建構幾何語言·彰顯數學本味·發展核心素養

摘" 要：“線段、射線、直線”是初中階段平面幾何的起始內容，教學時應該關注數學核心素養的整體性、一致性和階段性. 從數學情境出發，抓住宏觀結構，幫助學生建構幾何語言；從整體教學出發，滲透“基本套路”，幫助學生積累基本活動經驗，形成自主探究幾何圖形性質的能力.

關鍵詞：幾何起始課；核心素養；幾何語言

“線段、射線、直線”是初中階段平面幾何的起始內容，內容相對簡單，且學生在小學階段已經初步學習了相關知識. 那么，如何將“簡單內容”上出“幾何味”呢？筆者在近期的教學實踐中進行了嘗試，有了一些新的體驗，在實踐基礎上進行理性思考，整理成本文與同行交流，不當之處敬請斧正.

一、教學內容分析

1. 對比課程標準

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）中關于線段、射線、直線內容在三個學段有所涉及，具體分布情況如表1所示.

通過對比，不難發現：對于低學段，主要引導學生借助生活實例獲取直觀經驗，此時學生的認知方式以感性認識為主. 而對高學段的要求則從“認識”上升到“掌握”，從具體到抽象，此時學生的認知方式以理性認識為主. 三個學段的知識點看似重復，目標要求卻是螺旋上升的.

2. 對比教材

為了更好地設計教學活動，筆者對比分析了滬科版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“滬科版教材”）、北師大版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“北師大版教材”）和人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“人教版教材”），具體情況如表2所示.

通過對比，發現在這三個版本的教材中，直線、射線、線段都是平面幾何研究的起點，也是后續研究其他復雜幾何圖形的基礎. 但是三個版本教材在知識點的處理上，有如下細微差異.

（1）滬科版教材和北師大版教材均由實例導入抽象出線段的概念，再通過延長線段得到射線和直線.

（2）滬科版教材和北師大版教材對知識點的編排順序并無差異，都是先“概念”后“表示”再探“基本事實”. 人教版教材是從直線的基本事實出發，然后到射線，再到線段，這個過程從整體到局部、從無界到有界，體現了“三線”之間的內在聯系，可見人教版教材更關注知識內在的邏輯，并且借助便簽貼紙提問“怎樣由一條線段得到一條射線或一條直線？”，此過程再由有界到無界、從局部到整體，加深了學生對直線體系的認識.

（3）滬科版教材著重介紹了如何延長線段，以及怎樣用幾何語言去描述這一操作. 此活動中，學生初次使用了幾何語言. 而人教版教材將此部分內容安排在了習題4.2中.

基于上述對比、分析，筆者整合以上各版本教材的優點，優選教學素材，以使教學活動的設計既符合知識本身的邏輯結構，又符合學生的認知規律.

3. 分析教材

本節課選自滬科版教材七年級上冊“4.2 線段、射線、直線”. 線段、射線和直線均是幾何概念. 從概念分類的角度來看，直線是屬概念，也叫上位概念，射線和線段是種概念，也叫下位概念，而射線和線段的概念是并列關系，如圖1所示.

本課時的教學中有兩個“第一次”. 首先，第一次出現基本事實，即“經過兩點有一條直線，并且只有一條直線”. 這句話包含了兩層含義：“有”是存在性；“只有”是唯一性. 其次，第一次用字母表示圖形. 用字母表示圖形不僅便于說明問題，而且對今后的推理論證具有重要價值.

二、教學過程設計

1. 價值定位

章建躍博士指出，數學育人要用數學的方式，要發揮數學的內在力量. 數學學科的育人價值就蘊含于數學內容之中，數學的內在力量就是數學的思維方式和符號化的表示，即學會有邏輯地思考和用數學語言交流和表達，而數學的符號體系正是數學思維活動的載體. 基于以上分析，筆者立足數學核心素養，分別從數學眼光、數學思維和數學語言三個維度設定了本節課的教學目標及教學重、難點.

本節課的教學目標設置如下.

（1）通過畫圖操作，進一步認識線段、射線和直線，掌握它們的表示方法，發展學生的抽象能力和幾何直觀.

（2）通過觀察、操作、歸納，掌握“兩點確定一條直線”的基本事實.

（3）在探索過程中，初步體會幾何語言的應用，并嘗試用幾何語言表達.

教學重點：掌握線段、射線和直線的表示方法，以及“兩點確定一條直線”的基本事實.

教學難點：幾何語言的應用與表達.

2. 活動設計

（1）畫圖操作，感受“存在性”.

探究1：過一點作直線，可以作多少條？過兩個點作直線，可以作多少條？如果是三個點呢？

問題1：要畫一條直線，至少需要幾個點？

【設計意圖】學生通過探究1的畫圖操作與對比得出結論“經過兩點有一條直線”，初步感知直線公理的存在性. 同時，在畫圖過程中產生了如圖2和圖3所示的兩個重要素材，為后續圖形研究作鋪墊.

（2）疊合觀察，感受“唯一性”.

探究2：過如圖4所示的三組點繼續作直線，并和小伙伴的作品疊一疊（在半透明玻璃紙上）.

問題2：仔細觀察，你發現了什么？

師生共同總結，得到基本事實：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線.

【設計意圖】首先，通過改變兩個點的排列方式，讓學生多次畫圖，深化對直線公理存在性的理解；其次，借助將玻璃紙所作圖形重疊，學生會發現所作直線重合了，進而感受到直線公理的唯一性. 用重疊驗證“唯一性”的研究方法，也是后續探究其他基本事實（如SSS，SAS，ASA）的常用方式.

（3）深化理解，滲透研究方法.

問題3：在這張半透明玻璃紙上有三條直線，怎么區分它們呢？

問題4：如何表示一條直線？

【設計意圖】通過問題3引出學習直線的表示方法的必要性. 由于直線基本事實的教學在前，學生會自然地理解“用兩個大寫字母表示一條直線”背后的邏輯.

問題5：在圖5中，除了直線，你還發現了哪些線？

交流討論：如何表示它們？

【設計意圖】引導學生從整體與局部的角度觀察，從而發現射線和線段都是直線的一部分. 而前面已經有了直線的表示方法的學習經驗，射線和線段的表示就會水到渠成.

（4）識圖畫圖，建構幾何語言.

練習1：在如圖6 ～ 9所示的圖形中，能相交的是哪個？你能畫出相交的情況嗎？

示范操作：觀察老師對圖6的操作（反向延長射線CD），說說你的發現.（理解幾何操作.）

問題6：你能想辦法使圖8中的兩條線相交嗎？（完成幾何操作.）

問題7：說說你是怎么做到的.（表達幾何操作.）

【設計意圖】教師示范作圖使圖6中的兩條線相交，并告訴學生這種幾何操作叫“反向延長射線CD”，引導學生發現此操作也可以等價于“反向延長線段CD”或者“延長線段DC”. 教師的示范操作旨在幫助學生初步建立幾何操作與幾何語言之間的統一. 從“理解幾何操作”到“完成幾何操作”再到“表達幾何操作”，要求逐級增加. 練習1加深了學生對直線、射線延伸性的理解，使學生明白：線段本身雖然不具有延伸性，但可以延長；射線可以反向延長. 同時，此活動為學生今后畫圖或添加輔助線的學習作了準備.

練習2：如圖10，下列語句的敘述是否正確？為什么？

（1）線段AB與線段BC是同一條線段；

（2）直線AB與直線BC是同一條直線；

（3）點A在線段BC上；

（4）點C在射線AB上.

練習3：看圖（圖11）說話，說出你觀察到的幾何結論.

【設計意圖】練習2和練習3圍繞學生在探究1中作圖（圖2和圖3）產生的素材設問，尤其是練習3中的選圖內涵非常豐富，既包含了“點與線的位置關系”，也包含了“兩條直線相交只有一個交點”的反例構圖，即由反證法，假設直線AB和直線AC相交于點A，B，這樣過點A和點B就有兩條直線（直線AB和AC），這與基本事實“經過兩點有且只有一條直線”矛盾，所以假設不成立. 利用此圖設置開放性問題，兼顧了不同層次學生的學習水平，激發了學生對幾何學習的興趣. 同時，這兩個練習進一步幫助學生建立了文字語言和圖形語言之間的相互轉化.

三、教學反思

結合核心素養的整體性、一致性和階段性特征，筆者對本節內容的教學有了如下思考.

1. 識別學段特征，建構幾何語言

學生在小學、初中和高中階段的認知水平具有明顯的階段特征，與之對應的核心素養也分為不同的層次. 對于線段、射線、直線這類橫跨多個學段的中小學銜接的內容，教師應該遵循學生的認知規律，采用螺旋式的方式進行教學.

筆者認為，“線段、射線、直線”在初中階段的教學中應該把握兩個方向. 一是從數學情境出發，淡化生活情境. 區別于小學階段重實例、重形象的教學特點，初中階段應該重操作、重邏輯，使學生在大量幾何操作中積累直觀經驗，增強空間觀念，發展合情推理能力，從而培養學生的理性思維. 二要從整體出發，抓宏觀結構.“線段、射線、直線”作為初中階段平面幾何的起始課，教師應該抓住契機幫助學生建立幾何語言，發展抽象能力. 數學學科有自己的符號體系，幾何部分則有文字語言、圖形語言、符號語言三種表示方式相輔相成，它們既相互獨立又保持統一. 這種抽象化的表達方式便于呈現數學成果、交流數學思想，這正是數學育人的獨特方式. 教學時，教師在加深學生對直線、射線、線段概念的理解的同時，也要做好幾何直觀和空間觀念在本學段的階段性培養，并逐步發展學生的抽象能力和推理能力. 例如，本節課中，學生通過多次作圖體驗到“經過兩點有一條直線”，再通過疊合與觀察得出“經過兩點只有一條直線”，此環節用幾何直觀代替邏輯推理，將直線公理分解為兩個層次，幫助學生分步體會幾何學習歷程中的第一個基本事實. 雖然基本事實“不證自明”，但“疊合—重合”仍然是探究公理的基本活動經驗，合情推理仍然是實驗幾何中的重要推理方式. 整個教學活動的實施在實現知識進階的同時，也體現了數學核心素養的進階.

2. 滲透研究方法，彰顯數學本味

《標準》要求把數學知識和核心素養的培養相融合，遵循學生的認知規律，進行整體性教學設計. 因此，教師應該關注知識的內在邏輯關系，整體設計，分步實施，幫助學生學會數學地思考，學會有邏輯地思考，學會用數學的方式認識問題和解決問題，形成科學的思維習慣，發展數學核心素養.

對于“圖形與幾何”領域，教師可以從整體上把握教學內容，根據幾何圖形研究的“基本套路”，循序漸進地實施教學，在關聯主題的整體建構中，感悟學科本質、內容結構，以及學生核心素養發展的一致性. 本節課中，一方面，從直線到射線、線段的研究過程遵循了從一般到特殊的研究路徑，而這種從一般到特殊的正向遷移活動在平面幾何領域比比皆是，如從相交到垂直、從三角形到特殊三角形、從四邊形到平行四邊形再到矩形、菱形；另一方面，本節課直線體系的教學還遵循了“定義概念—性質和判定—聯系和應用”的基本過程. 其中，從直線到線段，是一個從無界到有界的過程，而下一課時學習“線段的長短比較”后，整個單元便完成了對直線體系從定性分析到定量分析的過程. 教學時，筆者有意讓直線體系的教學成為平面幾何教學的先行組織者，給學生呈現了一個類比對象，示以幾何對象的研究之道，幫助學生構建在數學思想與方法上具有前后一致性的教學進程，從而使學生積累基本活動經驗，形成數學感悟，給學生創造自主探究的機會，實現教學內容和研究方法的一致性.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］章建躍. 推進減負增效" 提升教學質量：暨“第十二屆初中青年數學教師課例展示活動”總結［J］. 中國數學教育（初中版），2022（6）：13-28.

［3］鮑建生，章建躍. 數學核心素養在初中階段的主要表現之五：推理能力［J］. 中國數學教育（初中版），2022（10）：3-11.