把握考情·厘清考點·科學備考

摘" 要：對2023年全國各地區中考“隨機事件的概率”試題的特點進行總結，同時精選部分優秀試題予以剖析，揭示試題的考查目標與達成要求，研究解法，幫助師生把握中考命題方向和復習重點. 最后，就2024年中考“隨機事件的概率”專題的復習備考給出了相應的建議，并提供幾道典型模擬題.

關鍵詞：隨機事件；概率；數據觀念；模型觀念

“隨機事件的概率”是初中階段“統計與概率”領域的兩個重要主題之一. 隨機事件的概率強調讓學生經歷簡單隨機事件發生概率的計算過程，嘗試用概率定量描述隨機現象發生的可能性大小，理解概率的意義.“隨機事件的概率”是歷年全國各地區初中學業水平考試（以下統稱“中考”）數學學科的必考內容，盡管該部分內容占試卷總分值的比例不高，試題的難度也不是很大，但是對考查學生的數據觀念和模型觀念有著重要的價值.

一、試題特點分析

通過對93份2023年全國各地區中考數學試卷進行調研，發現“隨機事件的概率”專題內容具有以下特點. 從題量來看，有74份試卷中只考查了1道隨機事件的概率的試題，19份試卷中考查了2道隨機事件的概率的試題，在1份試卷中考查2道隨機事件的概率試題的地區主要集中在江蘇省和遼寧省. 從分值來看，隨機事件的概率試題的分值約占卷面總分值的4%. 從題型來看，考查隨機事件的概率試題112道. 其中，選擇題38道，填空題32道，解答題42道. 從考查內容來看，主要分為以下三部分：（1）理解事件的概念和概率的意義；（2）運用列舉法、列表法和畫樹狀圖法求等可能隨機事件的概率；（3）用頻率估計概率. 112道考查隨機事件的概率的試題中，涉及內容（1）的有5道，涉及內容（2）的有102道，涉及內容（3）的有5道. 跨知識領域的綜合題共有20道. 其中，有17道題是概率與統計的綜合，有2道題是概率與無理數的概念的綜合，有1道題是概率與反比例函數定義的綜合. 還有3道開放性試題，分別來自內蒙古呼倫貝爾卷、福建卷、廣東廣州卷.

通過分析調研試卷，發現隨機事件的概率相關試題注重展示新時代我國的建設成就，傳承中華優秀傳統文化，關注社會熱點，所選情境貼近學生生活實際，強調會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界. 這些特點表明中考重視考查學生的數學核心素養，凸顯數學學科的育人導向.

1. 考查隨機事件的相關概念，以及隨機事件的概率的意義

這類試題主要考查隨機事件、必然事件、不可能事件等基本概念，以及隨機事件的概率的意義，考查的層次一般為“了解”．考查隨機事件概念的相關試題通常以選擇題為主，且難度較小. 以考查隨機事件的概率的意義來考查學生對于事件的隨機性的認識的試題需要引起重視.

例1 （江蘇·徐州卷）下列事件中的必然事件是（ ）.

（A）地球繞著太陽轉

（B）射擊運動員射擊一次，命中靶心

（C）天空出現三個太陽

（D）經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈

目標分析：此題考查了隨機事件、必然事件、不可能事件的定義.

解法分析：“地球繞著太陽轉”是必然事件，所以選項A符合題意；“射擊運動員射擊一次，命中靶心”是隨機事件，所以選項B不符合題意；“天空出現三個太陽”是不可能事件，所以選項C不符合題意；“經過有交通信號燈的路口，遇到紅燈”是隨機事件，所以選項D不符合題意. 故此題選A.

試題分析：此題所選的情境符合學生的認知基礎，傳達出以學生發展為本的中考命題理念.

例2 （湖北·襄陽卷）襄陽氣象臺發布的天氣預報顯示，明天襄陽某地下雨的可能性是75%，則“明天襄陽某地下雨”這一事件是（ " "）. ?

（A）必然事件

（B）不可能事件

（C）隨機事件

（D）確定性事件

目標分析：此題考查了概率的意義，以及隨機事件、必然事件、不可能事件的定義.

解法分析：明天襄陽某地下雨的可能性是75%，只能說明明天襄陽某地下雨的可能性較大，但是也不一定會下雨. 因此該事件是隨機事件. 故此題選C．

試題分析：隨機事件的相關概念是學生容易理解的. 對概率的意義的理解是這道試題考查的核心. 概率是刻畫隨機事件發生的可能性大小的數值，是事件本身所固有的性質. 但是在學習過程中，概率是一個與確定數學有明顯差異的較難理解的概念，學生往往會出現理解上的偏差.

類題賞析：四川自貢卷第7題將方差、概率的意義、簡單隨機事件等知識融于一題，有一定的綜合性，但試題難度較小.

2. 運用概率的古典定義求等可能事件的概率

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）對隨機事件概率計算的內容要求為：能通過列表、畫樹狀圖等方法求出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定隨機事件發生的所有可能結果，了解隨機事件的概率. 針對該部分內容提出的學業要求為：能描述簡單隨機事件的特征（可能結果的個數有限，每一個可能結果出現的概率相等），能用列表、畫樹狀圖等方法求出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定隨機事件發生的所有可能結果，能計算簡單隨機事件的概率.

解決此類問題要注意以下幾點：運用概率的古典定義求概率的前提是該事件是等可能事件；合理選用適當方法（列舉法、列表法、畫樹狀圖法）求相關數值；答題敘述要完整；等等.

例3 （湖南·長沙卷）“千門萬戶曈曈日，總把新桃換舊符”. 春節是中華民族的傳統節日，古人常用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現在，人們常用貼“福”字、貼春聯、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿. 某商家在春節期間開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿100元，就可以從“福”字、春聯、燈籠這三類禮品中免費領取一件. 禮品領取規則：顧客每次從裝有大小、形狀、質地都相同的三張卡片（分別寫有“福”字、春聯、燈籠）的不透明袋子中隨機摸出一張卡片，然后領取一件與卡片上文字所對應的禮品. 現有2名顧客都只領取了一件禮品，那么他們恰好領取同一類禮品的概率是（" " ）.

（A）[1/9] （B）[1/6]

（C）[1/3] （D）[1/2]

目標解析：此題考查了隨機事件的概率計算. 解題時先利用列表法或畫樹狀圖法一一列舉事件發生的所有可能結果，再利用等可能事件的概率公式解決問題.

解法分析：顧客隨機摸出一張卡片，每張卡片被摸到的可能性是均等的，且第二位顧客隨機摸出的卡片并不會受到第一位顧客的影響，兩者是獨立的. 因此，利用畫樹狀圖法或列表法都可以幫助我們有序地思考，要不重復、不遺漏地確定出所有可能發生的結果. 根據題意，畫出如圖1所示的樹狀圖.

通過樹狀圖可知，一共有9種等可能的情況，2名顧客恰好領取同一類禮品的情況有3種，因此他們恰好領取同一類禮品的概率是[3/9=1/3]. 故此題選C．

試題分析：此題的背景具有濃厚的中華傳統節日色彩，其中蘊含著理性的數學問題. 在日常生活中滲透數學問題，既體現了生活中處處有數學，也體現了用數學的眼光、思維看待生活的理念. 此題具有創新性和綜合性．

類題賞析：安徽卷第7題借用“平穩數”這個新定義考查用列表法或畫樹狀圖法求概率. 列表法和畫樹狀圖法都可以幫助我們不重復、不遺漏地列出所有可能的結果，列表法適合于通過兩步完成的事件，畫樹狀圖法適合于通過兩步或兩步以上完成的事件. 審題時，要注意是放回試驗還是不放回試驗. 2023年山東濟南卷第12題不是直接計算事件的概率，而是逆向運用公式[PA=（事件A發生的結果有m種結果）/（一次試驗中有n種可能的結果）=m/n進行運算. 首先告知公式中[PA]的值，接著由m = 3，求出n的值. 此題源自人教版《義務教育教科書·數學》九年級上冊習題25.2的拓廣探索，在充分尊重教材內容的基礎上進行了簡潔化改編. 此題看似簡單，實則需要學生嚴密推理并理解隨機事件概率的相關知識，具有綜合性、應用性和發展性.

例4 （山東·泰安卷）2022年10月16日至10月22日，中國共產黨第二十次全國代表大會在北京召開. 為激勵青少年爭做黨的事業接班人，某市團市委在黨史館組織了“紅心永向黨”為主題的知識競賽，依據得分情況將獲獎結果分為四個等級：A級為特等獎，B級為一等獎，C級為二等獎，D級為優秀獎．并將統計結果繪制成了如圖2和圖3所示的兩幅不完整的統計圖．

試根據相關信息解答下列問題.

（1）本次競賽共有" " " 名選手獲獎，扇形統計圖中扇形C的圓心角度數是" " " " ；

（2）補全條形統計圖；

（3）若該黨史館有一個入口，三個出口. 試用樹狀圖或列表法，求參賽選手小麗和小穎由館內恰好從同一出口走出的概率．

目標分析：此題主要考查對條形統計圖和扇形統計圖的理解，以及等可能事件的概率計算.

解法分析：（1）由A等級人數及其圓心角度數所占比例求出獲獎總人數，用總人數乘B等級人數所占百分比求得其人數，根據各等級人數之和等于總人數求出C等級人數，最后用360°乘C等級人數所占比例可得答案；（2）根據以上所求結果即可補全條形統計圖（圖略）；（3）列舉出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再根據概率公式求解即可．

將三個出口分別記作A，B，C，列表1如下.

由表1可知，共有9種等可能的結果，其中小麗和小穎由館內恰好從同一出口走出的結果有3種，所以小麗和小穎由館內恰好從同一出口走出的概率為[39 ]=[13 ].

試題分析：將統計與概率結合進行考查是中考試卷中的常見題型. 此題以中國共產黨第二十次全國代表大會為大背景，以某市團市委據此舉行的“紅心永向黨”為主題的知識競賽為命題素材，滲透了愛黨、愛國、愛家的家國情懷，培養了學生的人文素養.

類題賞析：青海西寧卷第22題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率及樣本容量等知識. 解題的關鍵是明確題意，列出相應的表格或畫出相應的樹狀圖，求出相應的概率. 其與例4在問題設置、解決問題的思想方法等方面有著類似之處，滲透了培養學生數據觀念的中考命題立意.

例5 （廣東·廣州卷）甲、乙兩位同學相約打乒乓球．

（1）有款式完全相同的4個乒乓球拍（分別記為A，B，C，D），若甲先從中隨機選取1個，乙再從余下的球拍中隨機選取1個，求乙選中球拍C的概率；

（2）雙方約定：兩人各投擲一枚質地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發球，否則乙先發球．這個約定是否公平？為什么？

目標分析：此題考查了用列表法或畫樹狀圖法求等可能事件的概率來判斷游戲的公平性. 掌握用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率是解此類試題的關鍵．

解法分析：（1）用列表法或畫樹狀圖法列出事件所有等可能的結果，再用乙選中球拍C的結果數除以總的結果數即可；（2）對于約定是否公平，需要分別求出甲先發球和乙先發球的概率，再比較大小，如果概率相同則公平，否則不公平．

試題分析：此題選用學生熟悉的生活情境作為背景，有利于學生理解題意.

類題賞析：內蒙古呼倫貝爾卷第20題主要考查了用列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率，通過比較概率的大小來判斷游戲的公平性. 其與例5的考查的方式有異曲同工之妙，滲透了“數學既來源于生活，又服務于生活”的理念.

3. 從數據分析的角度，用頻率估計概率

《標準》對于用頻率估計概率方面的內容要求為：知道通過大量重復試驗，可以用頻率估計概率. 學業要求為：知道經歷大量重復試驗，隨機事件發生的頻率具有穩定性，能用頻率估計概率；體會數據的隨機性以及概率與統計的關系；能綜合運用統計與概率的思維方法解決簡單的實際問題.

對于這類試題，要明晰頻率與概率的區別和聯系.頻率在試驗之前是不能確定的，是一個隨著試驗次數的增加可能發生變化的統計量. 概率是隨機事件自身的屬性，一個隨機事件發生的概率是由隨機事件自身決定的，并且是先于試驗而客觀存在的，它不會因為試驗次數的變化而發生變化.

一個隨機事件的發生既有隨機性（對單次試驗來說），又存在統計規律性（對大量重復試驗來說）. 隨機事件的統計規律表現在：隨機事件的頻率會隨著試驗次數的變化而變化，但在大量的重復試驗中，隨機事件發生的頻率會在某一個常數附近擺動，而且試驗次數越多，擺動幅度越小，并逐漸趨于穩定. 這個性質就是頻率的穩定性. 對于實際問題，當概率不易求出時，人們常常取試驗次數很大時的事件的頻率作為概率的估計值. 試驗次數越多，頻率與概率就越接近. 因此，概率可以通過頻率來“測量”.

例6 （江蘇·揚州卷）某種綠豆在相同條件下發芽試驗的結果如表2所示.

這種綠豆發芽的概率的估計值為_____.（精確到0.01.）

目標分析：此題要求學生利用頻率估計概率，考查學生的數據觀念．

解法分析：當試驗次數足夠多時，發芽的頻率逐漸穩定并趨于某一個值，根據頻率穩定性可以用頻率的集中趨勢來估計概率. 根據表2中給出的綠豆發芽的頻率，發現當試驗次數逐漸增多時，綠豆發芽的頻率越來越穩定在0.93左右，所以估計這種綠豆發芽的概率是0.93. 故此題答案為0.93．

試題分析：此題選用生物學中的綠豆發芽問題作為背景，體現了真實情境下數學的應用價值.

類題賞析：遼寧錦州卷第12題給出了摸到黑球的頻率的穩定值，要求用頻率估計概率解決問題. 這種設問方式具有新意.

4. 幾何概型的概率計算

例7 （山東·煙臺卷）如圖4，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形. 將一個小球在該正方形內自由滾動，小球隨機地停在正方形內的某一點上. 若小球停在陰影部分的概率為P1，停在空白部分的概率為P2，則P1與P2的大小關系為（ " ）.

目標分析：此題考查幾何概型的概率計算．

解法分析：根據題意將圖中空白部分的面積與陰影部分的面積分別用代數式表示出來，用面積的大小來表示小球停在此區域的概率的大小.

如圖5，設正方形的邊長為2a，則空白部分的面積為2 ×[14]πa2 + 2[a2-14πa2=][2a2]. 所以陰影部分的面積為[2a2]- 2a2 = 2a2. 所以P1 = P2. 故此題選B.

此題不通過計算也能解決問題. 如圖5，陰影部分被橫豎兩條輔助線分成四部分，發現其與四個空白部分分別對應全等. 因此，P1 = P2．

試題分析：計算圖中的陰影部分面積和空白部分面積對學生來說是一個難點.

類題賞析：四川攀枝花卷第15題同樣考查了幾何概型問題. 其與例7均是糅合圖形面積知識考查概率的方式，豐富了考查概率的素材與題型. 掌握幾何概型問題的計算方法，以及扇形面積和正方形面積的計算方法是解題的關鍵.

二、優秀試題分析

隨機事件的概率試題具有取材方便、設置背景廣泛的特點，時事熱點、校園文化建設、傳統文化等都可以作為命題素材，體現了數學問題生活化的特點. 教師要注重引導學生對概率問題的本質進行分析和理解，著重培養學生的數據觀念.

例8 （湖南·常德卷）我市“神十五”航天員張陸和他的兩位戰友已于2023年6月4日回到地球家園，“神十六”的三位航天員已在中國空間站開始值守. 空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙. 假設“神十六”甲、乙、丙三名航天員從核心艙進入問天實驗艙和夢天實驗艙開展實驗的機會均等，現在要從這三名航天員中選2人各進入一個實驗艙開展科學實驗，則甲、乙兩人同時被選中的概率為（ ）.

題意理解：此題帶有濃厚的科技味道，吸引學生在饒有興趣閱讀的同時求解概率問題. 閱讀題干后，學生需要從中提取關于概率問題的本質信息. 此題的核心問題是從甲、乙、丙三人中隨機抽取兩人各進入一個實驗艙開展科學實驗，求甲、乙兩人同時被選中的概率．

思路探求：此題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.

由圖6可知一共有6種等可能的情況，其中，甲、乙兩人同時被選中的情況有2種，所以甲、乙兩人同時被選中的概率為[26=13]. 故此題選B．

回顧反思：會畫樹狀圖或列表是解決此題的關鍵. 另外，此題屬于不放回試驗，學生需要充分理解題意，才能正確解答.

例9 （甘肅·蘭州卷）某學習小組做拋擲一枚瓶蓋的實驗，整理的實驗數據如表3所示.

下面有三個推斷：

① 通過上述實驗的結果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質地均勻的；

② 第2 000次實驗的結果一定是“蓋面朝上”；

③ 隨著實驗次數的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53．

其中正確的是____．（填序號）

題意理解：通過分析表3中的數據，可以利用頻率估計概率，從而判斷各推斷是否正確．

思路探求：此題考查了利用頻率估計概率的知識. 解題的關鍵是能夠仔細觀察表3中的數據并了解隨著實驗次數的增多，頻率會逐漸穩定在某個常數附近，可用這個常數表示概率．

解答過程：① 通過上述實驗的結果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質地均勻的，故①正確；② 第2 000次實驗的結果不一定是“蓋面朝上”，故②錯誤；③ 隨著實驗次數的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53，故③正確. 故此題答案為①③．

回顧反思：統計和概率是兩個不同的概念，它們之間既有區別又有聯系，兩者之間相互結合可以考查學生的數據觀念. 在此類型試題中，學生容易將表格中給出的頻率誤認為是事件發生的概率，容易對推斷③產生困惑.

三、復習備考建議

2023年中考隨機事件的概率試題的考查緊扣《標準》要求，依據學生熟悉的情境設計數學問題，同時呈現了比較穩定的考查跡象. 據此，筆者給出以下四個方面的復習備考建議.

1. 依標據本，夯實基礎

通過分析可以發現，2023年中考隨機事件的概率試題的命制以義務教育數學課程標準為指引方向，以教材為命題依據. 因此，在復習時，要研磨教材，打牢基礎，重視教材中的例題、習題、復習題和閱讀材料等內容，反復琢磨，參透其中傳達出的解題的通性通法，在這樣的過程中感悟數據分析的必要性，形成并發展數據觀念和模型觀念.

2. 重視審題，提升技能

審題是解題的關鍵，要重視培養審題能力.首先，審題是一種習慣. 不能憑經驗審題，要根據所給內容理解題意. 做題一定要從題意出發，把每道題都當作“陌生題”，清空腦海中的所謂“經驗”，經歷從“初相識”到“相知”的過程. 其次，審題是一種能力. 要學會從題目中提取有效信息及關鍵信息，并從數學的視角出發，關注一些重點細節. 在解決隨機事件的概率試題時，常見如下的審題錯誤：將“無放回式抽取”與“有放回式抽取”混淆致誤，對“等可能事件”與“非等可能事件”理解不清致誤，對“無序”與“有序”理解不清致誤，對“頻率”與“概率”理解不清致誤，等等.

3. 厘清結構，加強綜合

美國教育家布魯納曾說過：無論教什么學科，務必使學生理解該學科知識的基本結構. 在復習過程中，首先要能對隨機事件的概率相關知識進行結構化整合，注重知識的整體性、全面性、邏輯性和發展性. 其次，要從命題的角度關注隨機事件的概率的考查與其他內容之間的聯系. 對于結合生產、生活實際的試題，以及與統計、代數、幾何、跨學科等領域相結合的綜合性試題，要學會過濾試題的實際背景，抓住數學本質，從而提高分析問題和解決問題的能力.

4. 重視應用，厚植素養

概率與統計是中考數學中最容易與社會生產生活建立聯系，最能體現數學應用性的內容. 因此，該部分試題的素材多樣有趣、題干較長，對學生的語文閱讀能力、數據觀念、抽象能力、模型觀念、運算能力等方面都有較高的要求，因此在數學復習中要養成會用數學思維思考現實世界的習慣.

四、模擬題示例

1. 如圖7，A，B，C，D，E，F是[⊙]O的六等分點，甲同學從中任取三點畫一個三角形，乙同學用剩下的三點畫一個三角形，則甲、乙兩名同學所畫的三角形全等的概率為（" " ）.

（1）求第二代出現黃色豌豆的概率；

（2）如果在第二代中再選擇兩個品種雜交，使第三代黃色豌豆出現的概率為[12]，試列舉一種符合要求的配對方案，并說明理由．

答案：（1）概率P =[34]；

（2）共有兩種方案，分別是Y父y母，y父y母或者Y母y父，y父y母，答出任意一種即可. 理由略.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］方曉玲. 盤點概率六大“致命錯誤”［J］. 數學通訊，2015（19）：24-25.

［3］鄧艷花，陳遠剛. 事件創設穩中求新" 概率求解活而不難：2021年中考“事件的概率”專題解題分析［J］. 中國數學教育（初中版），2022（3）：54-61.

［4］唐亮，胡志民. 概念本質悟得清" 計算應用自然明：2022年中考“隨機事件的概率”專題解題分析［J］. 中國數學教育（初中版），2023（1 / 2）：81-88.

基金項目：2022年中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——基于發展學生核心素養的課程資源優化與整合研究（22ZS061405ZA）.

作者簡介：周向榮（1975— ），男，高級教師，主要從事初中數學教育教學及中考命題研究；

劉清清（1988— ），女，二級教師，主要從事初中數學教育教學研究.