在結構化知識體系整體建構和綜合應用中發展數學核心素養

摘" 要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了數學核心素養導向，落實了“四基”“四能”的課程目標，界定了數學核心素養的內涵及其具體表現，提出了核心素養導向的教學建議，但是如何融合具體單元內容開展核心素養導向的教學，需要更多的理論建構和實踐研究. 文章回顧了數的發展歷程及其邏輯脈絡，分析了初中階段數的課程內容所蘊含的發展數學核心素養的育人價值，在此基礎上，提出在結構化知識體系整體建構和綜合應用中發展學生數學核心素養的教學策略，給出有理數和實數內容的若干具體教學建議.

關鍵詞：融合內容；發展核心素養；單元整體教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）提出了數學核心素養導向，落實“四基”“四能”的課程目標，界定了數學核心素養的內涵及其具體表現. 要把發展數學核心素養的育人任務落實到教學實踐中，既需要進一步基于主題內容解析核心素養的具體表現，更需要基于單元內容，用一般觀念為統領設計結構化知識建構的數學活動主線，基于活動主線，設計協同的課時教學，基于結構化知識結構融合發展數學核心素養.

數系的發展，經歷了歸納建構和公理化抽象兩個階段，這也是建立實數理論的兩種不同途徑. 其中，歸納建構的途徑符合初中學生從直觀到邏輯的數學認知發展規律，便于教師設計適當的活動，引發學生用數學的眼光觀察、用數學的思維思考、用數學的語言表達等活動，從而發展數學核心素養.

一、從自然數系到有理數系的歸納建構

人類從數數、排序中認識自然數，基于分物和測量認識正分數（小數），中國古代數學家在解線性方程過程中引入負數及其運算，最后，基于夯實微積分邏輯基礎的需要，經過19世紀到20世紀初的數學家的努力，用集合論建立起公理化的實數理論.

1. 自然數的研究蘊含著數系研究的基本框架和代數的基本思想

數數和排序的本質是通過加1運算歸納建構自然數的結構體系. 最初的自然數系不包括0，后來為了表示“沒有”，引入0. 為了體現數系的邏輯一致性，把0納入自然數系中. 自然數的加1運算，是從0開始，不斷重復，無窮迭代，從而建構了自然數的無窮序列. 這種最原始的加1運算，還是自然數的運算和運算律，以及自然數的序結構（大小關系）的邏輯基礎. 自然數的運算和運算律及自然數的序結構是構成數與式的運算體系和大小關系的基礎. F.克萊因把自然數的這種代數運算結構和序結構總結如表1所示.

基于現實情境，引入自然數，進一步研究自然數的大小關系，研究自然數的運算和運算律，這種自然數研究的基本框架奠定了后面數系擴充的研究框架，而保持運算的相容性和運算律的一致性則構成了數系擴充中歸納建構需要繼承的基本運算性質. 運算律是代數結構（群、環、域）的共同的重要事實，是代數學的基石.

2. 有理數內容的歸納建構

基于分物和測量活動，引入分數（小數），實現乘法運算的逆運算——除法運算的封閉性，從而擴大了數集. 數集擴大后，需要研究其大小關系（特別是相等關系，即分數的基本性質），抽象其運算法則，使之滿足運算律.

到了初中階段，通過引入負數，實現加法運算的逆運算——減法運算的封閉性. 把數的范圍擴大到有理數，研究其序結構（大小關系）和運算結構（域）.有理數研究的基本思路與自然數一致：引入—定義、分類、表示—性質（大小關系）—運算與運算律. 本質上，研究大小關系，研究的是有理數的序結構；研究運算和運算律，研究的是有理數的代數結構——域結構.

負數的引入，既是用數表示現實中相反意義的量的需要，也是數學內部發展的需要. 數學內部發展中怎樣保持運算的一致性呢？例如，使得“a + 10 = 0”成立的自然數a不存在，因此，在自然數范圍內“0 - 10”沒有意義. 但在現實中，使得這個式子成立的數量關系是存在的：今天收入10元又付出10元，結果是原有的錢數不變；溫度從零下10 ℃開始上升10 ℃后變成0 ℃；等等. 把使等式“a + 10 = 0”成立的數記作-10（10的相反數）. 于是，就引入了負數，并且這樣引入的負數本身就是保持了運算的邏輯一致性. 在有理數域中，相反數就是一個正數（或0）的負元，是用公理保證的.“任意一個有理數x都有唯一的負元-x，使得x + （-x） = 0”與“對于任意有理數x，方程x + y = 0有唯一解”是等價的. 同樣地，有理數的倒數則是對非0有理數的乘法運算構成一個交換群的條件之一，即“任何一個非0的元素x都有唯一的逆元y，使得xy = 1”，它與“對于任意有理數[x≠0]，方程xy = 1有唯一解”是等價的. 因此，相反數和倒數反映了有理數域結構的運算本質，體現了數系擴充中的創新性. 在引入負數后，數具備了正負兩種相反的意義（極性），如果不考慮正、負，一個量還有量值的大小，這就是絕對值. 絕對值是引入負數使數系擴充后仍然保持不變的數的屬性，體現了數系擴充的繼承性. 借助數軸，可以把有理數在直線上直觀有序地表達出來，體現了數形結合思想，建立了幾何直觀. 有理數運算法則中，加法和乘法這兩種基本運算是基于非負數運算法則的推廣，其運算結果仍然是有理數，用符號和絕對值兩個方面進行表達. 事實上，這體現了有理數加法和乘法這兩種運算的封閉性. 與非負數一樣，減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，這反映了有理數域中減法和除法運算的封閉性. 在有理數的加法和乘法運算下，運算律依然成立，這體現了數系擴充中運算的一致性. 到了有理數范圍，可以用表2中的運算、運算律和大小關系體現有理數的代數結構和序結構屬性.

二、有理數內容中數學核心素養的表現和教學建議

小學階段，學生經歷了從自然數到分數（小數）的學習歷程，用直觀（生活經驗的直觀和幾何直觀）的方法理解了這些數的意義及其對數量的表達，學習了這些數的大小比較和運算，初步形成了運算技能，非負數的運算能力得到了較好的培養. 但是，在小學階段，學生沒有系統地從數的關系的角度理解這些數的代數結構和序結構，缺乏對數的大小關系和運算意義的系統理解. 而且，缺乏負數參與的運算，是不完整的初等運算，無論是對學生今后的進一步學習還是解決現實問題，都是不完整的.

1. 有理數內容中數學核心素養的具體表現

在有理數內容中，蘊含著“會用數學的眼光觀察現實世界”“會用數學的思維思考現實世界”“會數學的語言表達現實世界”的數學核心素養發展價值.

（1）用數學的眼光觀察現實世界.

《標準》中，數學眼光主要表現為：抽象能力、幾何直觀、空間觀念與創新意識. 有理數內容中的數學抽象具體表現在如下幾個方面. ① 從現實中相反意義的量的情境中抽象出負數并用符號表示，從數學減法運算的封閉性角度理解負數的意義，擴大數集，類比自然數的研究提出研究的問題，規劃整體研究框架；② 能基于從自然數到正分數到負數的發展，抽象出在直線上表示有理數的關鍵操作——規定直線的原點、正方向和單位長度，初步建立數與形的聯系，建立幾何直觀；③ 能基于從數系擴充中減法運算封閉性的需要抽象出相反數的概念，體會引入負數的創新性，能基于現實情境中相反意義的量中既有“正負極性”又有“量值大小”的屬性，分離出數量的“量值”，抽象出絕對值的概念，并能借助數軸表達相反數和絕對值的意義，理解數系擴充前后數集中數的區別和聯系；④ 能基于小學階段學習過的非負數的大小比較和運算法則，通過類比和歸納抽象出有理數的大小比較和運算法則，抽象出有理數的運算律和算法，理解運算的邏輯一致性；⑤ 能抽象有理數的研究框架，理解數系擴充的步驟和方法，整理有理數的知識結構體系.

（2）用數學的思維思考現實世界.

《標準》中，數學思維主要表現為：運算能力和推理能力. 在有理數內容中，除了在概念、運算法則、運算律等抽象過程中蘊含著類比與歸納推理活動外，主要表現是運算能力. 有理數運算是代數式、方程、不等式等運算的基礎，也是今后進一步學習各種符號運算的基礎，是初中階段運算能力培養的關鍵節點. 因此，在有理數內容的教學中，需要重點培養學生的運算能力. 這種運算能力培養的要求是：通過明晰運算對象和運算意義，理解算法與算理的關系，理解運算律的意義，合理選擇算法進行運算等活動，讓學生能正確地算，能依據算理進行合理運算，能選擇適當的算法優化運算過程，即會正確地算，能合理地算，能靈活地算. 通過這種合理、正確的運算，發展學生的運算能力和推理能力.

（3）用數學的語言表達現實世界.

在有理數內容中，用數學的語言表達現實世界，除了《標準》所表述的“模型觀念”外，更多地表現為用語言表達有理數的有關概念、大小比較法則、運算法則、運算律，用數學符號表達運算律，借助數軸直觀地表示有理數及其大小關系和運算. 例如，在數軸上表示有理數，借助數軸表示相反數與絕對值的意義，借助數軸上點的平移的復合表示有理數的加法運算，借助數軸上點的中心對稱表示相反數之間的關系，借助數軸上點的旋轉表示（-1） × （-1） = 1（如圖1，這與今后虛數運算的幾何表示具有一致性），等等. 至于有理數運算的模型觀念，則更多地體現在用有理數的運算表達和解決現實情境中的簡單問題的活動中.

2. 有理數內容的教學建議

第一，基于一般觀念引領的有理數整體研究框架系統設計教學活動，融合發展學生的數學核心素養. 基于數學的整體性，進行“單元-課時”整體教學設計，類比自然數的研究框架，引導學生規劃有理數的研究框架. 基于研究框架，設計發展數學核心素養的數學活動，整體、協調、有側重地在課堂中發展學生的數學核心素養，用整體框架融合設計“用數學的眼光觀察現實世界”“用數學的思維思考現實世界”“用數學的語言表達現實世界”等活動. 這種研究框架，包括研究內容、研究思路和研究方法.

研究內容：有理數的性質（大小比較）、運算與運算律；

研究思路：引入—定義、表示、分類—性質—運算與運算律—應用；

研究方法：從特殊到一般，歸納、抽象概念、法則和運算.

第二，基于整體研究框架，在分課時教學中設計觀察、想象和抽象活動，發展學生的抽象能力，引導學生用數學的眼光觀察現實世界. 例如，在章起始課教學中，設計基于現實中相反意義量的情境和減法運算封閉性的需要引入負數，類比自然數和分數的研究設計有理數的研究框架，提出有理數研究的主題：大小比較，運算和運算律. 在后續分課時教學中，注意從現實情境和數學內在發展的邏輯出發提出問題，抽象有理數、數軸、相反數、絕對值等概念，以及大小比較法則、運算法則和運算律；通過反思和總結抽象“依據運算法則、運算律和算法進行運算”的傳遞性演繹推理方法，再次抽象有理數的研究框架. 在抽象有理數的相關概念時，要注重結合實際情境和數學情境（如負數的引入），注重類比（如類比非負數的大小比較抽象有理數的大小比較法則，類比非負數的逆運算抽象有理數的減法和除法運算法則等）、歸納（如歸納有理數的加法和乘法運算法則，歸納運算律等），注重從系統角度整理有理數知識的發生發展邏輯，抽象結構化的知識體系并用知識結構圖表示，抽象數域擴充的研究框架和基本思想.

第三，依據整體研究框架，有側重、系統有序地發展學生的數學運算能力. 有理數運算能力的培養，首先，要讓學生理解有理數的意義——反映“正負極性”和“量值”的正、負數，還有基準0.“極性”用正負號表示，量值用絕對值表示，所以決定一個有理數的要素是正負號和絕對值. 因此，在研究有理數的運算法則時，需要研究“兩個有理數的符號和絕對值變化”導致作為運算結果的“有理數的符號與絕對值的不變性和變化規律”的關聯性，需要從符號和絕對值兩個方面進行歸納. 對于運算律的研究也類似，需要檢驗符號和絕對值不同的有理數的加法和乘法運算中表現出的不變性質——運算律. 其次，在運算過程中，要引導學生明確運算對象，分析運算類型，依據運算法則和運算律進行正確運算的活動，學會有邏輯地運算. 再次，讓學生經歷依據運算意義、運算律選擇簡便方法運算的過程，學會優化算法，發展思維的靈活性. 最后，對于有理數的運算訓練，應該遵循從簡單到復雜、分階段鞏固、逐步發展的原則.

第四，依據整體研究框架，重視有理數的概念、法則的語言和符號表達，學會用有理數的運算解決簡單的實際問題，發展模型觀念和應用意識.

三、從有理數到實數的邏輯建構

從有理數到實數的邏輯建構，始于畢達哥拉斯的門徒西帕索斯（Hippasus）發現的不可公度，這引發了第一次數學危機. 歐多克斯（Eudoxus）用逼近法解決問題后，重建了數的有關理論. 到了19世紀，為了把微積分嚴格化，數學家發現，作為數學的基礎，對實數的認識，特別是對實數的連續性（也稱完備性）的認識還存在重大的邏輯缺陷. 經過戴德金、柯西、魏爾斯特拉斯、康托爾等人的努力，解決了實數的完備性，給出了實數完備性的六個等價定理. 從自然數到整數再到有理數的擴充，主要為了使減法運算和除法運算封閉. 從有理數到實數的擴充，不是為了解決代數運算的封閉性問題，而是為了實現極限運算的封閉性，是從離散到連續的發展，重點研究實數的完備性.

四、實數內容中數學核心素養的表現與教學建議

1. 實數內容中數學核心素養的具體表現

在初中數學課程中，實數內容的建構主要是引入無理數，認識無理數的意義，介紹實數的概念與分類、實數的大小比較、實數與數軸上的點的一一對應關系、實數的運算與運算律. 實際上，重點是在理解有理數的代數結構、序結構的基礎上進一步了解實數的完備性. 考慮到學生認知水平和知識經驗的限制，通過求平方根運算和求立方根運算引入無理數，通過計算理解其是無限不循環小數，然后類比有理數介紹實數的分類、相反數、絕對值，以及實數與數軸上的點的一一對應關系（反映實數的完備性）. 因此，在實數內容中，蘊含著抽象平方運算，抽象平方根、算術平方根、立方根的概念，從求算術平方根的運算中引入開不盡方的無理數，抽象無理數與實數的概念，類比有理數抽象實數的研究框架，類比有理數的相反數、絕對值抽象實數的相反數、絕對值的概念，類比有理數的大小比較抽象實數的大小比較法則. 這些都是抽象能力的具體體現.

實數中的運算能力主要體現為借助有理數估計無理數的大小，對實數進行近似運算. 還有，在平方根和立方根的內容中，運算能力主要體現為理解乘方運算與開方運算的關系，能利用平方運算求平方根和算術平方根，能用立方運算求立方根，以及二次根式的化簡和運算.

類似于有理數，實數及其運算在現實生活中也有廣泛的應用. 因此，用實數運算表示和解決簡單的實際問題，是實數內容的應用價值. 在這一過程中蘊含著發展模型觀念和應用意識的育人價值.

2. 實數內容的教學建議

在實數內容的教學中，首先要設計適當的教學活動抽象平方根、算術平方根、立方根等概念，引入諸如[2，π]等無限不循環小數，然后通過引入無理數，類比有理數的研究框架，設計實數的研究思路. 其次，依據研究框架研究實數，利用數軸直觀地理解實數的完備性（連續性）：在整數基礎上引入分數，是加密數，但是離散的；繼續引入無理數加密，填滿數軸，就建立了實數與數軸上的點的一一對應關系，如圖2所示.

無理數可以看作有理數序列的極限點. 因此，用有理數來估計無理數的大小，是理解無理數大小的需要. 教學中要重視用有理數估計無理數的大小. 基于這種估計，比較兩個實數的大小，進行實數的近似運算. 因此，要重視用有理數估計無理數大小的教學.

數系擴充在數學發展中具有重要意義，有理數和實數內容也是學生進一步學習代數知識的重要基礎. 教學中，教師要引導學生系統回顧和總結數系擴充的歷程，抽象數系擴充的基本思想和研究框架.

參考文獻：

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