生成自然解法 拓寬問題視野

摘" 要：對中考試題的深度探究，已經成為教師提高自身專業素養的有效途徑. 以2020年中考山東德州卷中的一道試題為例，對試題結構、解題思路、解法生成和問題拓展進行全方位的探究. 在探究基礎上，提出三點思考和建議．

關鍵詞：中考試題；自然解法；問題拓展

數學教師的專業素養不僅包括高超的教學藝術，還應包括較強的命題水平和解題能力. 因此，提高命題水平和解題能力已經成為提升教師專業素養的當務之急. 那么，如何提高教師的命題水平和解題能力呢？筆者認為，對典型題進行結構分析、解法生成和題目拓展，不失為一個有效的進階途徑. 目前，典型題的選取，大多源自教材或者各地的中考試題. 中考試題一般是由命題者反復打磨、精雕細琢而成的，它比較符合學生的知識結構、思維水平和解題經驗，往往具有構思獨特、解法多樣和拓展引申等特點. 因此，對中考試題的深度探究，逐漸成為數學教師自我提升專業素養的有效途徑.

筆者以2020年中考山東德州卷第24題第（4）小題為例，對其結構、解法和拓展進行深度探究，撰寫成文，供同行研究參考.

一、原題呈現

二、試題結構分析

我們要探索解題思路，應該先弄清問題，即分析試題的結構.

（1）分析條件.

（2）分析圖形.

（3）分析結論.

三、解法自然生成

所謂自然之法，往往是解決某一類問題的通性通法，是基于某個思路和基本圖形的解答方法，是學生分析圖形結構和問題之后，結合自身已有的知識基礎、思維能力（邏輯思維和直覺思維能力）和解題經驗最容易想到的方法. 解法自然與否因人而異，與學生的最近發展區相關. 它能使學生一看到題目，總有一個途徑經過步步探索、層層驗證，最終引領解題成功. 追求解法自然的教學，不僅可以使學生探尋到問題的本質，而且可以完善學生的思維品質.

【評析】證法1是構造三角形的中線，然后只需證所構造的三角形是直角三角形即可；證法2與證法3的共同點是通過全等三角形來證明線段相等，而用全等三角形證明線段（或角）相等是幾何證明中的通性通法；證法4是先證明四點共圓，然后通過“同圓上相等圓周角所對的弦相等”的性質獲得證明，這兩者證明的依據是特殊圖形的性質，因此證法4屬于特殊技巧，這需要解題者具有深刻的洞察力；證法5與證法6則是根據圖形的對稱性，是一種視覺化的證明方法，易于學生理解與接受，對培養學生的幾何直觀素養大有裨益.

四、問題拓展

1. 橫向拓展

試題的橫向拓展，就是改變試題的條件. 一般而言，條件的特殊化、一般化和改變圖形的位置（讓圖形動起來）是改變試題條件的三種常用改變方式. 通過變化試題的條件，探究結論的變化.

（1）點F在對角線的延長線上.

（2）特殊化.

（3）一般化.

2. 縱向拓展

試題的縱向拓展是維持題目的基本條件不變，深度挖掘題目還隱藏著哪些結論，實質上是在探究題目的數學本質.

（1）探索四點共圓.

（2）探索圖形相似.

（3）探索圖形全等.

3. 逆向拓展

試題的逆向拓展是指互換試題的條件與結論，探究得到的新結論是否仍然成立.

（1）線段中點與線段相等互換.

（2）角平分線與線段相等互換.

【評析】我們認為，問題得到解決并不是解題過程的終結，而是新的探究和思考工作的開始. 例如，將題目的條件進行特殊化、一般化，或改變圖形的位置等，探索結論的變化；或者在條件不變的情況下，探索還存在著哪些結論；或者探索題目的逆命題是否成立等. 這樣，經過橫向、縱向與逆向三個維度的拓展，能有效地提高學生的發散思維、聚集思維和逆向思維等思維能力.

事實上，逆向拓展的拓展6中，將線段中點與線段相等互換，很有可能是命制這道中考試題的素材來源. 在判定三角形全等的方法中，有“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”和“角角邊”4種方法，唯獨沒有“邊邊角”. 這時，教師一般列舉下面的例子來印證“邊邊角”不能判定兩個三角形全等.

五、思考

教師對中考試題進行深度探究，要作好以下三個方面的研究.

1. 追根溯源，探究試題來源

中考試題的素材一般來自于教材和學生在數學學習中的困惑，它們往往是學生熟知的學習和生活背景，但不會以直接、簡單的方式呈現，而是經過命題者精心打磨，以嶄新的視角形式呈現. 這樣命制出來的中考試題就有“題在書外，根在書內”的特征，也比較符合學生知識與水平的最近發展區. 所以，教師應對中考試題進行追根溯源，層層剝筍，還其本源，從而提高自身的命題水平.

在本文中，筆者在“問題拓展”的最后對這道中考試題進行了溯源. 我們發現，試題命題素材源自于學生在學習全等三角形判定方法的過程中，其中“邊邊角”的判定方法不能成立的一個反例. 而反例的構建需要學生具有逆向思維能力，這恰好是學生學習的難點所在. 命題者通過對反例進行恰當的改編，引導教師在平時教學中要關注學生學情，從而達成中考試題的教學導向功能，而中考試題的教學導向功能應該成為命題者的最終價值訴求.

2. 分析結構，生成自然解法

中考試題具有“低起點、高立意”的特點. 中考試題的結構較為優良，且大多具有多種解法. 這些解題思路的自然生成，需要教師對試題的結構進行系統地分析. 首先，分析試題的已知條件. 根據已知條件逐一聯想相關的知識與方法，如果有需要則把聯系緊密的條件進行適當組合，聯想相關的知識塊與思維鏈. 其次，分析幾何題中的圖形. 圖形能給解題帶來直觀整體感受，如圖形的對稱性、完整性等. 最后，分析試題的結論. 從結論展開聯想，探索結論成立的條件有哪些，哪些條件已明顯，哪些條件比較隱蔽需要顯化. 我們認為，教師只有對試題的結構進行全面透徹地分析和理解，解題思路才有可能貫通，各種解法才會應運而生和自然生成，才能真正提高解題能力.

本文中，筆者首先對題目的條件進行適當分組和細致分析，并結合所給圖形聯想到角平分線，從而確定通過翻折三角形來重構解題思路；其次，從已知條件之一的線段中點聯想到將結論中需要證明的線段放大2倍，然后用全等三角形證明相關線段相等；最后，對需證的結論展開聯想，如聯想直角三角形斜邊上的中線，同圓上相等圓周角所對的弦，線段垂直平分線上的一點到線段兩端點的距離等，自然而然地生成相應的解法.

3. 橫連縱合，拓寬試題視野

將中考試題進行橫向、縱向和逆向三個維度的拓展，從封閉走向開放，使試題充滿靈氣和生命力. 研究表明，很多中考試題的命制是由教材（或配套的作業本）的例題和習題經過橫向、縱向和逆向拓展而來. 因此，教師養成將試題進行橫連縱合拓展的習慣，不僅有助于提高自身的解題能力，而且有助于提升自己的命題水平.

在本文中，筆者將題目進行橫向、縱向和逆向三個維度的拓展，得到8個拓展題和1個反例. 如果將這8個拓展題和1個反例與原中考試題進行整體對比，就能看出這道中考試題的“前世后生”，從而拓寬視野. 在教學中，如果教師將問題進行橫連縱合地拓展，則會有助于達成“做一題、通一類、會一片”的教學目的.

參考文獻：

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