深度學習：讓培育核心素養從理念走向行動

摘" 要：以“有理數”單元復習為例，以單元學習主題為統領進行教學設計，立足整體視角，深度剖析教材，關注中小學數學教材中相應內容在知識和學習方法上的相似之處，著力培養學生類比、遷移、應用的能力，從而有效提升其數系擴充思想.

關鍵詞：深度學習；核心素養；單元學習

以單元學習主題為統領的教學設計作為深度學習的實施途徑，在區域內開始逐步從理念走向行動，旨在引發學生的深度學習. 從教的角度來看，只有把握好知識結構的整體性，才能明確教學目標，設計出本質而自然的學習活動；從學的角度來看，只有注重整體性，才能培養學生的系統性思維，讓學生掌握學習的基本“套路”. 以人教版《義務教育教科書·數學》七年級上冊（以下統稱“教材”）“有理數”單元復習為例，從深度學習的角度闡述本節課的教學.

一、立足整體視角，深度剖析教材立意

“有理數”單元作為初中階段數學內容的起始，是初中階段代數學習的開端. 有理數的復習課不僅是要羅列零散的有理數相關內容，而且要讓學生感悟到有理數系的擴充與負數的引入體現了怎樣的數學思想，擴充過程體現了怎樣的數學研究套路. 掌握這種研究的基本思想和基本套路，有利于整個初中階段代數內容的學習.

有理數產生的背景包括如下兩個方面.（1）數不夠用了. 生活和生產中一些具有相反意義的量需要從數學角度加以刻畫和表示.（2）數學內部的需求. 自然數集中，加法和乘法的逆運算不能通行. 本章有理數系的擴充歷程如表1所示.

基于以上分析，確定本節課的教學目標如下.

（1）經歷對本章所學知識的回顧與思考過程，通過類比自然數的學習路徑將本章內容條理化、系統化.

（2）在解決問題的過程中，讓學生能準確運用算理進行計算，感受數形結合、從特殊到一般思想，培養學生的運算能力和幾何直觀.

（3）通過知識間的縱向聯系，讓學生感受數系擴充的必要性，歸納出數系的研究思路、研究內容和研究方法.

二、一般觀念引領，深度構建教學主線

環節1：概念之源，引發深度探究與思考.

情境：某公司生產了一種新型機器人，為了測試機器人的運動性能，給它設置了如下程序：從點A出發，連續不斷地一左一右來回運動（第一次向左運動），運動的距離依次為1米，2米，3米，4米，……則第4次運動后的位置在點A的_______側；第101次運動后的位置在點A的_________側.

師生活動：學生獨立思考并解決問題. 學生以點A為原點，把向左運動1米記為-1米，向右運動1米記為+1米，由此發現奇數次運動后機器人所在位置表示的數為負數，偶數次運動后機器人所在位置表示的數為正數，從而根據正負數的意義確定運動后機器人的位置. 教師總結引入負數的必要性，并提出如下問題.

問題1：你知道是哪個國家的人最先使用負數的嗎？

【設計意圖】從數系擴充的角度來看，人們對負數的“認可”經歷了一個漫長而曲折的過程. 通過情境中的兩個問題來說明引入負數的必要性，這既是滿足生產、生活實際的需求，又可以解決小數減大數的問題. 讓學生體驗這個過程，有助于學生理解數學、感受數學研究的“味道”. 接著，介紹中國古代數學家對于負數的貢獻，讓學生從數學史的角度欣賞代數發展的過程，感受早期數學的發展，使數學知識折射出人類的意志和智慧. 數學史讓學生產生的民族自豪感，會潛移默化的熏陶學生，讓學生體會到數學的精神之美.

環節2：問題引領，引發深度交流對話.

問題2：在“有理數”一章，我們學習了哪些內容？

追問：是怎么學習的？

師生討論后，教師展示如圖1所示的自然數的學習路徑.

問題3：小學階段學習了哪幾類數？引入負數后，在小學階段學習的數的基礎上增加了哪幾類數？

追問：有理數的定義是什么？能不能對有理數進行分類？你能不能列舉一些有理數？我們能否用符號表示這些數？

問題4：能否用更直觀的方式表示這些數？

追問：觀察2和-2，這兩個數有什么關系？你能用數軸解釋相反數和絕對值嗎？

問題5：我們再來觀察2和-2，它們是由幾部分組成的？

追問：數軸上的點的位置是由什么確定的？

教師總結：對于數與形，符號對應著形（點）的方向，絕對值對應著形（點）的距離，數軸是數與形的第一次融合，是我們今后解決數學問題的有力工具.

問題6：怎樣比較有理數的大小？

問題7：如何學習有理數的運算？

追問：有理數的運算法則有什么共同之處？

教師展示教材內容并總結：自然數擴充為有理數后，在小學階段學習的運算法則和運算律可能會發生變化，所以教材通過舉例，引導我們從數和形兩個方面來觀察、實驗、歸納出有理數加法法則，這也體現了從特殊到一般的研究方法. 接著，在有理數加法的基礎上，我們研究了減法、乘法、除法、乘方，發現運算中的運算律保持不變.

【設計意圖】從學情角度來看，經過小學階段的學習，學生已經經歷了從日常生活中抽象出自然數的過程，能夠掌握自然數的運算法則和運算律，但這種認識往往流于經驗的層面，對于自然數的學習路徑缺乏系統的認識. 因此，筆者通過如圖2所示的知識結構圖引導學生復習自然數的相關內容，體會和總結數系研究的內容、思路和方法，進行自然數的知識結構整理，接著類比自然數復習有理數. 通過設置問題串，學生重走了有理數的概念抽象及運算法則的形成之路，在潛移默化中感悟了數系擴充思想.

環節3：拓展應用，引發深度知識遷移.

自我檢測：

（2）某出租車駕駛員從公司出發，在南北向的人民路上連續接送5批客人（每送完一批客人，出租車行車記錄歸零），行駛路程記錄如表2所示.（規定向南為正，向北為負.）

① 接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司的路程為多少？

② 若該出租車每千米耗油0.2升，那么在這個過程中共耗油多少？

① 分別計算2 * （-1）和（-1） * 2的值.

② 試探索這種新定義運算“*”是否滿足交換律？是否滿足結合律？并說明理由．

③ 當a = b時，若a * b = 5，求出a的值．

【設計意圖】“有理數”單元中涉及的核心能力是運算能力. 本環節旨在讓學生明確有理數運算的算理，形成優算的意識；進一步讓學生遷移已有活動經驗，使學生能夠基于已有經驗正確理解新的運算規則，理清算理. 學生經歷觀察、實驗、歸納地解決問題的過程，再次體會從特殊到一般的思想，感受代數的核心思想，即“引進一種新數，就要研究相應的運算；定義一種運算，就要研究相應的運算律”.

環節4：整體歸納，引發深度構建聯系.

問題8：如果在有理數的基礎上引進新的數，你覺得我們要怎么學習擴充后的數系呢？

學生回答后，師生總結出如圖3所示的研究路徑.

【設計意圖】該教學片斷承接上述綜合運用題的第③小題，學生通過估算的方法可以發現a的值不是有理數，從而發現已學的有理數仍然不夠用，需要引進新的數才能解決問題. 此環節承上啟下，既讓學生建立了數系之間的內在聯系，又讓學生掌握了數系擴充過程中體現的數學研究基本套路，為后續新數系的研究打下了基礎.

三、教學反思

1. 深度學習：從整體構建走向積累活動經驗

根據深度學習理論，初中階段的教師要能夠呈現數學內容的整體結構，以融會貫通的方式對學習內容進行組織、整合，盡可能地體現內容本質之間的聯系. 在“數與代數”領域，從縱向看：數的發展經歷了“自然數系—有理數系—實數系—復數系”的過程，它們具有共同的研究思路，即“引入—定義—表示—性質—運算與運算律”；從橫向看，從數到式，用字母表示數，在式的學習過程中會產生新的運算對象——單項式，由單項式加減法產生多項式，進而由單項式除法產生分式，由開方產生根式，等等. 對于這些新的運算對象也具有一致的研究思路，即“定義—表示—性質—運算”. 這種研究的基本套路體現了代數各系統之間邏輯的連貫性和思想方法的一致性. 因此，如果教師在教學中樹立整體觀，從整體性角度去設計學生的學習活動，統攬全局，將會達到事半功倍的效果.

本課例中，通過類比自然數系的學習路徑，讓學生構建有理數系的學習路徑，最后讓學生自主構建實數系的學習路徑. 大部分學生能夠在一般觀念的引領下設計出實數系的研究思路和研究內容，說明學生已經對代數研究的基本套路有了初步的感悟.

2. 深度學習：從理解本質走向學生思維發展

從數學教學的角度來看，一堂課往往新就新在思維過程上，高就高在思想性上，好就好在學生參與活動的深度上. 有思想深度的課，能給學生留下長久的心靈激蕩和對知識的深刻理解，以后即使忘記了具體的知識，但數學地思考問題的方法將長久存在. 在數系及其運算的擴充過程中，核心問題是在添加了一類“新數”后，如何將所引進的新數之間的運算歸結到原有的數之間的運算而定義運算法則，進而使原有的運算律在新的數系中得以保持. 這種數系擴充的思想在新課的學習過程中已經潛移默化地滲透過，所以在本節課的教學中讓學生把這種數系擴充的思想顯化出來，能促使學生深刻理解數系擴充的本質.

本課例中，教師先通過問題2引導學生自主重構有理數研究的基本套路，然后通過5個問題，在一般觀念的引領下整體設計有理數復習的過程，為學生重現有理數及其運算知識的發生發展過程，再現觀察、實驗、比較、歸納、猜想、推理、反思的數學思維活動過程，最后通過新定義運算的探究活動，讓學生在領悟有理數運算法則和運算律內涵的過程中體會從特殊到一般的研究過程和方法，使學生既學會發現問題，又學會歸納、概括，從而逐步發展學生的高階思維，培養學生應用數學思想和方法來思考問題的習慣.

3. 深度學習：從發展素養走向創新遷移應用

深度學習理論是以核心素養為出發點和落腳點的. 在數學的教與學中，通過將內容有機整合、整體設計，運用恰當的教學方式，引導學生實現理解性學習、批判性思考、對數學本質的認識及創新意識和應用意識的形成. 從理念走向行動，需要抓住核心知識的重點和難點，即突出重點、突破難點.“有理數”單元中，核心知識是有理數的概念和有理數的運算，核心能力是運算能力. 運算能力的培養是本章教學的重中之重. 引入負數后，對負數運算時符號的處理是學生學習的難點.

本課例中，學生經歷三個環節的學習，逐步加深對于負數的認識. 環節1中，通過情境問題引導學生回顧負數的概念，理解負數表示具有相反意義的量；環節2中，通過對數軸的再認識，引導學生理解負號是表示一個數的性質的符號；環節3中，通過有理數的運算引導學生理解負號不僅可以表示性質符號，還可以表示運算符號，有理數的運算要先定符號再定值. 在“理解運算對象（有理數）—掌握運算法則（有理數運算法則）—探索運算思路（理解算理，選擇算法）—遷移到對新的運算法則的應用”的過程中，學生從具體形象思維不斷向抽象邏輯思維過渡，初步建立了符號意識，在探究有理數運算的過程中不斷體會、研究運算的方法，數學運算能力逐步得到提升.

四、結束語

開展深度教學，引發深度學習，讓培育核心素養從理念走向行動是我們追求的目標. 當然，要實現這個目標，對教師自身來說也是一個挑戰，需要對數學核心內容或知識鏈有整體把握，需要把握知識的“生長點”和“延伸點”，需要提高自身的學科素養，這樣才能設計出體現學生思維發展的教學活動，循序漸進地實現學生整體素養的提升.

參考文獻：

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