以考查真問題解決過程，導(dǎo)核心素養(yǎng)培育方法

摘" 要：2023年全國各地區(qū)中考“綜合與實(shí)踐”相關(guān)試題以問題解決為導(dǎo)向，整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識和思想方法，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察、分析、思考與表達(dá)，解決社會生活及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的真實(shí)問題. 該部分試題一般基于真實(shí)問題情境命制，重在考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識內(nèi)外聯(lián)系的深刻理解；在考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題中突出對模型觀念的考查，引導(dǎo)教師在教學(xué)過程中有效實(shí)施應(yīng)用意識與模型觀念等素養(yǎng)的培育. 文章從目標(biāo)分析、解法分析、試題分析和類題賞析四個方面對優(yōu)秀試題進(jìn)行解析，在此基礎(chǔ)上對2024年中考“綜合與實(shí)踐”專題的復(fù)習(xí)備考提出建議.

關(guān)鍵詞：真實(shí)情境；應(yīng)用意識；素養(yǎng)發(fā)展；綜合與實(shí)踐

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）要求學(xué)生經(jīng)歷項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的全過程，能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識與方法，在實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)問題，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；能獨(dú)立思考，與他人合作，提出解決問題的思路，設(shè)計(jì)解決問題的方案；能根據(jù)問題的背景，通過對問題的條件和預(yù)期結(jié)論進(jìn)行分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型；能合理使用數(shù)據(jù)，進(jìn)行合理計(jì)算，借助模型得到結(jié)論；能根據(jù)問題背景分析結(jié)論的意義，反思模型的合理性，最終得到符合問題背景的模型解答. 綜觀2023年全國180余份初中學(xué)業(yè)水平考試（以下統(tǒng)稱“中考”）試卷中的“綜合與實(shí)踐”試題，其內(nèi)容和分值分布與2022年相比穩(wěn)中有升，符合《標(biāo)準(zhǔn)》提出的學(xué)業(yè)要求. 該部分試題一般以解決學(xué)生在社會生活和數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)中遇到的真實(shí)問題為背景命制，突出考查數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識和思想方法的綜合運(yùn)用，促使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)，形成和發(fā)展應(yīng)用意識、模型觀念，以“教—學(xué)—評”的一致性指導(dǎo)日常教學(xué).

一、試題特點(diǎn)分析

1. 解決生活中的現(xiàn)實(shí)問題，注重對數(shù)學(xué)建模基本過程理解的考查

基于真實(shí)任務(wù)的數(shù)學(xué)問題解決從本質(zhì)上講是一種社會文化實(shí)踐活動，其主要包括數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)交流等多個方面，這些在問題解決過程中作為一個整體而存在. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界. 由于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的特點(diǎn)，教師在常態(tài)課教學(xué)中更多的是選用學(xué)生熟悉的、與數(shù)學(xué)學(xué)科本身關(guān)聯(lián)更加緊密的情境問題，而對于生活中較綜合的真實(shí)問題，需要學(xué)生具有對知識方法的遷移能力，由此需要學(xué)生對運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題有清晰的認(rèn)識，提升模型觀念.

例1 （北京卷）某小組研究了清洗某種含污物品的節(jié)約用水策略，部分內(nèi)容如下. 每次清洗1個單位質(zhì)量的該種含污物品，清洗前的清潔度均為0.800，要求清洗后的清潔度為0.990．

方案一：采用一次清洗的方式.

結(jié)果：當(dāng)用水量為19個單位質(zhì)量時(shí)，清洗后測得的清潔度為0.990．

方案二：采用兩次清洗的方式.

記第一次用水量為x1個單位質(zhì)量，第二次用水量為x2個單位質(zhì)量，總用水量為[x1+x2]個單位質(zhì)量，兩次清洗后測得的清潔度為C．記錄的部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.

對以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，補(bǔ)充完成以下內(nèi)容．

（Ⅰ）選出C是0.990的所有數(shù)據(jù)組，并劃“[√]”；

（Ⅱ）通過分析（Ⅰ）中選出的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫第一次用水量x1和總用水量x1 + x2之間的關(guān)系，在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出此函數(shù)的圖象.

結(jié)果：結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用所畫的函數(shù)圖象可以推斷，當(dāng)?shù)谝淮斡盟考s為_____個單位質(zhì)量（精確到個位）時(shí)，總用水量最小．

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果，解決下列問題.

（1）當(dāng)采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時(shí)，與采用一次清洗的方式相比，可節(jié)水約_____個單位質(zhì)量（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）當(dāng)采用兩次清洗的方式時(shí)，若第一次用水量為6個單位質(zhì)量，總用水量為7.5個單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度C_____0.990（填“gt;”“=”或“l(fā)t;”）.

目標(biāo)分析：此題以清洗某種含污物品的節(jié)約用水策略探究為背景，提供了兩種清洗方式. 采用一次清洗的用水量為固定值，采用兩次清洗的用水總量與第一次用水量之間滿足某種函數(shù)關(guān)系. 在已有的數(shù)學(xué)模型中沒有滿足此關(guān)系的模型可供選擇，由此在問題設(shè)置上引導(dǎo)學(xué)生思考建立函數(shù)模型的一般方法，通過已有的研究函數(shù)的一般經(jīng)驗(yàn)——列表、描點(diǎn)、連線，從而得到兩者之間的函數(shù)圖象. 學(xué)生通過對函數(shù)圖象的觀察與分析，可以得出函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，并運(yùn)用所得性質(zhì)解決實(shí)際問題. 此題較好地考查了學(xué)生運(yùn)用函數(shù)模型解決現(xiàn)實(shí)問題的應(yīng)用意識.

解法分析：此題提供的數(shù)據(jù)較多，解答時(shí)要先厘清各個數(shù)據(jù)的具體含義. 方案二中探究第一次用水量與總用水量之間的關(guān)系，此函數(shù)關(guān)系要用圖象呈現(xiàn). 分清自變量與因變量，將x1的值作為橫坐標(biāo)，x1 + x2的值作為縱坐標(biāo)描點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之間用平滑的曲線連接，獲得圖象后仔細(xì)觀察，即可得出結(jié)論. 第（1）（2）小題是運(yùn)用函數(shù)圖象所獲得的信息進(jìn)行解答，因此前面繪制的函數(shù)圖象十分關(guān)鍵. 學(xué)生容易因不仔細(xì)繪圖，造成圖象偏差較大而誤判. 因此，繪制圖象后要借助表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

試題分析：此題選材貼近學(xué)生生活實(shí)際，具有探究性. 書面解答只能考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識思考問題的能力，而命題者通過巧妙設(shè)計(jì)將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)直接提供給學(xué)生，以此避免學(xué)生需要進(jìn)行實(shí)際操作，從而著重考查學(xué)生運(yùn)用函數(shù)相關(guān)知識和活動經(jīng)驗(yàn)解決問題的基本技能. 所提問題很好地還原了學(xué)生解決真實(shí)問題的一般過程及方法，從探究到運(yùn)用，層層遞進(jìn)，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值.

類題賞析：綜觀全國2023年全國各地區(qū)中考試題，以解決生活中的現(xiàn)實(shí)問題為背景，考查模型觀念的試題還有湖北宜昌卷第18題、浙江臺州卷第24題、江蘇蘇州卷第26題等.

2. 解決跨學(xué)科的綜合問題，注重對數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)與基本能力的考查

要提升學(xué)生解決綜合與實(shí)踐問題的能力，就要先明確此類試題命制的基本要求.《標(biāo)準(zhǔn)》對學(xué)業(yè)水平考試命題規(guī)劃指出：探索命制問題解決及多學(xué)科融合類試題，試卷呈現(xiàn)避免套路化. 綜合與實(shí)踐試題的關(guān)注點(diǎn)是：關(guān)注問題是否是現(xiàn)實(shí)的，是否是跨學(xué)科的；關(guān)注學(xué)生是否能夠解決問題，以及解決問題過程中的數(shù)學(xué)表達(dá)；關(guān)注是否整合數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的知識，完成跨學(xué)科問題的探究. 其目的在于讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)，發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識. 由此，學(xué)生在解答此類問題時(shí)要借助其他學(xué)科知識解讀問題情境，并能用數(shù)學(xué)化的語言對問題進(jìn)行表達(dá)，即將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決相應(yīng)的問題；基礎(chǔ)知識是解答此類問題的核心，基本活動經(jīng)驗(yàn)和基本技能也是關(guān)鍵，作圖、問題轉(zhuǎn)化策略、獲得性質(zhì)的方法等是解答此類問題的重要媒介.

例2 （四川·達(dá)州卷）【背景】在一次物理實(shí)驗(yàn)中，小冉同學(xué)用一固定電壓為12 V的蓄電池，通過調(diào)節(jié)滑動變阻器來改變電流大小，完成控制燈泡L（燈絲的阻值RL = 2 Ω）亮度的實(shí)驗(yàn)（如圖2），已知串聯(lián)電路中，電流與電阻[R]，[RL]之間關(guān)系為[I=UR+RL]，通過實(shí)驗(yàn)得出如表2所示的數(shù)據(jù).

目標(biāo)分析：此題以物理實(shí)驗(yàn)為背景設(shè)計(jì)問題，通過調(diào)節(jié)滑動變阻器來改變串聯(lián)電路電流的大小，滑動變阻器電阻的大小變化會導(dǎo)致串聯(lián)電路電流的大小發(fā)生變化，兩個變量之間滿足函數(shù)關(guān)系，借助歐姆定律可以得到電流與電阻之間的函數(shù)表達(dá)式. 但此函數(shù)不是學(xué)生在初中階段所學(xué)的函數(shù)，需要利用借助學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)所獲得的一般方法對其進(jìn)行探究，從而得到其性質(zhì)，并解決相關(guān)問題. 此題能較好地檢測學(xué)生的“四基”和“四能”，側(cè)重于對抽象能力、推理能力、模型觀念、數(shù)據(jù)觀念等素養(yǎng)的考查.

解法分析：解決此題需要運(yùn)用物理學(xué)科中串聯(lián)電路的相關(guān)知識. 因此，為了減少學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，命題者給出了相應(yīng)的公式. 題中的數(shù)據(jù)和符號較多，審題時(shí)要厘清各個符號和數(shù)據(jù)的含義. 由題意可知，[I=][UR+RL]中有兩個已知量RL，U，兩個變量I，R. 第（1）小題由已知直接帶入即可求得a = 2，b = 1.5. 第（2）小題第①問根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)、連線即可得到函數(shù)圖象（圖略），分析表格中的數(shù)據(jù)可知y隨x的變化而變化，并非均勻變化，所以在連線時(shí)一定要用平滑的曲線，y與x有實(shí)際意義，取值為正，所以整個圖象應(yīng)位于第一象限；第②問觀察圖象可知y隨x的增大而減小. 第（3）小題中，結(jié)合圖象進(jìn)行分析，求不等式的解集，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出這兩個函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象就可以求得自變量x的取值范圍.

試題分析：對于歐姆定律[I=UR]，當(dāng)電壓一定時(shí)，電流與電阻之間的關(guān)系符合反比例函數(shù)這一經(jīng)典模型. 當(dāng)R中的數(shù)據(jù)部分已知部分未知時(shí)，變化的電阻與電流之間不符合學(xué)生所學(xué)的反比例函數(shù)關(guān)系，但根據(jù)實(shí)驗(yàn)操作效果，發(fā)現(xiàn)其符合反比例函數(shù)的一般規(guī)律. 兩者之間有何關(guān)系呢？這是學(xué)生在學(xué)習(xí)物理學(xué)時(shí)容易產(chǎn)生的問題，借助數(shù)學(xué)函數(shù)工具對其進(jìn)行探究，可以獲得相應(yīng)信息并解決相關(guān)問題. 通過三道小題很好地還原了學(xué)生解決真實(shí)問題的一般過程及方法. 解決此題時(shí)，也可以運(yùn)用整體思想、圖象的平移等知識將此模型轉(zhuǎn)化為學(xué)生學(xué)過的反比例函數(shù)關(guān)系，不過此方法側(cè)重對學(xué)生的基礎(chǔ)知識和數(shù)學(xué)思想方法的考查，會弱化對學(xué)生基本活動經(jīng)驗(yàn)的考查，導(dǎo)致教學(xué)重結(jié)果輕過程.

類題賞析：綜觀2023年全國各地區(qū)中考“綜合與實(shí)踐”試題，以跨學(xué)科知識為載體，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用其他學(xué)科知識及數(shù)學(xué)中的函數(shù)關(guān)系和函數(shù)圖象分析問題、解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合. 同類試題有廣西卷第25題、湖北恩施州卷第9題、浙江溫州卷第15題等.

3. 經(jīng)歷探究問題的全過程，注重對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與綜合能力的考查

綜合與實(shí)踐的內(nèi)容無論是指向數(shù)學(xué)知識還是數(shù)學(xué)及其他學(xué)科知識的應(yīng)用，都需要明確解決的問題. 在中考試題中，有部分試題源自對學(xué)生所學(xué)內(nèi)容的再思考、再探究，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的全過程，在過程中深度思考，體會數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)綜合能力和素養(yǎng).

例3 （青海卷）綜合與實(shí)踐：車輪設(shè)計(jì)成圓形的數(shù)學(xué)道理.

小青發(fā)現(xiàn)路上行駛的各種車輛，車輪都是圓形的.為什么車輪要做成圓形的呢？這里面有什么數(shù)學(xué)道理嗎？帶著這樣的疑問，小青做了如下的探究活動：將車輪設(shè)計(jì)成不同的正多邊形，在水平地面上模擬行駛．

（1）探究1：將車輪設(shè)計(jì)成等邊三角形，轉(zhuǎn)動過程如圖4所示，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是[BD]，[BA=CA=DA=2]，圓心角[∠BAD=120°]. 此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是C（即[BD]的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），試在圖5中計(jì)算點(diǎn)[C]到[BD]的距離[d1]．

（2）探究2：將車輪設(shè)計(jì)成正方形，轉(zhuǎn)動過程如圖6所示，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是[BD]，[BA=CA=DA=2]，圓心角[∠BAD=90°]. 此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是C（即[BD]的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），試在圖7中計(jì)算點(diǎn)[C]到[BD]的距離[d2].（結(jié)果保留根號.）

（3）探究3：將車輪設(shè)計(jì)成正六邊形，轉(zhuǎn)動過程如圖8所示，設(shè)其中心到頂點(diǎn)的距離是2，以車輪轉(zhuǎn)動一次（以一個頂點(diǎn)為支點(diǎn)旋轉(zhuǎn)）為例，中心的軌跡是[BD]，圓心角[∠BAD]的度數(shù)為 " " " ．此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)是C（即[BD]的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)動一次前后中心的連線是BD（水平線），在圖9中計(jì)算[C]到[BD]的距離[d3]的值為 " " "．（結(jié)果保留根號.）

（4）歸納推理：[d1]，[d2]，[d3]大小為 " " " ，按此規(guī)律推理，車輪設(shè)計(jì)成的正多邊形邊數(shù)越多，其中心軌跡最高點(diǎn)與轉(zhuǎn)動一次前后中心連線（水平線）的距離 " " " （填“越大”或“越小”）．

（5）得出結(jié)論：將車輪設(shè)計(jì)成圓形，轉(zhuǎn)動過程如圖10所示，其中心（即圓心）的軌跡與水平地面平行，此時(shí)中心軌跡最高點(diǎn)與轉(zhuǎn)動前后中心連線（水平線）的距離[d]的值為 " " " . 這樣車輛行駛平穩(wěn)、沒有顛簸感. 所以，將車輪設(shè)計(jì)成圓形．

目標(biāo)解析：此題以探究車輪設(shè)計(jì)成圓形的數(shù)學(xué)道理為背景，讓學(xué)生再次對此經(jīng)典問題進(jìn)行深度思考. 問題的研究以等邊三角形、正方形和正六邊形為背景，以等腰三角形與直角三角形、多邊形和圓的有關(guān)概念及性質(zhì)等知識為載體，側(cè)重于對學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力和幾何直觀等素養(yǎng)的考查．

解法分析：第（1）小題求點(diǎn)C到BD的距離，由題意可知AC⊥BD，AB為半徑，∠BAD為圓心角，已知∠BAD = 120°，AB = 2，求CE的長. 在Rt△ABE中，∠AEB = 90°，AE = ABcos∠BAE = 2cos 60° = 1，則有CE = AC - AE = 2 - 1 = 1，即[d1=1]. 第（2）小題由第（1）小題的解法同理可得[d2]= 2 -[2]. 第（3）小題中，正六邊形每個內(nèi)角都為120°，由題意可知∠BAD = 60° ，由第（1）小題同理可得[d3=2-3]. 第（4）小題根據(jù)前面的計(jì)算結(jié)果可知[d1]gt;[d2]gt;[d3]，由此可知邊數(shù)越多d越小. 第（5）小題中，[d=0].

試題分析：由圓的定義可知圓上每一點(diǎn)到圓心的距離相等，因此車輪可以設(shè)計(jì)成圓形. 除了圓，車輪能否設(shè)計(jì)成其他多邊形呢？此題以探究車輪設(shè)計(jì)成圓形的數(shù)學(xué)道理為背景，讓學(xué)生再次對此經(jīng)典問題進(jìn)行深度思考，問題的研究以特殊的等邊三角形、正方形和正六邊形為例，探究軌跡最高點(diǎn)與軌跡初始點(diǎn)連線的距離與多邊形邊數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這一距離隨多邊形邊數(shù)的增多而減小這個一般性規(guī)律，從而驗(yàn)證圓的距離最小為0，這樣車輛行駛就會平穩(wěn). 一般性規(guī)律為[dn=AB][cos∠BAE=][ABcos 180°n]（n為多邊形的邊數(shù)，3 ≤ n ≤ 4且為整數(shù)），[dn=ABcosn-2 ·180°n-90°=][ABcos90°-360°n]（n為多邊形的邊數(shù)，n ≥ 5且為整數(shù)），所以[dn]隨n的增大而減小，當(dāng)n→∞時(shí)，[dn]→0，此時(shí)多邊形趨于圓. 命題者為了降低學(xué)生解決此題的難度，給出了每一種情況的示意圖. 此例可以作為平時(shí)教學(xué)中很好的素材，將其設(shè)計(jì)為一節(jié)綜合與實(shí)踐活動課，讓學(xué)生以小組為單位，通過操作畫出示意圖，從而探究其中蘊(yùn)含的一般規(guī)律，充分發(fā)揮學(xué)生的探究能力、主觀能動性，以及與同伴之間的合作意識.

類題賞析：綜觀2023年全國各地區(qū)中考“綜合與實(shí)踐”試題，讓學(xué)生對熟悉的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行深度探究，不僅能考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，還有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，考查學(xué)生的綜合能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng). 這類試題還有山東濰坊卷第22題、湖北鄂州卷第23題、甘肅蘭州卷第21題、山東濟(jì)南卷第24題.

二、優(yōu)秀試題分析

1. 關(guān)注數(shù)學(xué)文化，考查學(xué)生的閱讀思考能力和學(xué)習(xí)能力

例4 （浙江·金華卷）問題：如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)？

圖11是搭成的“倍力橋”，縱梁[a]，[c]夾住橫梁[b]，使得橫梁不能移動，結(jié)構(gòu)穩(wěn)固．

圖12是長為[l cm]，寬為[3 cm]的橫梁側(cè)面示意圖，三個凹槽都是半徑為[1 cm]的半圓，圓心分別為[O1，O2，O3，] [O1M=O1N，O2Q=O3P=2 cm，] 縱梁是底面半徑為[1 cm]的圓柱體. 用相同規(guī)格的橫梁、縱梁搭“橋”，間隙忽略不計(jì)．

探究1：圖13是“橋”側(cè)面示意圖，[A]，[B]為橫梁與地面的交點(diǎn)，C，E為圓心，D，H1，H2是橫梁側(cè)面兩邊的交點(diǎn)，測得[AB=32 cm]，點(diǎn)[C]到[AB]的距離為[12 cm]. 試判斷四邊形[CDEH1]的形狀，并求[l]的值．

探究2：若搭成的“橋”剛好能繞成環(huán)，其側(cè)面示意圖的內(nèi)部形成一個多邊形．

① 若有12根橫梁繞成環(huán)，圖14是其側(cè)面示意圖，內(nèi)部形成十二邊形[H1H2H3…H12]，求[l]的值；

② 若有[n]根橫梁繞成的環(huán)（n為偶數(shù)，且[n≥6]），試用關(guān)于[n]的代數(shù)式表示內(nèi)部形成的多邊形[H1H2H3…Hn]的周長．

目標(biāo)解析：此題是以“倍力橋”的結(jié)構(gòu)為背景設(shè)計(jì)的實(shí)際應(yīng)用題，主要涉及的知識點(diǎn)有菱形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)、勾股定理，考查學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并靈活運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．

解法分析：探究1中，根據(jù)所給圖形即可判斷出四邊形[CDEH1]的形狀；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以求出[12AB]的長度，利用勾股定理即可求出[CA]的長度，從而求出[l]的值. 探究2中，① 根據(jù)十二邊形的特性可知[∠CH1H2=30°]，利用特殊角的正切值求出[CH1]的長度，最后利用菱形的性質(zhì)求出[EH1]的長度，從而求得[l]的值. ② 根據(jù)正多邊形的特性，結(jié)合菱形的性質(zhì)和正切值的求法，表示出[l]的長．

試題分析：“倍力橋”是生活中常見的一種搭建結(jié)構(gòu)，其獨(dú)特的搭建方式造就了它的穩(wěn)固性. 雖然其搭建方式比較簡單，但呈現(xiàn)出來的結(jié)構(gòu)還是比較復(fù)雜的，將搭建結(jié)構(gòu)抽象成數(shù)學(xué)圖形，就顯得更為復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生面對的信息量多，閱讀量大. 處理此類問題的關(guān)鍵在于將題干中描述的信息準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，并分析、解決問題. 例如，橋梁規(guī)格相同等價(jià)于圖中對應(yīng)的矩形等長等寬，求l的長等價(jià)于求矩形的長. 處理此類問題時(shí)，要找出題目中的已知量和未知量對應(yīng)圖中的哪些量，這些量與量之間存在什么關(guān)系，要借助圖形加以仔細(xì)分析. 此題的三個問題層次分明，從特殊到一般. 解決問題的思路與方法是一致的，要分析清楚從特殊到一般的過程中變化的是什么，不變的又是什么.

類題賞析：綜觀2023年全國中考試卷，通過對經(jīng)典游戲、動手操作的深度探究，考查學(xué)生的閱讀思考能力和學(xué)習(xí)能力的相關(guān)試題較多，如山西卷第21題、廣西卷第26題、山東日照卷第20題、江蘇鎮(zhèn)江卷第26題等.

2. 關(guān)注數(shù)學(xué)建模，考查學(xué)生的抽象能力和應(yīng)用能力

例5 （浙江·臺州卷）【問題背景】“刻漏”是我國古代的一種利用水流計(jì)時(shí)的工具. 如圖16，綜合實(shí)踐小組準(zhǔn)備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流閥（控制水的流速大小）的軟管制作簡易計(jì)時(shí)裝置．

【實(shí)驗(yàn)操作】綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了如下的實(shí)驗(yàn)：先在甲容器里加滿水，此時(shí)水面高度為30 cm，開始放水后每隔10 min觀察一次甲容器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如表3所示.

任務(wù)1：分別計(jì)算表中每隔10 min水面高度觀察值的變化量．

【建立模型】小組討論發(fā)現(xiàn)：“t = 0，h = 30”是初始狀態(tài)下的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫水面高度h與流水時(shí)間t的關(guān)系．

任務(wù)2：利用t = 0時(shí)，h = 30；t = 10時(shí)，h = 29這兩組數(shù)據(jù)求水面高度h與流水時(shí)間t的函數(shù)解析式.

【反思優(yōu)化】經(jīng)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差. 小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差. 通過查閱資料后知道：t為表中數(shù)據(jù)時(shí)，根據(jù)解析式求出所對應(yīng)的函數(shù)值，計(jì)算這些函數(shù)值與對應(yīng)h的觀察值之差的平方和，記為w；w越小，偏差越小．

任務(wù)3：（1）計(jì)算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的w值；

（2）試確定經(jīng)過[0，30]的一次函數(shù)解析式，使得w的值最小.

【設(shè)計(jì)刻度】得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實(shí)踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計(jì)刻度，通過刻度直接讀取時(shí)間．

任務(wù)4：試簡要寫出時(shí)間刻度的設(shè)計(jì)方案．

目標(biāo)解析：此題主要考查的知識點(diǎn)是用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)表達(dá)式，以及求二次函數(shù)的表達(dá)式和最值，同時(shí)考查學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用建立的模型解決實(shí)際問題的能力.

解法分析：任務(wù)1要求計(jì)算每隔10 min水面高度觀察值的變化量，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可求得變化量. 變化量就是一次函數(shù)解析式中k的值. 通過計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，變化量不是定值，因此其所對應(yīng)的一次函數(shù)解析式也是不確定的. 任務(wù)2中明確要求過[0，30，][10，29]兩點(diǎn)的函數(shù)解析式，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定該一次函數(shù)解析式. 任務(wù)3中，因?yàn)樽兓康牟淮_定，導(dǎo)致表格中的數(shù)據(jù)不完全符合任務(wù)2中所確定的一次函數(shù)解析式，如何才能尋找一個最佳的一次函數(shù)解析式，就是要確定最佳一次函數(shù)關(guān)系式中的k值. 題中給出w的計(jì)算方法是采用文字語言描述的，需要學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，從而確定w與變化量k之間的二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求w的最小值即可. 任務(wù)4方案的設(shè)計(jì)要參考任務(wù)3所建立的函數(shù)的性質(zhì)來確定，要用數(shù)據(jù)說話，不能泛泛而談.

任務(wù)4：將零刻度放在水位最高處，在容器外壁每隔1.02 cm標(biāo)記一次刻度，這樣水面每降低一個刻度，就代表時(shí)間經(jīng)過了10分鐘．

試題分析：數(shù)學(xué)研究對象和相關(guān)知識源自于對實(shí)際生活中的事物的抽象，而現(xiàn)實(shí)生活中量與量之間的關(guān)系是復(fù)雜的，我們建立的數(shù)學(xué)模型不能精準(zhǔn)地刻畫現(xiàn)實(shí)生活中量與量之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)抽象的過程存在取舍與提煉，通過合理假設(shè)、不斷修正，能得到一個符合現(xiàn)實(shí)問題的模型. 此題中的時(shí)間t與水面高度h之間應(yīng)該是一次函數(shù)關(guān)系，但由于測量誤差、流水損耗等多種因素，導(dǎo)致實(shí)測數(shù)據(jù)不完全符合兩者之間建立的一次函數(shù)模型，這很好地體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的真實(shí)和問題的真實(shí). 此題圍繞誤差因素設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，在探究中理解一次函數(shù)k的實(shí)際意義，并借助二次函數(shù)的性質(zhì)求得k的最佳值. 任務(wù)1和任務(wù)2涉及的問題相對簡單，學(xué)生很容易入手，任務(wù)3對學(xué)生的閱讀能力要求較高，任務(wù)4的解決需要學(xué)生對任務(wù)3的結(jié)論有深刻理解.

類題賞析：類似地，湖南郴州卷第24題、江蘇徐州卷第26題、江蘇常州卷第21題等也是對真實(shí)問題深度探究的試題，考查了學(xué)生的模型觀念和抽象能力.

4. 關(guān)注探究性，考查學(xué)生的空間觀念和推理能力

例6 （四川·成都卷）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．

試題分析：此題呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)活動“初步感知—深入探究—拓展應(yīng)用”的完整過程，體現(xiàn)了從特殊到一般的探究思路，綜合考查了幾何變換、相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合、線段長度的求法，以及矩形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的分析能力、推理能力，以及數(shù)形結(jié)合思想.

類題賞析：綜觀2023年全國各地中考試題，通過對數(shù)學(xué)問題的深度探究考查學(xué)生的推理能力和空間觀念的試題較多，如山西卷第22題、河南卷第23題、山東煙臺卷第20題、甘肅蘭州卷第28題等.

三、復(fù)習(xí)備考建議

綜觀2023年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷，可以發(fā)現(xiàn)大部分關(guān)鍵題和壓軸題都是以綜合與實(shí)踐的形式進(jìn)行設(shè)計(jì)的，試題形式多樣，很好地體現(xiàn)了綜合與實(shí)踐的問題性、綜合性、實(shí)踐性、過程性、現(xiàn)實(shí)性和探究性；有的試題考查學(xué)科知識之間的綜合運(yùn)用，有的試題考查對基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累，有的試題考查基于真實(shí)情境的問題解決，還有的試題考查跨學(xué)科知識之間的滲透，注重“形”與“數(shù)”的和諧統(tǒng)一，突出考查抽象、推理和模型這三個數(shù)學(xué)基本思想. 試題背景切合學(xué)生的生活實(shí)際，采用開放性、探究性、挑戰(zhàn)性等方式設(shè)問，全面考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的復(fù)習(xí)應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生對學(xué)科知識本質(zhì)的理解，注重學(xué)生的合作與獨(dú)立思考，引導(dǎo)學(xué)生把握問題中的數(shù)量關(guān)系和規(guī)律，鍛煉學(xué)生的探究能力，基于現(xiàn)實(shí)生活提出要研究的問題，圍繞問題解決推進(jìn)活動過程. 具體如下.

1. 強(qiáng)化學(xué)科本質(zhì)理解，把握學(xué)科內(nèi)外的知識關(guān)聯(lián)

基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗(yàn)是解決綜合與實(shí)踐內(nèi)容的基石. 學(xué)生要深刻理解數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科知識之間的關(guān)聯(lián)，建立“自動”關(guān)聯(lián)的意識，在探索真實(shí)情境所蘊(yùn)含的關(guān)系中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識與方法分析問題和解決問題. 例1中，第一次用水量與總用水量兩個變量之間存在某種函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系不是我們所學(xué)的初等函數(shù). 解決此題，需要學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)有深刻的理解，掌握研究函數(shù)的一般方法，即通過列表、描點(diǎn)、連線獲得函數(shù)圖象，通過對函數(shù)圖象的分析得出相關(guān)性質(zhì)，從而解決真實(shí)問題. 因此，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)對知識本質(zhì)的深刻理解，可以利用思維導(dǎo)圖等工具對知識進(jìn)行梳理，讓知識結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化，強(qiáng)化知識與知識之間的關(guān)聯(lián).

2. 注重合作與獨(dú)立思考，關(guān)注發(fā)現(xiàn)和提出問題的過程

“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域要求學(xué)生能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法，在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題，并將其轉(zhuǎn)化為合理的數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)語言對其進(jìn)行符號化表達(dá)，通過獨(dú)立思考、與他人合作的方式提出解決問題的思路，設(shè)計(jì)解決問題的方案. 例3中對“車輪為何設(shè)計(jì)成圓形”這一問題進(jìn)行探討，這一問題源于我們的生活實(shí)際，讓學(xué)生思考車在行進(jìn)時(shí)的平穩(wěn)與哪些設(shè)計(jì)因素有關(guān)，如何用數(shù)學(xué)語言對這些因素和相關(guān)問題進(jìn)行表達(dá). 解決此題，需要學(xué)生反復(fù)閱讀題中的信息，獨(dú)立思考，找出解決問題的關(guān)鍵，從而利用所學(xué)知識解決問題. 因此，在復(fù)習(xí)時(shí)可以多給學(xué)生提供一些素材，組織多種形式的學(xué)生活動，讓學(xué)生通過獨(dú)立思考或與他人合作能發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，從而解決問題.

3. 把握問題中的數(shù)量關(guān)系和規(guī)律，落實(shí)模型建構(gòu)的各個環(huán)節(jié)

現(xiàn)實(shí)問題往往是比較復(fù)雜的，所需考慮的因素眾多. 從現(xiàn)實(shí)問題到數(shù)學(xué)問題需要進(jìn)行合理假設(shè)，去除一些非主要因素，提出問題，從而對問題條件和預(yù)期結(jié)論進(jìn)行分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，合理使用數(shù)據(jù)，進(jìn)行合理計(jì)算，借助模型得到結(jié)論；能根據(jù)問題背景分析結(jié)論的意義，反思模型的合理性，最終得到符合問題背景的模型解答，這一問題的解決過程就是數(shù)學(xué)建模的過程. 例5的“刻漏”呈現(xiàn)的是流水時(shí)間與水面高度之間的關(guān)系，兩者應(yīng)該近似滿足一次函數(shù)關(guān)系. 而根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，水面高度的平均變化量不是常數(shù). 如何借助這些數(shù)據(jù)得到一個較為準(zhǔn)確的函數(shù)關(guān)系呢？題目中對此提供了一種方案. 學(xué)生需要對這一方案進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)化表達(dá)，建立模型，并利用這一模型解決相關(guān)問題，此題讓學(xué)生經(jīng)歷了較為真實(shí)的數(shù)學(xué)建模過程. 因此，在中考復(fù)習(xí)時(shí)，教師需要創(chuàng)造條件讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的各個環(huán)節(jié)，使學(xué)生通過對問題的已知條件與未知條件的分析，探尋其中的變量與不變量，從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合現(xiàn)實(shí)背景對模型進(jìn)行合理解釋.

4. 基于“真實(shí)”活動，感悟綜合與實(shí)踐的價(jià)值

活動形式多樣化是提高綜合與實(shí)踐活動效率的重要手段，是提升學(xué)生綜合與實(shí)踐能力的重要載體. 這里的活動是指“真實(shí)”活動，是以問題為導(dǎo)向，通過動手操作、收集數(shù)據(jù)和實(shí)地測量等形式，讓學(xué)生動手操作實(shí)踐，感悟?qū)W科間的知識運(yùn)用及建模的過程. 對于例4中如何設(shè)計(jì)“倍力橋”的結(jié)構(gòu)這一問題，學(xué)生缺少動手操作的經(jīng)驗(yàn)，在讀圖、識圖方面存在較大困難，尤其是將題干中的信息與實(shí)物圖對應(yīng)起來存在困難. 因此，在中考復(fù)習(xí)時(shí)，教師不僅需要解決書面問題，還要適當(dāng)創(chuàng)設(shè)一些活動，讓學(xué)生利用手中的工具和材料“動”起來. 問題解決能力的提升應(yīng)指向不良結(jié)構(gòu)情境問題的適度增加，在復(fù)習(xí)中建議適當(dāng)增加此類問題.

四、模擬題示例

1. 如圖26，取一根長[100 cm]的勻質(zhì)木桿，用細(xì)繩綁在木桿的中點(diǎn)[O]并將其吊起來，在中點(diǎn)[O]的左側(cè)距離中點(diǎn)O處[25 cm L1=25 cm]掛一個重[9.8 N F1=9.8 N]的物體，在中點(diǎn)[O]的右側(cè)用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài)，彈簧秤與中點(diǎn)[O]的距離L（單位：cm）及彈簧秤的示數(shù)F（單位：N）滿足[FL=F1L1]，以[L]的數(shù)值為橫坐標(biāo)，[F]的數(shù)值為縱坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系．則[F]關(guān)于[L]的函數(shù)圖象大致是（" " ）.

3. 學(xué)校組織了“快樂農(nóng)場”活動，旨在讓學(xué)生體會勞動的意義. 某班級開展了種植黃瓜、番茄、辣椒三種蔬菜的勞動實(shí)踐. 由于種植黃瓜需要搭架，計(jì)劃圍一個面積為9平方米的矩形圍欄. 設(shè)矩形圍欄周長為[m]米，對于[m]的最小值問題，小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進(jìn)行探究，過程如下. 試補(bǔ)全探究過程．

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．

［2］史寧中，曹一鳴.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》解讀［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．

基金項(xiàng)目：2021年四川省教育科研資助金項(xiàng)目重大課題——五育并舉背景下中考改革研究（SCJG21A004）.

作者簡介：孫鋒（1974— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課程建設(shè)及課堂教學(xué)研究；

楊明（1988— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)及解題研究.