借力項目學習·開展統計教學·發展模型觀念

摘" 要：2023年全國各地區中考數學試卷中的“抽樣與數據分析”試題覆蓋了統計活動的全過程. 一方面，借助統計活動的每一個環節考查學生對統計基礎知識、基本技能的掌握程度；另一方面，借助完整的統計活動考查學生利用統計知識進行問題解決的意識和能力. 破解后一類試題需要學生具有豐富的生活經驗. 為此，要在傳統教學的基礎上加強跨學科教學，積極開展項目學習，發展學生的模型觀念，提高學生解決問題的能力.

關鍵詞：抽樣與數據分析；中考試題；解題分析；復習建議；項目學習

數據是統計學與現實世界交流的基本語言. 2023年全國各地區初中學業水平考試（以下統稱“中考”）中的“抽樣與數據分析”試題基本都依托實際背景命制，學生需要從情境中選擇恰當的方式收集數據，即“數學的觀察”；經歷對數據的整理并借助學過的知識表示數據，分析數據的平均水平、離散程度和發展趨勢，即“數學的思考”；根據統計結果作出分析和預判，即“數學的表達”. 在對數據進行處理的過程中，可以考查學生的抽象能力、運算能力、數據觀念、模型觀念和應用意識等素養. 本文選擇2023年全國各地區中考試卷中部分具有典型性和代表性的“抽樣與數據分析”試題進行解題分析.

一、試題特點分析

2023年中考“抽樣與數據分析”試題類型豐富，有選擇題、填空題及解答題. 試題情境豐富多樣，除了“勞動教育”“學生視力”“閱讀時間”等常見實際情境之外，還增加了諸如“數學家的年齡”“汽車租賃”“正脊行動”等比較新穎的科學情境. 在考查方式上也更靈活多樣，加大了對學生的關鍵能力和數學核心素養的考查. 例如，在一幅統計圖中出現多個統計量，要求學生對比分析，或者以實驗報告的形式經歷從數據收集到整理、描述、分析、推斷的完整過程，會利用樣本平均數估計總體平均數，利用樣本方差估計總體方差， 體會抽樣的必要性和數據處理的合理性，考查學生的數據分析和模型觀念，發展學生利用統計知識解決問題的意識和能力.

1. 數據的收集——用數學的眼光觀察現實世界

收集數據是統計學的第一個環節，收集有代表性的數據是開展數據分析的基礎.

例1 （浙江·嘉興卷）在下面的調查中，最適合用全面調查的是（" " ）.

（A）了解一批節能燈管的使用壽命

（B）了解某校803班學生的視力情況

（C）了解某省初中生每周上網時長情況

（D）了解京杭大運河中魚的種類

答案：B.

目標分析：此題以生活實例為背景，引導學生理解全面調查與抽樣調查的特點，知道要根據研究問題的需要，選擇恰當的方法收集數據.

解法分析：如何選擇調查方法要根據具體情況而定. 一般來講，通過全面調查可以直接得到較為全面、可靠的信息，但全面調查也有其不足，如花費時間較長、耗費大、調查過程帶有破壞性、被調查對象無法進行全面調查等. 此題只需要根據全面調查與抽樣調查的特點對四個選項進行判斷即可解決.

題源分析：根據《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）的指引，“抽樣與數據分析”內容的學習，學生需要根據實際問題情境選擇恰當的數據收集方式. 正確、有效地收集數據有利于后續的數據整理、分析和判斷，這是統計活動的第一步，也是非常重要的一個環節.

類題賞析：數據的收集試題一般來源于真實情境，根據實際情境設置選項考查數據的收集方式，常以選擇題和填空題的形式進行考查，如湖南郴州卷第5題、遼寧鐵嶺卷第7題、黑龍江大慶卷第11題等；也可以以解答題的形式在考查抽樣與數據分析過程中設置一個小問題，如江蘇連云港卷第21題第（1）小題、海南卷第19題第（1）小題等. 理解不同調查方式的特點是解答此類試題的關鍵.

2. 數據的整理——用數學的思維思考現實世界

根據需要解決的實際問題選擇不同的統計圖表等，把收集的數據進行整理與表示，便于后續的數據分析和判斷.

例2 （江蘇·揚州卷）空氣的成分（除去水汽、雜質等）是：氮氣約占78%，氧氣約占21%，其他微量氣體約占1%. 要反映上述信息，宜采用的統計圖是（" " ）.

（A）條形統計圖 （B）折線統計圖

（C）扇形統計圖 （D）頻數分布直方圖

答案：C.

目標分析：在整理數據時，條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖和頻數分布直方圖各有特點，學生需要先理解其各自的特點，然后根據具體情境選擇恰當的方法整理數據. 此題考查了學生對四種統計圖的理解情況.

解法分析：扇形統計圖能清楚地表示出各部分占總體的百分比. 根據題意，將空氣（除去水汽、雜質等）看作總體，用各個扇形表示空氣的成分（除去水汽、雜質等）中每一種成分所占的百分比，由此確定扇形統計圖最適宜此題的情境．

題源分析：《標準》要求能制作扇形統計圖、頻數直方圖，能用扇形統計圖、條形統計圖、折線統計圖、頻數直方圖等直觀、有效地描述收集到的數據，能利用各統計圖解釋數據中蘊含的信息.

3. 數據的分析——用數學的語言表達現實世界

對數據進行分析，主要關注的是數據的集中趨勢和波動程度. 根據《標準》，對于數據的集中趨勢的描述主要是平均數、中位數和眾數，對于數據的波動程度的描述主要是方差和極差.“三數兩差”依然是2023年全國各地區中考的常考考點.

例3 （山東·煙臺卷）長時間觀看手機、電腦等電子產品對視力影響非常大. 6月6日是“全國愛眼日”，為了解學生的視力情況，某學校從甲、乙兩個班級各隨機抽取8名學生進行調查，并將統計數據繪制成如圖1所示的折線統計圖，則下列說法正確的是（" " ）.

（A）甲班視力值的平均數大于乙班視力值的平均數

（B）甲班視力值的中位數大于乙班視力值的中位數

（C）甲班視力值的極差小于乙班視力值的極差

（D）甲班視力值的方差小于乙班視力值的方差

答案：D.

目標分析：此題考查了折線統計圖的閱讀，要求根據圖中信息求出甲班和乙班學生視力值的平均數、中位數、極差、方差. 熟練掌握平均數、中位數、極差、方差的定義及計算公式是解題的關鍵.

解法分析：首先，理解平均數、中位數、極差和方差的意義及計算公式，然后需要看圖例，從折線統計圖中找到相關信息進行觀察或計算，準確寫出答案.

題源分析：關于這部分內容，《標準》要求能計算一組數據的平均數、中位數、眾數，會計算一組簡單數據的極差、方差，知道“三數兩差”分別是從哪些角度刻畫這組數據的集中趨勢和波動程度的. 各版本初中數學教材中也是通過設置具體情境讓學生深刻理解和掌握這部分內容的. 重視教材的教學是提升學生解決此類型問題的關鍵.

類題賞析：2023年全國各地區中考試卷中關于“三數兩差”的試題從不同角度描述了數據的平均水平和波動水平. 例如，四川南充卷第3題通過女鞋銷售考查在實際情境中眾數所表達的實際意義和應用情境，湖南懷化卷第7題通過在簡單情境中設置不同選項考查了眾數、中位數、平均數、方差的計算，等等.

例4 （湖南·郴州卷）為積極響應“助力旅發大會，唱響美麗郴州”的號召，某校在各年級開展合唱比賽，規定每支參賽隊伍的最終成績按歌曲內容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考評. 某參賽隊歌曲內容獲得90分，演唱技巧獲得94分，精神面貌獲得95分，則該參賽隊的最終成績是______．

答案：93分.

目標分析：此題考查了加權平均數的定義及其計算.

解法分析：解決此題，需要知道加權平均數的計算方法. 相比于算術平均數，計算加權平均數要先明確每個數據的權重.

題源分析：加權平均數作為平均數計算方法中的一種，在《標準》和各版本數學教材中都有明確的說明，是一個非常重要的內容，需要學生掌握.

類題賞析：在實際問題中有時需要通過比較平均值作出決定，而求平均值需要考慮多個方面，每個方面的參考權重又不一樣，此時就需要計算加權平均數了. 例如，福建卷第8題通過比較三位參加測試者測試成績加權平均數確定最高分選擇錄用人員，湖南邵陽卷第14題、郴州卷第13題要求根據各項權重計算參賽隊的最終成績，等等.

4. 分析與預測——用數學的語言表達現實世界

“抽樣與數據分析”內容的教學以解決問題為導向，對數據的收集、整理和分析都是為了解決問題，對實際問題進行判斷和預測.

例5 （上海卷）如圖2，為了調查不同時間段的車流量，某學校的興趣小組統計了不同時間段的車流量，圖2是各時間段的小車與公車的車流量，則下列說法正確的是（" " ）.

（A）小車的車流量與公車的車流量穩定

（B）小車的車流量的平均數較大

（C）小車與公車車流量在同一時間段達到最小值

（D）小車與公車車流量的變化趨勢相同

答案：B.

目標分析：此題考查了學生通過折線統計圖對數據信息反饋的能力，感受折線統計圖中的具體數據和數據的變化趨勢.

解法分析：通過折線統計圖可以看出每個時間段的具體數據和數據的變化趨勢，以及在一幅統計圖中同時表示兩個量時，兩個量之間的對比. 所以讀懂折線統計圖是解題的關鍵．

題源分析：折線統計圖能較好地反映數據的平均水平、波動水平及發展趨勢，是一種很好的整理、分析數據的方式.

類題賞析：2023年全國各地區中考試卷中，通過對統計圖表的分析獲取有效信息，結合統計學知識作出預測與判斷的試題有很多. 例如，甘肅蘭州卷第9題是一道選擇題，在同一幅圖中既有條形統計圖又有折線統計圖，正確識別圖中的數據并獲取數據，結合各選項作出分析是解決此題的關鍵.

例6 （浙江·麗水卷）為全面提升中小學生體質健康水平，我市開展了兒童青少年“正脊行動”. 人民醫院專家組隨機抽取某校各年級部分學生進行了脊柱健康狀況篩查. 根據篩查情況，李老師繪制了兩幅不完整的統計圖（圖3）表（表1），試根據圖表信息解答下列問題.

（1）求所抽取的學生總人數.

（2）該校共有學生[1 600]人，試估算脊柱側彎程度為中度和重度的總人數.

（3）為保護學生脊柱健康，試結合上述統計數據，提出一條合理的建議．

目標分析：此題考查了學生對統計表、扇形統計圖及它們之間關系的理解. 掌握用部分除以對應的百分比求總數、用樣本估計總體是解題的關鍵．

解法分析：（1）利用抽取的學生中脊柱正常的人數除以對應的百分比即可以得到所抽取的學生總人數；（2）用該校學生總人數乘抽取學生中脊柱側彎程度為中度和重度的百分比即可得到答案；第（3）小題中給出合理建議時一定要結合圖表中的數據分析來提出．

解：（1）[170÷85%=200]（人）．

所以所抽取的學生總人數為200人．

（2）[1 600×1-85%-10%=80]（人）．

所以估算該校學生中脊柱側彎程度為中度和重度的總人數有80人．

（3）該校學生脊柱側彎人數占比為[15%]，說明該校學生脊柱側彎情況較為嚴重，建議學校每天組織學生做護脊操等．

題源分析：《標準》在“抽樣與數據分析”這一主題中明確提出要培養學生體會數據分析的重要性，感悟通過樣本特征估計總體特征的思想，形成數據觀念，發展模型觀念.

類題賞析：統計學是數學學科與實際生活最接近的一個分支，生活中的每一個情境，只要有數據，就可以通過對數據進行整理并作出分析判斷. 例如，甘肅金昌卷第8題以數學家的年齡為背景，考查了對扇形統計圖和統計表的理解，要求學生從中獲取正確信息，通過計算進行求解；江西卷第21題考查了從頻數分布表與頻數分布直方圖中獲取信息，中位數的定義及計算方法，以及利用樣本估計總體，學生通過對小胡說法的理解推斷根據哪些統計量得出結論. 根據統計數據推斷結論，或者根據結論逆向思考需要統計的數據，都可以有效考查學生的數據觀念.

二、優秀試題分析

1. 綜合考查，多量結合，分析預判

例7 （浙江·溫州卷）某公司有A，B，C三種型號電動汽車出租，每輛車每天費用分別為300元、380元、500元. 陽陽打算從該公司租一輛汽車外出旅游一天，往返行程為210 km，為了選擇合適的型號，通過網絡調查，獲得三種型號汽車充滿電后的里程數據如圖4所示．

（1）陽陽已經對B，C型號汽車數據統計如表2所示，試繼續求出A型號汽車的平均里程、中位數和眾數．

（2）為了盡可能避免行程中充電耽誤時間，又能經濟實惠地用車，試從相關統計量和符合行程要求的百分比等進行分析，給出合理的用車型號建議．

題意理解：此題以“選擇合適的電動汽車型號以滿足個人需求”為背景提出問題，考查了折線統計圖、平均數、眾數和中位數. 第（1）小題中，學生需要理解平均數、眾數和中位數的概念，并能利用折線統計圖中的數據分別求這“三數”的值；第（2）小題中，題目給出了選擇依據，要求學生能根據“三數”的意義并結合實際情境，全面分析后作出決策．

思路探求：（1）觀察統計圖，找到圖中表示的數據，根據平均數、中位數和眾數的計算方法求解即可.

（2）既要考慮各型號汽車的平均里程、中位數、眾數，還需要考慮租金，這樣才能全面地進行分析作出決策．

解：（1）由統計圖，可知

A型號汽車的平均里程

x^-_A=[（3×190+4×195+5×200+6×205+2×210）/（3+4+5+6+2）]=200.

將A型號汽車的里程按由小到大排序，最中間的兩個數（第10個和第11個）都是200，

故A型號汽車行駛里程的數據的中位數為[200]，

所給數據中，205出現的次數最多，共出現6次，故這組數據的眾數為205．

（2）選擇B型號汽車. 理由如下：A型號汽車的平均里程、中位數、眾數均低于210 km，且只有10%的車輛能達到行程要求，故不建議選擇；B，C型號汽車的平均里程、中位數、眾數都超過210 km，其中B型號汽車有90%符合行程要求，很大程度上可避免行程中充電耽誤時間，且B型號汽車比C型號汽車更經濟實惠，故建議選擇B型號汽車．

回顧反思：隨著信息技術的發展，數據已成為人們日常生活中非常重要的一部分. 我們在作決策時，比以前更加依賴外界的信息. 因此，如何獲取信息，對所獲取的信息作哪些分析，都是需要學生培養的能力. 學好統計學不能只關注教材內容，還要放眼現實世界.

2. 以綜合與實踐的實驗報告形式考查

例8 （云南卷）如表3所示.

閱讀以上材料，解決下列問題（說明：以上僅展示部分報告內容）．

（1）求本次被抽樣調查的員工人數；

（2）該公司總的員工數量為900人，試估計該公司意向前往保山市騰沖市的員工人數．

題意理解：此題以實驗報告的形式考查扇形統計圖及相關計算，所考查的知識點比較常規，但考查形式比較新穎. 能讀懂題意并準確地從題中找到解題需要的相關信息是解答此題的關鍵．

思路探求：（1）根據保山市騰沖市的員工人數除以所占百分比即可求出本次被抽樣調查的員工人數；

（2）用該公司總的員工人數乘樣本中保山市騰沖市的員工人數所占百分比即可估計出該公司意向前往保山市騰沖市的員工人數．

解：（1）本次被抽樣調查的員工人數為[30÷30.00%=][100]（人），

所以本次被抽樣調查的員工人數為100人.

（2）[900×30.00%=270]（人），

答：估計該公司意向前往保山市騰沖市的員工人數為270人．

回顧反思：教材所給題目一般都是讓學生對收集好的數據進行整理、分析，但在真實任務情境下解決真實問題，有時不會獲得完整的實驗報告，此時學生該如何從中找到自己需要的信息是非常重要的. 因此，教師在教學中可以通過項目學習的方式讓學生借助統計學知識真實地解決一個問題.

3. 體會數據變化的微妙

例9 （河北卷）某公司為提高服務質量，對其某個部門開展了客戶滿意度問卷調查，客戶滿意度以分數呈現，滿意度從低到高為1分，2分，3分，4分，5分，共5檔. 公司規定：若客戶所評分數的平均數或中位數低于3.5分，則該部門需要對服務質量進行整改. 工作人員從收回的問卷中隨機抽取了20份，圖7是根據這20份問卷中的客戶所評分數繪制的統計圖．

（1）求客戶所評分數的中位數、平均數，并判斷該部門是否需要整改；

（2）監督人員從余下的問卷中又隨機抽取了1份，與之前的20份合在一起，重新計算后，發現客戶所評分數的平均數大于[3.55]分，求監督人員抽取的問卷所評分數為幾分？與（1）相比，中位數是否發生變化？

題意理解：此題將統計學知識與不等式知識相結合，綜合考查學生對該部分基礎知識和基本技能的掌握情況. 此題考查了條形統計圖、中位數、加權平均數、一元一次不等式的應用等知識. 掌握求中位數和加權平均數的方法并根據不等關系列不等式是解題的關鍵．

思路探求：（1）先求出客戶所評分數的中位數、平均數，再根據中位數、平均數確定是否需要整改即可；

（2）根據“重新計算后，發現客戶所評分數的平均數大于3.55分”列出不等式，繼而求出監督人員抽取的問卷所評分數，重新排列后再求出中位數即可得解．

解：（1）由條形統計圖可知，客戶所評分數按從小到大排列后，第10個數據是3分，第11個數據是4分，

所以客戶所評分數的中位數為（3+4）/2=3.5．

由統計圖可知，客戶所評分數的平均數為

（1×1+2×3+3×6+4×5+5×5）/20=3.5.

所以客戶所評分數的平均數或中位數都不低于3.5分．

所以該部門不需要整改．

（2）設監督人員抽取的問卷所評分數為x分，

則有（3.5×20+x）/（20+1）gt;3.55.

解得[xgt;4.55]．

因為滿意度從低到高為1分，2分，3分，4分，5分，共5檔，

所以監督人員抽取的問卷所評分數為5分．

因為[4lt;5]，

所以加入這個數據，客戶所評分數按從小到大排列之后，第11個數據依然是4，即加入這個數據之后，中位數是4．

所以與（1）相比，中位數發生了變化，由[3.5]分變成了4分．

回顧反思：統計學是對數據的收集、整理、分析，但對數據的分析又不僅僅局限于統計學，所以要打破壁壘，根據實際問題的需要，結合數學其他領域的知識共同解決實際問題.

三、復習備考建議

1. 以實例為背景，引導學生理解基本概念和基本方法

統計學的基本概念和基本方法一直都是中考的必考點，也是重中之重. 因此，教師在教學中可以通過創設真實情境，讓學生經歷簡單的數據收集和整理過程，了解收集數據的方法，使學生學會呈現數據整理的結果，對所收集、整理的數據進行分析，進而解決問題. 在學習過程中根據情境的需要和解決問題的需要幫助學生學會統計學的基本概念和基本方法，學生會理解得更深刻，運用得也會更熟練.

2. 開展項目學習，促使學生經歷完整的數據收集、整理和分析的過程

項目學習是讓學生在真實的任務情境中解決問題，在這個過程中掌握知識、提高能力、培養核心素養. 例如，參考《標準》中的“案例91 國內生產總值（GDP）調研”，可以開展真正的統計項目學習.

3. 拓寬閱讀面，培養模型觀念，會用模型解釋生活問題

開展統計活動是發展模型觀念的有效載體. 教學中，要拓寬學生的閱讀面，引導學生關注實際問題，收集真實的數據，通過對數據的分析來解釋或說明實際問題，感悟數據分析的必要性，使學生形成和發展數據觀念和模型觀念.

4. 注重統計學與其他學科知識之間的聯系

統計教學要站在育人的高度，打破學科壁壘，使學生不被單一學科的知識體系所束縛，能綜合運用知識解決實際生活中的問題，把現實生活與課程內容融為一體，把數學與其他學科融為一體，開展跨學科主題學習活動. 例如，開展“中國航天事業飛速發展預測”“對比水培與土培豆芽的生長情況”“如何安排課后作業更利于提高學習效率”等真實問題的主題學習活動. 統計的教學不是知識點的傳授，也不是技能的訓練，而是一種意識、一種思想的浸潤.

四、模擬題示例

1. 下列調查中，適合采用全面調查的是（" " ）.

（A）對山西省中小學生的體育鍛煉時間的調查

（B）對飛機零部件質量的調查

（C）對某一批次的電視機的使用壽命的調查

（D）對北京市居民用水量的調查

答案：B.

2. 表4記錄了甲、乙、丙、丁四名同學最近幾次數學考試成績的平均數與方差，現要從中選擇一名成績優秀且發揮穩定的同學參加數學競賽，應該選擇" " " 同學.（填甲、乙、丙、丁.）

答案：丙.

3. 為了促進消費，改善民生，太原市人民政府通過多家網絡平臺派發暖心惠民消費券，用以促進龍城消費回暖，惠及本地商戶和廣大市民. 小王了解到在第5輪投放中，政府消費券共有以下4種票券類型. A型：滿600元減128元家電定向消費券；B型：滿400元減78元家電定向消費券；C型：滿180元減58元通用消費券；D型：滿30元減8元通用消費券. 他根據各類型票券的投放數量繪制了如圖8和圖9所示的兩幅不完整的統計圖.

試根據以上信息，解決下列問題.

（1）扇形統計圖中，表示“C型票券”扇形圓心角的度數是_________；

（2）補全條形統計圖，并標注相應的數據.

答案：（1）216°；

（2）補全的條形統計圖如圖10所示.

4. 2023年7月28日，第三十一屆世界大學生夏季運動會在四川省成都市隆重開幕，來自113個國家和地區的6 500余名青年運動員相聚成都，共赴一場盛大的“青春之約”. 世界大學生運動會是規模僅次于奧運會的綜合性世界運動會. 太原市某學校組織全校學生開展了“大運知識知多少”趣味知識競賽活動，并隨機抽取了部分學生的成績（百分制）進行整理和分析（將分數分為四組：A. 90 ≤ x ≤ 100，B. 80 ≤ x lt; 90，C. 70 ≤ x lt; 80，D. x lt; 70），下面給出了部分信息.

信息1：如表5和圖11所示.

信息2：

B組的成績分別是：88，86，80，86，84，82，80，86，82，85，88，86.（單位：分）

試解答下列問題：

（1）直接寫出a，b的值是____，____；扇形B所占的百分比為"____.

（2）B組的成績中，眾數是____，中位數是____.

（3）該校共有500名學生，成績不低于80分的為“優秀”，試估計在本次活動中獲得“優秀”的有多少人？

（4）試對該校本次測試情況進行評價，并提出一條合理化建議.

答案：（1）9，3，40%.

（2）86，85.5.

（3）500 × （40% + 30%） = 350 （人）.

答：本次活動中獲得“優秀”的有350人.

（4）評價：從優秀率來看，該校優秀率達70%，整體成績較好，但還有提升空間.

建議：可以選拔成績特別優異的同學作為學校宣講員，為同學們宣講世界大學生運動會的知識，提高更多同學對世界大學生運動會的關注度.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］史寧中，曹一鳴.《義務教育數學課程標準（2022年版）》解讀［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022．

［3］曹一鳴. 新版課程標準解析與教學指導（2022年版）：初中數學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［4］劉璇. 立足基礎·關注過程·強調應用：2022年中考“抽樣與數據分析”專題解題分析［J］. 中國數學教育（初中版），2023（1 / 2）：71-80，96.

基金項目：2022年中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——基于發展學生核心素養的課程資源優化與整合研究（22ZS061405ZA）.

作者簡介：賈鳳梅（1977— ），女，中小學高級教師，主要從事中學數學教育和課堂教學改革研究；

曹青花（1986— ），女，中小學一級教師，主要從事中學數學教育和課堂教學改革研究；

薛紅霞（1970— ），女，中小學高級教師，山西省特級教師，主要從事中學數學教育和課堂教學改革研究．