摘" 要：隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的頒布，跨學科主題學習成為“綜合與實踐”領域的重要學習方式. 基于跨學科的數學教學活動，可以讓學生感受數學與其他學科的融合，體會數學的價值. 在“平面鑲嵌”活動課中，從生活中的“鋪地磚”情境出發，讓學生圍繞“哪些多邊形可以鑲嵌成平面圖案？”這個問題設計方案，開展探究，并與美術學科融合，制作版畫. 通過實踐活動提高學生解決實際問題的能力，培養學生的應用意識和創新意識.

關鍵詞：跨學科融合；綜合與實踐；數學活動

《義務教育課程方案（2022年版）》在課程標準編制方面提出：“原則上，各門課程用不少于10%的課時設計跨學科主題學習.” 對于初中數學而言，落實跨學科主題學習的主要方式是開展綜合與實踐教學.《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出：“綜合與實踐以培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力為目標，根據不同學段學生特點，以跨學科主題學習為主，……” 人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）七 ～ 九年級每一章都安排了與本章知識相關的“數學活動”.“數學活動”的內容為開展綜合與實踐教學提供了豐富的素材. 這些活動的實施注重以問題為載體，讓學生自主參與，同時注重數學與其他學科的聯系. 開展跨學科的綜合與實踐教學活動，有利于激發學生學習數學的興趣，增強學生的探究能力和實踐能力，培養學生的數學核心素養. 筆者結合教材八年級上冊第十一章“數學活動”中的“活動1 平面鑲嵌”開展了一節數學與美術學科融合的活動課.

一、活動分析

1. 活動目的

讓學生通過探索平面圖形的鑲嵌，知道任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌成平面圖案，此外幾種正多邊形組合也可以鑲嵌成平面圖案，并能運用這些多邊形進行簡單的平面鑲嵌圖案設計. 在探究過程中，讓學生體會數學與生活的聯系，培養學生的應用意識和創新意識.

2. 活動準備

學生在課前準備以下材料.

（1）搜集生活中的地磚、瓷磚鑲嵌圖案；

（2）直尺、量角器、剪刀、素描紙、鑷子、刷子、顏料；

（3）計算正n邊形每個內角的度數，如表1所示.

二、活動過程

1. 根據實際，提出問題

活動1：學生按照小組分工，分別利用量角器、直尺在素描紙上畫出邊長為10 cm的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正七邊形、正八邊形、正九邊形、正十邊形、正十一邊形、正十二邊形，以及任意邊長的三角形和四邊形，并用剪刀剪下來. 各小組展示剪好的多邊形紙片及課前搜集的地磚、瓷磚鑲嵌圖案.

教師選擇學生展示的典型的地磚、瓷磚鑲嵌圖案（圖1和圖2）進行講解，讓學生理解平面鑲嵌的概念，即用地磚鋪地，用瓷磚貼墻，都要求磚與磚嚴絲合縫、不留空隙，把地面或墻面全部覆蓋. 從數學的角度來看，就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問題.

學生給出的地磚、瓷磚圖案是已經完成的平面鑲嵌圖案. 接下來，教師展示在生活中遇到的正在鋪地磚的場景，如圖3所示，這是一個還需要繼續進行的平面鑲嵌圖，基于此教師提出以下問題.

問題1：如果由你來完成這個鋪地磚的工作，你會如何選擇需要的地磚呢？

問題2：多邊形能鑲嵌成平面圖案的條件是什么？

師生總結，得出結論：一般地，如果拼接在同一個點的多邊形各個角的和恰好等于360°（周角），且相鄰的多邊形有公共邊，那么這些多邊形能鑲嵌成一個平面圖案.

隨后，教師提出本節“平面鑲嵌”活動課要解決的關鍵問題——哪些多邊形可以鑲嵌成平面圖案？

【評析】從學生自己搜集的地磚、瓷磚圖案引入，激發學生的學習興趣與動機. 接著，教師提出本節課的關鍵問題，為學生指明探究的方向，讓學生意識到數學與生活聯系密切，要學會用數學的眼光觀察現實世界.

2. 設計方案，分析問題

活動2：對于“哪些多邊形可以鑲嵌成平面圖案？”這個問題，多邊形的種類有很多，應該如何探究？一起制訂探究該問題的方案.

師生一起討論，得出可以先從特殊的圖形開始探究，即先探究用正多邊形鑲嵌平面圖案的情況，再探究用任意多邊形鑲嵌平面圖案的情況. 其中，在探究用正多邊形鑲嵌平面圖案時，可以由簡單到復雜，先探究用一種正多邊形鑲嵌平面圖案的情況，再探究用多種正多邊形鑲嵌平面圖案的情況. 對用任意多邊形鑲嵌平面圖案時，也是先探究用一種任意多邊形鑲嵌平面圖案，再探究用多種任意多邊形鑲嵌平面圖案.

【評析】師生一起設計探究方案、分析問題. 教師引領學生明確思路，為后面的探究指明方向. 在這個過程中，滲透從特殊到一般、從簡單到復雜這兩種分析問題常用的思想方法.

3. 合作探究，解決問題

活動3：探究用正多邊形鑲嵌平面圖案的情況.

任務1：每個小組都有一類正多邊形紙片，以小組為單位探究用這種正多邊形紙片能不能鑲嵌成平面圖案. 如果能，將得到的鑲嵌圖案展示在黑板上.

將全班學生分為10個小組，每個小組的正多邊形紙片分別是正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正七邊形、正八邊形、正九邊形、正十邊形、正十一邊形、正十二邊形. 學生通過拼紙片，發現用一種正多邊形鑲嵌平面圖案時，只有正三角形、正方形、正六邊形可以鑲嵌成平面圖案，如圖4 ～ 6所示.

問題3：在大家驗證的10種正多邊形中，只有這3種可以鑲嵌成平面圖案，但是其他沒有驗證過的正多邊形可以鑲嵌成平面圖案嗎？

對于問題3，教師可以引導學生用如下的方程思想進行驗證.

設有m個全等的正n邊形能鑲嵌成平面圖案（其中m，n都是正整數），則有[n-2 ?180°n ? m=360°.] 化簡，得[m-2n-2=4]. 此方程有且僅有3組正整數解：[m=6，n=3;" m=4，n=4;" m=3，n=6.]

根據得到的二元一次方程的解，可以得出結論：用同一種邊長相等的正多邊形鑲嵌平面圖案時，6個正三角形可以鑲嵌成平面圖案，4個正方形可以鑲嵌成平面圖案，3個正六邊形可以鑲嵌成平面圖案.

【評析】先讓學生用正多邊形紙片進行拼圖，得出猜想，再帶領學生進行數學計算，驗證猜想，旨在讓學生經歷由實驗到驗證的過程，培養學生嚴謹的探究精神.

任務2：每個小組用本組的正多邊形紙片和其他組的正多邊形紙片一起進行拼圖，探究用哪幾種不同的正多邊形紙片能夠鑲嵌出平面圖案，最后將得到的鑲嵌圖案展示在黑板上.

學生通過拼紙片，發現用多種正多邊形鑲嵌平面圖案時，能夠鑲嵌成平面圖案的組合如下：3個正三角形和2個正方形，2個正三角形和2個正六邊形，4個正三角形和1個正六邊形，1個正三角形和2個正十二邊形，1個正方形和2個正八邊形，2個正五邊形和1個正十邊形，2個正三角形、1個正方形和1個正十二邊形，1個正方形、1個正六邊形和1個正十二邊形.

【評析】讓學生經歷尋找可以鑲嵌成平面圖案的組合方案，并通過計算組合時交于同一個頂點的幾個角的度數之和是否等于360°進行驗證，旨在培養學生的運算能力和推理能力，以及各小組之間的協作能力.

活動4：探究用任意多邊形鑲嵌平面圖案的情況.

學生先從三角形開始探究. 由于任意三角形的3個內角的和等于180°，2個180°相加可以得到360°，因此學生很容易發現6個全等的任意三角形可以鑲嵌成平面圖案. 繼續用內角和的思路對用任意四邊形鑲嵌平面圖案的情況展開探究. 因為四邊形的內角和等于360°，所以4個全等的任意四邊形可以鑲嵌成平面圖案.

問題4：其他的任意多邊形，如五邊形、六邊形等，能否鑲嵌成平面圖案呢？

這是一個值得深入探究的問題. 這個問題曾引起很多數學愛好者的濃厚興趣. 現在已經發現的能夠鑲嵌成平面圖案的凸五邊形有15類之多. 其中一類是圣地亞哥的一位婦女瑪喬里·賴斯（Marjorie Rice）于1977年發現的，如圖7所示. 1918年，萊因哈特（K.Reinhardt）證明了“能夠鑲嵌平面的凸六邊形只有3類”. 關于問題4，教師可以鼓勵學生繼續探究.

【評析】用任意一種多邊形鑲嵌平面圖案時，只有任意三角形、任意四邊形可以實現，五邊形、六邊形要滿足一定的條件才可以，七邊形及多于七邊的凸多邊形都不能鑲嵌成平面圖案. 活動延伸旨在讓學生感受數學愛好者探究數學問題的鉆研精神，激發學生繼續探究的熱情.

4. 制作版畫，交流展示

活動5：每個小組用多邊形紙片設計一種平面鑲嵌圖案，并用顏料調好顏色，用刷子給紙片上色，將其制作成版畫. 在黑板上展示作品，并與大家分享作品的設計思路.

學生根據所學習的平面鑲嵌的知識，積極投入版畫的設計與創造中. 完成作品后，各個小組積極與大家分析自己小組作品的設計思路及其中蘊含的意義.

【評析】在學生掌握了平面鑲嵌的條件后，教師可以布置設計鑲嵌圖案并將其制作成版畫的任務. 例如，圖8是學生在課堂上設計的水彩版畫作品，圖9是學生在課后完成的綜合版畫作品，圖10是師生合作完成的綜合版畫作品. 創作作品的過程，就是用數學語言和美術色彩表達現實世界的過程，培養了學生綜合運用知識的能力和創新能力.

三、活動啟示

在具體的數學活動課教學過程中，教師要如何把握活動中蘊含的數學本質，設計跨學科問題呢？

1. 注重學科融合，但不必面面俱到

開展跨學科的綜合與實踐教學活動，需要將數學知識與其他學科知識融合，這在給數學活動課的設計帶來新意的同時，也對教師的能力提出了更高要求. 在選取教學內容時，教師要先把握數學活動的本質，把活動中蘊含的數學知識與其他某個學科或者某幾個學科的知識進行融合，但不必面面俱到. 要考慮學生的認知水平和知識的相關性，結合實際情況來確定將該活動與哪個學科融合，不能為了跨學科而融入關聯性不強的學科知識. 例如，本節平面鑲嵌的活動課把數學學科中的多邊形及其內角和相關知識與美術學科中的圖案設計、版畫制作相結合. 雖然只涉及數學與美術這兩個學科，但是讓學生經歷了用數學的眼光觀察生活，并用數學的思維解釋生活的活動過程，達到用多學科知識服務生活的目標，培養了學生的應用意識和創新意識.

2. 追求方式創新，但要兼顧可操作性

在實際教學中，教師可以打破單一學科教學的限制，從實際生活中發現問題，激發學生的學習興趣，并提出問題. 教師引導學生結合相關學科內容設計解決問題的方案，再讓學生通過合作探究等方式解決問題，最后進行成果展示. 這些環節可以在課堂上進行，也可以根據實際需要在課堂外進行，實現課內與課外的有機結合. 談到開展跨學科教學活動，有些教師可能會想到3D打印、機器人等各種有創意的課程，認為開展跨學科教學活動需要特定的硬件輔助教學. 實際上，跨學科重在教學內容上的學科融合，可以結合學校的實際情況開展，并不是一定需要這些硬件的支持. 例如. 本活動課中，讓學生搜集生活中見到的地磚、瓷磚等鑲嵌圖案，裁剪多邊形紙片，制作版畫，都是學生生活和學習中常見的素材或者熟悉的活動. 在探究用正多邊形鑲嵌平面圖案的過程中，學生的動手能力和計算能力得到了鍛煉. 在制作版畫的過程中，培養了學生的合作能力及運用多學科知識進行創作的能力. 整節活動課用到的工具也是學生容易準備的，如制作多邊形紙片需要的素描紙、直尺、量角器、鉛筆、剪刀；制作水彩版畫需要的顏料、刷子、鑷子（如果有版畫機，可以制作綜合版畫）.

開展跨學科的綜合與實踐活動課可以培養學生對數學的興趣，同時提高學生的動手實踐能力、創新能力，以及利用多學科知識解決實際問題的綜合能力，更好地實現數學學科的育人價值. 教師要充分發揮跨學科教學育人的優勢，根據實際問題設計恰當的數學活動，激發學生的學習興趣，并引發學生去發現、探索和實踐，通過活動培養學生的綜合能力，提升學生的綜合素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育課程方案（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］曹一鳴. 新版課程標準解析與教學指導（2022年版）：初中數學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

基金項目：2020年廣東省教育科研“十三五”規劃課題——基于STEAM教育的初中數學活動的設計與實踐研究（2020YQJK224）；

2022年廣東省中山市課題——課程領導力視域下初中跨學科項目式教學的實踐探索（B2022207）.

作者簡介：鄧婷（1984— ），女，中學一級教師，主要從事初中數學教學研究；

柯白茹（1976— ），女，中學高級教師，主要從事綜合版畫教學探究.