程進行問題解決的思維方式.

5．對于“回顧與反思”的改進

在問題解決教學中設置有層次的反思性問題不僅有利于學生將具體解決過程和方法完整化，還有利于學生將解決一類問題的典型思路系統化，并有助于問題解決思維的形成. 在本研究中，實踐共同體研討了“如何引導學生有效反思？”這一問題. 該階段的歷稿設計如表4所示.

第一稿的設計反映了常見的課堂反思套路，盡管應用廣泛，但缺乏對反思方向的引導，也無法引導學生在反思知識本身之外觀照對方法和思維的反思，導致學生的反思結果流于表面，欠缺深刻性和系統性. 經歷兩次研討后，實踐共同體逐漸認識到：第一，反思的問題需要在指向當堂課的內容和指向問題解決一般方法中取得平衡；第二，雖然要引導學生關注對問題解決基本過程的認識，但也需要讓學生掌握列方程解決問題的基本思路；第三，宜設置開放性的反思問題，引導學生凝練出問題解決思維過程的推進線索.

參考了以上建議后，教師A在第三稿中設置了從特殊到一般的三個問題. 問題（1）與“問題提出”內容相聯系，依次關注問題的多樣性、列方程思路的多樣性及方程的多樣性；問題（2）聚焦列方程解決問題，涵蓋其步驟、方法和對數學建模的理解；問題（3）將反思的視域擴大到問題解決，引導學生站在一般化的角度認識問題解決.

三、教學啟示

1. 從問題解決的視角來看

就問題解決本身而言，本研究的啟示可以概括為關于以下三個問題的感悟. 第一，何為問題解決？在許多語境中，“打折銷售”情境稱不上問題解決，但將之施以問題解決教學卻取得了不錯的成效. 于是，怎樣界定“問題解決”的問題值得我們深思. 第二，問題解決與數學思維有何聯系？從本研究可見，“怎樣解題表”給出的不僅是問題解決的一般過程，更符合學生面對問題時的思維基本規律. 第三，對問題解決方案的擬訂，本研究證實了這一過程需要具備螺旋性，需要進一步認識怎樣縮短和研究這樣的螺旋.

2. 從問題解決的教學視角來看

對比本研究中的三次教學可以產生以下三個方面的思考. 首先，問題解決的教學教什么？不難發現，具體解法、一類問題的解決通法、一種解決方式的步驟、問題解決的基本過程都應有所涉及. 其次，問題解決的教學有哪些要素？教師A的第三次教學入口寬、探究性強、引導適度，留給學生的思考空間大，重視學生問題解決的一般化思維，一定程度上反映了優質問題解決教學的特征. 最后，教學是問題解決嗎？三次教學的演變趨勢逐步有針對性地扭轉了學生的錯誤理解，解決他們的困難之處，改進他們的思維方式. 從這個意義上說，教學也是問題解決.

3. 從問題解決教學的課例研究視角來看

綜觀整個研究過程，可以推得三個未來的研究方向. 第一，如何開展圍繞問題解決教學的課例研究？以提升學生的問題解決素養為指向，改善教師對教材的理解，發展教師的教學能力，通過多輪次的課例觀察、個人研修、共同研討，對問題解決的四個階段分別給予關注是一種有效方法. 第二，這類課例研究對教師發展會產生哪些影響？第三次教學后，實踐共同體普遍認為，教師A的教學理念、思路、能力、策略等都產生了正向改變，需要進一步思考這些改變緣何產生又如何發展，能否評價又可否推廣. 第三，課例研究是問題解決嗎？從本研究可見，課例研究不失為解決教師教學中存在的問題的一種方式，這為未來的研究帶來了更多可能性.

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基金項目：中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——基于學科整體性、內容結構化的單元課時教學設計與實踐——以七年級核心內容為例（22ZS1409ZB）．

作者簡介：陳莉紅（1973— ），女，中學高級教師，主要從事中學數學教學教材考試評價研究；

李卓（1988— ），男，講師，博士，碩士生導師，主要從事數學教育研究；

吳小芳（1991— ），女，中小學一級教師，主要從事初中數學教學研究；

朱晨菲（1988— ），女，講師，博士，碩士生導師，主要從事數學教育研究. 朱晨菲系本文通訊作者.