整體性數學思維方式下的章引言閱讀教學

摘" 要：章引言在數學單元學習中的統領價值、引導價值等越來越受到重視. 文章以“二元一次方程組”章引言閱讀教學為例，通過在前置學習時構建數學知識體系，在課堂學習時積累數學基本活動經驗，引導學生理解章引言蘊含的“為什么學”“學什么”“怎么學”三個核心問題，從而發展學生的系統性、拓廣性和同構性思維方式，最終實現對學生整體性數學思維方式的培養.

關鍵詞：整體性；系統性；拓廣性；同構性；數學閱讀；章引言

現行各版本初中數學教材都十分注重對章引言的編寫. 章引言雖然言簡意賅，但是內容豐富，包含了全章概念的引入、內容的概述、方法的引導和數學思想的滲透等，是全章內容的綱領性材料. 因此，章引言內容概括性強、跨度廣. 但是由于篇幅所限，章引言內容的呈現容易出現碎片化狀態. 關于初中數學教材章引言內容的教學研究，文獻［1］從哲學的角度對章引言的整體教學價值進行了論述，文獻［2］探索了章引言的設計原則和設計途徑，文獻［3］從整體教學角度入手對教材進行重組，文獻［4］探討了在整體性數學思維方式下教師對教材（包括章引言）的研讀方式. 整體性數學思維方式由系統性思維、拓廣性思維和同構性思維共同作用構建而成，它們對應著整體規劃學習的全局思路，局部挖掘已有知識的學習方式，遷移前后相似問題的研究策略. 目前的章引言教學中存在著學習時間有限、學習內容單薄等問題. 縱然教師具有整體性數學思維方式，但是若沒有足夠的學習時間和學習內容供學生探究也是枉然. 章引言閱讀教學是通過前置學習，引導學生對章引言及相關補充內容進行拓展閱讀，全面構建知識體系，為章引言學習提供充足的時間和豐富的內容，以培養學生整體性數學思維的教學方式. 下面以人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊（以下統稱“教材”）第八章“二元一次方程組”的章引言教學為例進行具體闡述.

一、構建全面知識體系的策略

1. 從新、舊概念的發展過程看“為什么學”

教師要引導學生閱讀章引言中概念的生成過程，明白“為什么學”. 例如，教材“二元一次方程組”的章引言中，用大量篇幅探討了在一元一次方程的基礎上能否設兩個未知數，使列方程變得更容易；章前圖和表格引導學生完成列二元一次方程組的過程. 教學時，教師可以將章引言與“8.1 二元一次方程組”進行整合，讓學生了解方程的發展過程，突出重點內容，使學生了解不同類型方程的發展和認知過程，了解新概念產生的原因，以及與已有知識體系的關系. 同時，在定義二元一次方程組時，隨著學生對“元”和“次”等概念的深入理解，可以進一步知道存在三元一次方程組、一元二次方程等更多的方程表現形式. 這樣，學生就可以從整個方程體系的角度學習二元一次方程組.

2. 從章引言與章目錄的聯系看“學什么”

章引言的最后相當精簡，一般都用很小的篇幅介紹本章的學習內容. 教師自然明白教材的編寫意圖，而學生要從這短短幾行字中讀出龐大的信息是比較困難的. 因此，在前置學習階段，教師要讓學生先根據章節目錄列出表格，再與章引言中的內容逐一進行比較并填表（表1），了解本章的學習內容. 學生對二元一次方程組的相關概念的深入理解，是伴隨著探究解二元一次方程組的過程展開的. 而求二元一次方程組的解的過程又化歸為求一元一次方程的解的過程. 同時，在化歸與轉化的過程中拓展方程組的相關概念的不同表示和方程組的解決方法. 再把解法應用到新的情境中，最終在不同情境中應用方程組解決問題.

3. 類比新、舊知識的研究方式看“怎么學”

全面構建知識體系，不僅包括學習內容，還包括研究方式. 例如，將教材七年級上冊“一元一次方程”和“二元一次方程組”的章節內容進行對比，學生不難發現學習它們的研究方式是相似的. 因此，教師可以將表1拓展為表2，引導學生形成研究方程問題的一般策略，即“情境—方程概念—方程的解—解方程—新情境”.

當然，上述內容只是為培養學生整體性數學思維方式作學習內容上的準備，教師還需要在課堂教學中通過以問題為導向的教學活動引導學生的思維活動，從而培養學生的整體性思維方式.

二、發展整體性數學思維方式的過程

1. 前置學習階段

要求學生解決熟悉的“雞兔同籠”問題：雞兔同籠是中國古代的數學名題之一. 大約在1 500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題. 書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞和兔同在一個籠子里. 從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳. 問籠中各有多少只雞和兔？

師：試根據章引言介紹的方法（如表3）列出方程.

【設計意圖】這是教材四年級下冊“數學廣角”的內容. 當時學生還沒有學習方程，其解法是通過算術算法來完成的. 對于小學四年級的學生來說，理解其解題方法有一定的難度. 現在引入二元一次方程組的概念，應用方程解題明顯簡單易懂，會讓學生感受到學習二元一次方程組的必要性.

活動1：閱讀二元一次方程組的章引言和章節目錄，完成表4，了解章引言和章節目錄之間的對應關系. 同時，對比閱讀教材七年級上冊“一元一次方程”一章，將表4拓展為表5.

思考1：本章將要學習什么內容？

思考2：學習一類新的方程時，會從哪些方面進行研究？

【設計意圖】通過對數學資料的自主閱讀和思考，學生基本上已經了解了本章將要學習的內容，從而對本章的知識有全局性的認識.

2. 課堂學習階段

（1）培養系統性思維方式.

例1" 在某商場，買60件商品A和30件商品B用了1 080元，買50件商品A和10件商品B用了810元，買一件商品A和一件商品B各需的費用是多少？

思考3：為什么要設兩個未知數？

【設計意圖】章引言是從列二元一次方程組比列一元一次方程思維上更加容易這一觀點出發的，展示學習新知識的必要性. 學生完整地列出二元一次方程組，并與列一元一次方程進行比較，是一個必須經歷的過程. 學生只有經歷較多的列方程組的過程，才能感受到這種簡便，這是研究問題視角的轉化帶來了表達問題方式的簡潔，是對學生思維品質的提升. 在前置學習階段，教師通過指導學生閱讀章引言，讓學生熟悉列二元一次方程組，在課堂教學環節減少了預設列表格的過程，考查學生在解決問題的過程中是否具備自主列表的意識和能力. 思考3能夠促使學生進一步認識為什么學二元一次方程組，明白“為什么學”是數學知識體系不斷擴展的原因，它與前置學習階段一起構成了整體和局部之間的辯證關系，是對學生系統性思維方式的培養.

活動2：填寫表6，類比一元一次方程的概念，對二元一次方程進行定義.

（2）培養拓廣性思維方式.

（3）培養同構性思維方式.

三、激發從內容呈現到思維形成的機制

1. 突出章引言的整體價值

章引言的整體價值體現在如下幾個方面. 首先，構建知識體系. 學生預習一元一次方程時類比小學階段接觸的簡易方程，預習二元一次方程組時類比一元一次方程，在已有知識經驗的基礎上生成概念，并且在課堂學習中適當地拓展概念的外延，理解三元一次方程、一元二次方程等，形成方程的知識體系. 其次，形成數學現實. 它是數學知識之間的認知結構，也是數學知識內化的過程. 例如，解方程的問題，無須讓學生下節課再來學習，而是通過章引言給出的一元一次方程和二元一次方程組的關系，引導學生用關于一個未知數的代數式去表示另一個未知數，它在列一元一次方程時是設未知數的方法，而此時也是解二元一次方程組的方法，對兩者進行結構分析，從而將消元思想滲透到學生的認知中，以激發學生的研究熱情. 最后，凸顯研究方式. 無論是小學階段學習的簡易方程，還是初中階段學習的一元一次方程、二元一次方程組，它們有共同的研究路徑，即“情境—方程概念—方程的解—解方程—新情境”. 學生在前置學習階段的數學閱讀中，通過表格的比較，形象、系統地表述出這種共同的研究策略.

2. 積累數學基本活動經驗

突出章引言的整體價值主要是教師的主導活動，目的是促使學生積累數學基本活動經驗，發展學生的數學核心素養. 數學基本活動經驗是在活動中生成、在思考中沉淀下來的. 因此，教師在教學中既要設置學生活動，又要設置思考問題. 例如，先回顧一元一次方程的相關概念，讓學生在二元一次方程概念的形成過程中類比已有的知識經驗自主生成對概念的認知；“方程組的解”的概念的形成不是按照傳統教學方式通過枚舉法進行探討的，而是讓學生在解簡單的二元一次方程組的過程中生成的，可以喚醒學生學習一元一次方程時與小學階段簡易方程的對比學習過程，使得概念的形成是連續的數學活動的結果；讓學生編寫問題，可以讓學生體會到已獲得的解決情境問題的方法是可以再次應用到新情境中的. 這些活動經驗， 一方面，是在學生親自參與的過程中生成的；另一方面，是連續不斷的積累過程，使得概念、命題等靜態的文字描述變成隱性的動態過程. 因此，從內容呈現到思維形成，積累數學基本活動經驗是重要的量變過程.

3. 發展整體性數學思維方式

學生經歷了對數學基本活動經驗的積累過程，再對其進行提煉，就可以順利解決教師設置的練習題. 例如，在教材內容的基礎上添加個別案例，讓學生在更多的問題情境中感受使用二元一次方程組解決問題的簡便性，使學生可以理解方程不斷向前發展的原因，既明白為什么會有三元一次方程，也能通過方程的概念進一步定義一元二次方程等相關概念. 因此，學生能夠解決練習1是系統性思維發展的結果. 通過簡單的二元一次方程組向一元一次方程轉化的過程，加深學生理解“方程組的解”和“解方程組”之間的關系，學生可以解決練習2是拓廣性思維發展的結果. 通過比較“二元一次方程組”和“一元一次方程”的章節目錄，學生在課堂小結時能明白下一步即將學習的是探究復雜的二元一次方程組的解法，在今后學習三元一次方程組、一元二次方程等其他形式的方程時會明白需要在哪些方面進行探究，這是同構性思維發展的結果. 通過對章引言內容的整體呈現，學生在積累數學基本活動經驗的過程中，可以發展整體性數學思維方式.

可見，章引言閱讀教學能改變以往傳統的學習模式. 將大量需要學習的基礎性閱讀材料置于課前，能使學生有充足的時間對章引言及其補充材料進行閱讀，對整個章節內容有全面的認知，對學習難點有初步的感知，在課堂教學階段通過完成教師預設的活動和思考，使思維活動保持在較高水平，從而使得章引言閱讀教學成為發展學生整體性數學思維的教學方式.

參考文獻：

［1］孫朝仁.“章引言”數學教學的哲學思考［J］. 上海教育科研，2015（9）：73-75.

［2］何麗華. 起始課：數學單元教學的“導覽圖”［J］. 中學數學教學參考（中旬），2021（4）：14-17.

［3］潘海波. 整體把握" 結構設計：以“銳角三角函數”章起始課教學為例［J］. 中學數學（初中），2020（11）：14-15，18.

［4］米妍，王光明. 整體性數學思維方式視野下的教材閱讀：基于章建躍先生對《實數》一章的教材分析［J］. 數學通報，2017，56（10）：8-12.

［5］頓繼安. 從“備學生”轉向“研究學生”：基于學生研究的數學教學［M］. 北京：教育科學出版社，2015.