挖掘?qū)W科育人價值 提升課堂教學品質(zhì)

摘" 要：從根本上看，實數(shù)單元學習框架構建的過程、符號化的過程、性質(zhì)獲得的過程、計算的過程和數(shù)學史應用的過程就是發(fā)展學生學習能力、表達能力和思考能力的過程，蘊含著豐富而深刻的學科育人價值. 文章挖掘了實數(shù)單元教學的育人價值，旨在提升學生的學習能力，發(fā)展學生的理性思維和科學精神，實現(xiàn)數(shù)學學科育人.

關鍵詞：學科育人；數(shù)系擴充；實數(shù)

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中明確提出“課程目標的確定，立足學生核心素養(yǎng)發(fā)展，集中體現(xiàn)數(shù)學課程育人價值”“增強內(nèi)容與育人目標的聯(lián)系”“發(fā)揮每一種教學方式的育人價值，促進學生核心素養(yǎng)發(fā)展”. 那么，如何挖掘數(shù)學學科的育人價值呢？章建躍先生給數(shù)學教師的建議是以數(shù)學知識技能為載體，創(chuàng)設符合學生認知規(guī)律的問題情境，引導學生開展獨立思考、自主探究、合作交流，獲得“四基”，提高“四能”，形成數(shù)學的思維方式，培養(yǎng)理性思維和科學精神. 文獻［3］對數(shù)學育人價值的闡述聚焦于理性思維、科學精神、嚴謹求實態(tài)度，應用與實踐能力，創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，學習能力等維度．可見，學科育人是以學科知識為載體，深入挖掘?qū)W科內(nèi)在精神價值的過程. 本文以挖掘?qū)崝?shù)單元教學的育人價值為例展開分析，思考怎樣將學科育人落到實處．

在義務教育階段，“實數(shù)”單元的教學既有數(shù)的研究特點也兼具式的運算特征. 數(shù)系擴充的過程，無理數(shù)符號化的過程，實數(shù)性質(zhì)獲得的過程，運算的過程，數(shù)學史應用的過程，都蘊含著豐富而深刻的學科育人價值，值得深入挖掘.

一、數(shù)系擴充與理性精神

數(shù)系擴充原則（principle of extension of a number system）是數(shù)系擴充的基本法則，即從原來的數(shù)系擴充到新的數(shù)系之后，原來的數(shù)系中定義的基本運算擴展為新的數(shù)系中的運算，且這些運算對于新的數(shù)系中原來數(shù)系中的元來說與原來數(shù)系中的元之間的關系和運算一致. 從有理數(shù)到實數(shù)的擴充也遵循這樣的原則：引入無理數(shù)概念后，有理數(shù)集成為實數(shù)集的真子集，這樣解決了有理數(shù)系中開方運算封閉性的矛盾，隨之數(shù)系的范圍擴充到實數(shù)，實數(shù)單元繼承有理數(shù)的基本運算方式和研究方式. 這樣的過程中蘊含著可以充分挖掘的育人價值.

1. 在發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的過程中培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程需要思辨、驗證，尋求認知維度上的突破，讓學生經(jīng)歷這樣的過程是滲透理性精神的過程. 事實上，無理數(shù)是基于運算的需要而產(chǎn)生的，但是囿于學生認知能力等因素，需要設計現(xiàn)實情境，讓學生通過解決現(xiàn)實情境問題產(chǎn)生認知沖突，“發(fā)現(xiàn)”現(xiàn)實生活中存在無法用有理數(shù)表示的數(shù)，并基于現(xiàn)實情境的引導，從數(shù)學運算的視角“發(fā)現(xiàn)”一類新的數(shù)，目的在于讓無理數(shù)“可視”，降低由于無理數(shù)概念過于抽象而造成的認知困難，如圖1所示.

如圖2，取兩張邊長為1的正方形紙片，將兩張紙片分別沿對角線剪開，拼接成面積為2的正方形（如圖3），那么這個正方形的邊長是多少？這個情境說明該正方形的邊長是一個無法用有理數(shù)表示的數(shù)，且這樣的數(shù)真實存在.

無理數(shù)概念的引入將數(shù)系擴充到了實數(shù). 關于實數(shù)教學的根本意義，以開方開不盡的數(shù)的算術平方根為例，研究[a]（a ≥ 0）類型的無理數(shù)的概念、表示、性質(zhì)及運算方式，以此為范本類比研究[a3， an]類型無理數(shù)的概念、性質(zhì)及運算等，一類一類地將無理數(shù)研究清楚，從而理解實數(shù)的概念和運算，發(fā)展學生的學習能力. 教師要把握好實數(shù)概念的教學過程，創(chuàng)設符合學生認知水平的問題情境，讓學生身處其中自然而然地感受概念的起源、特征及其關系，在細微的過程中落實數(shù)學學科育人.

2. 通過構建研究框架培養(yǎng)學生主動學習的能力

實數(shù)單元的學習方式需要借鑒有理數(shù)的研究經(jīng)驗. 這基于兩個原因：其一，數(shù)系的擴充是通過添加一種新的數(shù)將數(shù)的范圍擴大，再在使已有的運算律保持不變的思想指導下在新的范圍定義運算而實現(xiàn)的；其二，實數(shù)理論非常高深，初中生不可能充分理解，這就要求教師在教學時應充分利用學生已有的有理數(shù)的學習經(jīng)驗，如通過類比有理數(shù)的運算指出有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立. 因此，實數(shù)單元的研究方式與有理數(shù)一致，即引入一種新的數(shù)，研究它的運算法則和運算律. 教師可以通過指導學生回顧有理數(shù)的研究過程遷移構建實數(shù)單元的研究思路，如表1所示.

基于以上分析，在實數(shù)教學中教師需要引導學生理解無理數(shù)與有理數(shù)的差異，進而通過運算體驗實數(shù)的學習. 盡管在研究框架上無理數(shù)可以模仿有理數(shù)，但是無理數(shù)的運算方式更具有代數(shù)式的運算特點. 分配律是將數(shù)與式統(tǒng)一起來的根本，既讓學生在研究中感受數(shù)學思想方法的前后一致性和邏輯的連貫性，也讓學生體驗不同的研究對象有其獨特的內(nèi)涵、結(jié)構和研究方式. 盡管這一教學過程可能需要很長的時間，但是在研究的過程中發(fā)現(xiàn)差異，通過類比、對比的過程不斷增進體驗，不斷完善概念理解的過程就是學科育人的真實過程.

二、符號化與數(shù)學表達

數(shù)學依賴于符號，符號是數(shù)學發(fā)展的內(nèi)在動力之一. 無理數(shù)符號化的過程也是一次學習經(jīng)驗積累的過程，可以為將來銳角三角函數(shù)的學習提供可遷移的經(jīng)驗.

平方根定義（如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就是a的平方根）的教學需要教師給予足夠的重視. 這是由于定義中包含開方與乘方互為逆運算的原理，隱含平方根符號化表示的現(xiàn)實需求，并提供了將無理數(shù)[a]推廣為[an]類型無理數(shù)的可能. 此時，學生的知識結(jié)構中沒有可類比遷移的學習基礎，平方根概念教學又非常抽象. 因此，教師在教學過程中要抓好逆運算、符號化、一般化三個關鍵環(huán)節(jié)，層層遞進，并通過步驟化地表達，引導學生形成數(shù)學語言.

1. 在理解運算關系的過程中梳理邏輯關系

2. 在符號化的過程中理解和使用符號

3. 在用符號表示一般的數(shù)量關系的過程中理解符號的優(yōu)越性

在此過程中，幫助學生感悟數(shù)學語言是表達現(xiàn)實世界的科學、準確的方式. 在平方根的研究基礎上引導學生將平方根的表示推廣到3次方根的表示，并一般化為n次方根的表示的過程中，可以讓學生感受到高度抽象的無理數(shù)用符號表示之后變得簡潔、一般化，克服了自然語言的多義性，并具備了可以進行符號運算的基礎. 同時，體現(xiàn)對新的、更合適的符號的不斷追求這一數(shù)學發(fā)展的重要特征.

4. 在區(qū)分表示方式的過程中感受符號的數(shù)學意義

三、性質(zhì)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新思維

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn). 數(shù)軸在有理數(shù)單元就已經(jīng)學習過，但是有理數(shù)與數(shù)軸上的點不具有一一對應關系，實數(shù)與數(shù)軸上的點具有一一對應關系，數(shù)形結(jié)合在這里得到詮釋. 想要證明實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，需要解決完備性、連續(xù)性等問題，其中有些問題的解釋需要用到高等數(shù)學中映射、戴德金分割等原理，這超出了初中生的認知和能力水平. 因而，“一一對應”關系的理解以驗證為主要手段.

四、運算與系統(tǒng)思維

1. 無理數(shù)的近似計算

2. 實數(shù)運算

五、數(shù)學史與文化浸潤

數(shù)學發(fā)展的歷史中孕育著數(shù)學精神和數(shù)學思想. 從數(shù)系擴充的視角看實數(shù)單元，無不浸潤在數(shù)學歷史中. 事實上，初中階段無法徹底解釋實數(shù)，背后也有深刻而豐富的數(shù)學史因素. 因此，本單元也是挖掘文化內(nèi)涵，培養(yǎng)學生數(shù)學精神的重要載體.

學科育人應該滲透到教學的每一處細節(jié)，教師要通過專業(yè)水平的提升促進育人水平的提升，挖掘教學內(nèi)容及教學過程中蘊含的學科育人價值，設計貼近學生思維水平的教學情境，幫助學生經(jīng)歷抽象、推理、建模的過程，提升思維水平，提高學習能力，發(fā)展學科素養(yǎng)，做實學科育人過程.

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