摘" 要：有理數(shù)的乘法法則承載著重要的育人價值，對培養(yǎng)學生的運算能力和推理能力，建構(gòu)數(shù)的運算法則的學習路徑有著重要的奠基作用. 以數(shù)系擴充的視角分析有理數(shù)乘法法則的現(xiàn)實意義及運算本質(zhì)，設計有理數(shù)乘法法則的教學，有助于學生理解法則規(guī)定的合理性，感悟數(shù)學知識的整體性與數(shù)學思想方法的一致性.

關(guān)鍵詞：數(shù)系擴充；有理數(shù)的乘法；運算能力；推理能力

一、問題的提出

在中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員舉辦的“第十二屆初中青年數(shù)學教師課例展示活動”中，“探究有理數(shù)乘法法則”作為活動指定課題，分別由三位教師進行課例展示，希望通過對指定課例的展示與分析，促進教師對有理數(shù)乘法法則的深度理解，落實立德樹人根本任務. 筆者通過觀看課例展示，閱讀相關(guān)文獻資料，進一步分析“有理數(shù)的乘法”一課蘊含的育人價值，在數(shù)系擴充視角下，以引導學生理解運算法則的合理性為主旨，探究有理數(shù)乘法法則的學習路徑.

二、數(shù)系擴充視角下，運算法則承載著重要的育人價值

運算不僅是人們?nèi)粘Ｉ钪袘米顝V泛的數(shù)學知識，也是人類認識客觀世界、抽象數(shù)量關(guān)系的核心. 人們從現(xiàn)實生活中的數(shù)量關(guān)系中抽象出數(shù)，再把數(shù)量關(guān)系的多與少抽象為數(shù)的大與小，并進一步推演為更一般的序關(guān)系. 數(shù)的大小是數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的反映. 由大小關(guān)系的度量產(chǎn)生了自然數(shù)的加法，減法是加法的逆運算，乘法是加法的簡便運算，除法是乘法的逆運算，由此構(gòu)成了自然數(shù)的加減乘除四則運算. 四則運算是數(shù)的運算中最基礎、最重要的運算，是人們用數(shù)學的方法解決現(xiàn)實問題的基礎，對培養(yǎng)學生的運算能力和推理能力起著重要的啟蒙作用.

每一種新數(shù)的產(chǎn)生都會打破原有的運算法則. 數(shù)從自然數(shù)擴充到有理數(shù)，需要重新定義運算，由此產(chǎn)生新的運算法則. 新的運算法則須滿足數(shù)系擴充過程中體現(xiàn)出的共性規(guī)則. 這種規(guī)則表現(xiàn)如下.

（1）數(shù)系的每一次擴充，都是在原來數(shù)系基礎上添加新數(shù)得到的.

（2）擴充后的數(shù)集在自身集合中，總能進行加法和乘法運算.

（3）擴充后的數(shù)集其加法、乘法運算及運算律與原數(shù)系中的運算協(xié)調(diào)一致.

上述規(guī)則反映了數(shù)系擴充過程中的一個重要特性，即在原來范圍內(nèi)成立的運算規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立. 在具體的教學實踐中，教師要引導學生樹立自覺思維的習慣，思考：“數(shù)的范圍擴充了，如何定義新的運算法則呢？”為后續(xù)運算法則的探究構(gòu)建學習路徑. 同時，定義運算法則也是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體. 教師應該為學生創(chuàng)設良好的情境，引導學生不斷抽象、概括、判斷、推理，促使學生的理性思維和科學精神不斷發(fā)展.

三、數(shù)系擴充視角下深刻理解有理數(shù)的乘法法則

1. 乘法運算的現(xiàn)實意義和運算本質(zhì)

在自然數(shù)范圍內(nèi)，乘法是加法的簡便運算，如2[×]3表示“3個2相加的和”，這是乘法運算最基本的意義. 顯然，這個意義是基于現(xiàn)實的. 當數(shù)的范圍擴充后，基于現(xiàn)實意義的乘法法則難以準確解釋兩個數(shù)相乘的數(shù)學含義. 例如，當數(shù)從自然數(shù)集擴充到小數(shù)集，0.5[×]3可以解釋為“3個0.5相加”，而將3[×]0.5解釋為“0.5個3相加”在邏輯上不夠嚴謹；當數(shù)從自然數(shù)集擴充到有理數(shù)集，（-2） × 3可以解釋為“3個-2相加”，而將3 × （-2）解釋為“-2個3相加”則完全違背邏輯. 因此，在自然數(shù)范圍內(nèi)，基于現(xiàn)實意義的乘法法則是可行的，數(shù)的范圍擴充后，不能再簡單地將乘法理解為相同加數(shù)和的簡便運算，需要從更深層次理解乘法運算的本質(zhì).

數(shù)的運算反映了數(shù)量間的相互關(guān)系，無論數(shù)發(fā)生怎樣的變化，數(shù)量間的一些關(guān)系保持相對不變，這種變化中的不變性就是運算的性質(zhì). 對于乘法運算，乘法交換律和乘法分配律是最基本的運算性質(zhì). 從數(shù)系擴充的視角來看，由于有理數(shù)集合包括自然數(shù)集，故在數(shù)的范圍從自然數(shù)擴充到有理數(shù)后，怎樣重新定義乘法法則，使原有的運算性質(zhì)——乘法交換律、乘法分配律在更大的范圍內(nèi)依然成立，則是定義運算的核心. 也就是說，乘法運算法則擴充的本質(zhì)是：把自然數(shù)集中的乘法，連同交換律和分配律這兩個定律一起擴充到更大的數(shù)集中去.

2. 教學實施的困境與突破

交換律與分配律的基礎是乘法運算法則，這是乘法運算能夠在更大范圍內(nèi)得以擴充的根本依據(jù). 史寧中教授用數(shù)學歸納法證明了乘法交換律與分配律可以擴充到整個實數(shù)集. 然而，這種形式的證明遠遠超出了七年級學生的認知基礎. 如果教師直接告訴學生運算律可以擴充到更大的范圍，運用運算律可以定義運算法則，用一個未加證明的定理擴充新的法則，這會讓學生對運算擴充的合理性產(chǎn)生質(zhì)疑.

作為教育的數(shù)學知識并不完全等同于數(shù)學學科知識，數(shù)學學科知識有著嚴密的符號表征與邏輯體系. 作為教育的數(shù)學知識，一方面，保留了數(shù)學學科知識的抽象性與邏輯性；另一方面，需要符合學生的年齡特征與思維習慣. 七年級的學生以形象思維為主，只有當學生理解了具體的、生活化的數(shù)學知識后，才能更好地發(fā)展抽象能力理解數(shù)學知識. 現(xiàn)實背景是數(shù)學知識的源與流，作為教育的數(shù)學知識應該符合學生實際，數(shù)學知識的教學過程中應為學生創(chuàng)設易于理解、便于掌握的生活情境.

基于以上分析，筆者認為，可以以數(shù)系擴充的視角引導學生探究有理數(shù)的乘法法則，使學生經(jīng)歷從具體到抽象、猜想、歸納法則的過程. 這里的“具體”指的是學生容易理解的生活現(xiàn)實或者以具體的數(shù)的形式呈現(xiàn)的算式規(guī)律.“抽象”就是把特殊形式的規(guī)律進行一般化表達. 這樣設計有利于學生從整體上理解法則，感受法則的合理性，認識到數(shù)學概念、定理、法則等不是冰冷的規(guī)定，其得出過程充滿了人類思想的智慧和理性的精神.

四、數(shù)系擴充視角下有理數(shù)的乘法教學設計

1. 創(chuàng)設情境，引入課題

教師引言：前面，我們已經(jīng)將小學學習過的自然數(shù)擴充到有理數(shù)，通過生活實例歸納出了有理數(shù)的加法法則，利用相反數(shù)的意義將減法運算轉(zhuǎn)化為了加法運算，并且發(fā)現(xiàn)了在有理數(shù)范圍內(nèi)加法交換律與結(jié)合律依然成立.

問題1：有理數(shù)的加法法則與小學學習過的自然數(shù)的加法法則有什么不同？同樣是數(shù)的加法運算，法則為什么會不一樣呢？

【設計意圖】通過知識回顧，引導學生明確數(shù)從非負數(shù)擴充到有理數(shù)，數(shù)的范圍增加了（加入了新的元素——負數(shù)），必須重新定義運算法則. 與小學學習的自然數(shù)的加法法則不同的是，有理數(shù)的加法法則需要從符號和絕對值兩個角度進行分析，為歸納有理數(shù)的乘法法則奠定思維基礎.

教師引言：隨著數(shù)的范圍的擴充，我們重新定義了有理數(shù)的加法法則和減法法則. 那么，怎樣定義有理數(shù)的乘法法則呢？

2. 分類探究，理解法則

環(huán)節(jié)1：定義有理數(shù)的乘法運算，理解乘法法則擴充的合理性.

問題2：如圖1，一只蝸牛沿直線爬行，它現(xiàn)在的位置恰好在直線[l]上的點[O]處.

（1）如果蝸牛以2 cm / 分的速度向右爬行，3分鐘后它在什么位置？怎樣用算式表示？

（2）如果蝸牛以2 cm / 分的速度向左爬行，3分鐘后它在什么位置？怎樣用算式表示？

追問：怎樣區(qū)分不同的方向呢？

學生回答，教師板演如下.

向右爬行2 cm[×]3 = 向右爬行6 cm，可以表示為[2×3=6]；

向左爬行2 cm[×]3 = 向左爬行6 cm，可以表示為（-2） × 3 = -6（“-”表示方向相反）.

【設計意圖】從學生熟悉的情境出發(fā)引出探究活動，加強學生對負號含義的理解，為后續(xù)知識的學習作鋪墊.

問題3：小學學習過2[×]3表示“3個2相加”，即[2+2+2=2×3=6]. 你能從乘法意義的角度解釋（-2） × 3 = -6嗎？

【設計意圖】引導學生從乘法意義的角度理解算式及計算結(jié)果的合理性，回歸運算本質(zhì). 問題2和問題3分別讓學生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境和乘法意義的角度解釋負數(shù)乘正數(shù)結(jié)果的合理性，發(fā)展學生的推理能力.

問題4：蝸牛繼續(xù)以2 cm / 分的速度向左爬行，4分鐘后它在什么位置？5分鐘、6分鐘后呢？……能用統(tǒng)一的代數(shù)式表示嗎？

學生討論交流后，教師板演，如表1所示.

【設計意圖】學生在小學階段學習過“在具體情境中用字母表示數(shù)，結(jié)合簡單的實際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”，知道“[x×6]可以寫成[6x]”的格式要求. 當學生得出[-2×a=-2a]后，自然會思考：[a]的范圍還能擴充嗎？從而逐步將有理數(shù)的乘法運算從“負數(shù) × 正數(shù)”擴充到“負數(shù) × 負數(shù)”.

問題5：當[a]取正整數(shù)時，[-2×a]表示“[a]個[-2]相加”. 當[a]分別取0，-1，-2，…時，結(jié)果是怎樣的？你能解釋結(jié)果的合理性嗎？

教學預設：如果學生討論有困難，教師可以設置如下問題促進學生思考、探究：當[a]= 0時，怎樣解釋蝸牛的運動狀態(tài)呢？當[a]= -1時，又該怎樣理解呢？

如果學生的理解仍有困難，教師可以進一步引導學生思考：在實際生活中，我們用“-”表示相反意義的量，蝸牛爬行1分鐘用“+1”表示，那么“-1”表示什么呢？學生通過不斷討論交流，總結(jié)得出[-2×][-1]可以解釋為：蝸牛現(xiàn)在位于直線[l]上的點[O]處，它以2 cm / 分的速度向左爬行，1分鐘前它位于原點右側(cè)2 cm處，用“+ 2”表示，即[-2×-1=2]. 在此基礎上，[a]依次取-2，-3，… 學生猜想結(jié)果并進行解釋，完成表2.

【設計意圖】以[-2×a=-2a]為基礎，逐步將[a]從正整數(shù)擴充到有理數(shù)，引導學生根據(jù)乘法運算的含義及負號的意義探究“負數(shù) × 0”及“負數(shù) × 負數(shù)”的運算結(jié)果.“負數(shù) × 負數(shù)”運算法則的探究過程是本節(jié)課的難點. 教師要充分利用學生已有的認識基礎，在學生思維的最近發(fā)展區(qū)提出問題，使學生借助生活經(jīng)驗解釋運算結(jié)果的合理性，進一步為法則的歸納奠定基礎.

問題6：[a]可以是分數(shù)嗎？結(jié)果怎樣確定？舉例說明結(jié)果的合理性.

【設計意圖】[a]表示時間，因為時間可以用分數(shù)表示，所以在等式[-2×a=-2a]中，[a]不僅可以是整數(shù)，也可以是分數(shù). 例如，[-2×2.5]可以解釋為“蝸牛以2 cm / 分的速度向左爬行，2.5分鐘后它位于點[O]左側(cè)5 cm處”. 由此，將乘法運算從整數(shù)范圍擴充到有理數(shù)范圍.

問題7：如果將[-2×a=-2a]中的-2變?yōu)?，[a]還能從自然數(shù)擴充到有理數(shù)嗎？你能依次舉例說明擴充的合理性嗎？

【設計意圖】在前面有理數(shù)的乘法運算中，固定一個因數(shù)值為[-2]，擴充另一個因數(shù)的范圍，將數(shù)的乘法運算從自然數(shù)擴充到有理數(shù). 問題7進一步討論了一個因數(shù)是2時，另一個因數(shù)擴充的結(jié)果，讓學生從不同的角度解釋運算結(jié)果的合理性，感受運算法則的完備性.

（1）類比有理數(shù)的加法法則，你能對上面的算式進行分類嗎？分類后，你能歸納出相應的乘法法則嗎？

（2）你還能發(fā)現(xiàn)上述算式中蘊含哪些數(shù)學規(guī)律嗎？先獨立思考，再與同伴交流.

【設計意圖】類比有理數(shù)的加法法則的探究過程，先對算式進行分類，再根據(jù)分類結(jié)果依次歸納不同類型有理數(shù)乘法的運算法則. 教師讓學生充分討論、交流，在學生分類、歸納的基礎上，引導學生對法則進行對比分析，讓學生感受法則的簡約美. 第（2）小問作為一個開放性的問題，引導學生通過觀察因數(shù)的變化，發(fā)現(xiàn)積的變化規(guī)律，有助于學生從數(shù)值變化規(guī)律的角度感受有理數(shù)乘法法則的合理性.

綜上所述，在數(shù)系擴充視角下，本課例以凸顯有理數(shù)乘法的運算意義為目標，通過具體的生活實例引導學生逐步擴充有理數(shù)的乘法運算范圍，進而得到有理數(shù)乘法的代數(shù)表達，初步感悟法則擴充的學習路徑，積累法則擴充的活動經(jīng)驗. 再通過數(shù)的范圍的進一步擴充，引導學生根據(jù)乘法運算的意義及負號表示的含義，尋找“負數(shù) × 負數(shù)”的現(xiàn)實解釋與運算結(jié)果，促使學生在具體的數(shù)學情境中理解“負數(shù) × 負數(shù)”的法則意義，突破教學難點. 最后通過對比、觀察乘法算式的結(jié)構(gòu)特征與變化規(guī)律，歸納、總結(jié)、完善法則. 這樣的教學設計有利于學生完整地經(jīng)歷有理數(shù)乘法法則的探究過程，探究的方法具有遷移性，為后續(xù)數(shù)系進一步擴充后運算法則的探究提供了有效的學習路徑；有利于學生從整體上感悟數(shù)學知識的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統(tǒng)性；有利于發(fā)揮數(shù)學課堂的育人價值，不斷提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和理性思維能力.

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項目基金：寧夏第六屆基礎教育研究課題——核心素養(yǎng)導向下高中數(shù)學單元教學設計的實踐研究（JXKT-JC-06-144）.

作者簡介：王占軍（1979— ），男，高級教師，主要從事中學數(shù)學教育研究；

葛建華（1962— ），男，正高級教師，主要從事中學數(shù)學教育研究.