基于Canonical最小二乘蒙特卡羅法的可轉(zhuǎn)債定價(jià)

摘要：區(qū)別于傳統(tǒng)的最小二乘蒙特卡羅方法，本文利用標(biāo)的資產(chǎn)收益率生成Canonical風(fēng)險(xiǎn)中性概率計(jì)算累計(jì)概率分布函數(shù)進(jìn)行抽樣，以此生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的蒙特卡羅路徑。同時(shí)，運(yùn)用平賭過(guò)程適配法對(duì)蒙特卡羅模擬進(jìn)行改進(jìn)，以提高模型的收斂速度并降低其誤差。針對(duì)可轉(zhuǎn)債的特殊條款，本文按照市場(chǎng)慣例及邏輯，將回售條款與下修條款結(jié)合處理，以提高模型的可行性和運(yùn)算效率。最后，使用傳統(tǒng)的參數(shù)化方法進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)方法的模擬路徑比傳統(tǒng)方法更能體現(xiàn)標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)特性，定價(jià)結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)的參數(shù)化方法。

關(guān)鍵詞：可轉(zhuǎn)債定價(jià) 最小二乘蒙特卡羅 Canonical風(fēng)險(xiǎn)中性概率 平賭過(guò)程適配法

研究綜述

已有研究采用不同方法就可轉(zhuǎn)債定價(jià)問(wèn)題展開(kāi)分析。蔣殿春、張新（2001）指出，可轉(zhuǎn)債中各個(gè)條款是有機(jī)結(jié)合的，各部分進(jìn)行估值并加總的方法往往不可行。Longstaff等（2001）利用最小二乘回歸法來(lái)估計(jì)期權(quán)持有人繼續(xù)持有期權(quán)的模擬條件預(yù)期收益從而得到最小二乘蒙特卡羅估計(jì)（LSM）。LSM不僅能充分考慮可轉(zhuǎn)債中不同期權(quán)條款之間、期權(quán)價(jià)值與債券價(jià)值之間的相互影響，還能有效克服因步長(zhǎng)太短而帶來(lái)的計(jì)算量呈幾何級(jí)數(shù)增加的缺陷。Duan等（1998）在既往研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了簡(jiǎn)單修改，得到平賭過(guò)程適配（Empirical Martingale Simulation，EMS）法。該修改能將鞅屬性施加于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的模擬路徑，保證模擬出來(lái)的期權(quán)價(jià)格滿足期權(quán)定價(jià)邊界，并能提高蒙特卡羅模擬的運(yùn)算效率及降低誤差。余喜生（2012）提出了一種去參數(shù)化的最小二乘蒙特卡羅法——基于期權(quán)價(jià)格信息約束矩的Canonical最小二乘蒙特卡羅法。該方法是去參數(shù)化、去模型化的，在一定程度上避免了參數(shù)估計(jì)可能導(dǎo)致的誤差，并且其信息是從真實(shí)市場(chǎng)中提取的，所以結(jié)果也能更貼近當(dāng)前市場(chǎng)狀況，從而克服傳統(tǒng)參數(shù)化方法的局限性。鄭振龍、林海（2004）認(rèn)為，公司只有在面臨回售壓力時(shí)才會(huì)選擇下修轉(zhuǎn)股價(jià)，且下修后的轉(zhuǎn)股價(jià)也僅以使可轉(zhuǎn)債價(jià)值略超過(guò)回售價(jià)格為標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)橄滦揶D(zhuǎn)股價(jià)會(huì)增加投資者行使轉(zhuǎn)股權(quán)的概率，從而可能稀釋公司原有股東的股權(quán)，使其利益受損。錢(qián)波瑋（2018）則認(rèn)為，修正后的轉(zhuǎn)股價(jià)應(yīng)在不觸發(fā)回售條款的基礎(chǔ)上盡可能地接近下修條款的觸發(fā)價(jià)，下修條款對(duì)可轉(zhuǎn)債的價(jià)格及轉(zhuǎn)股概率沒(méi)有顯著影響。

模型設(shè)計(jì)

（一）生成標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑

不同于傳統(tǒng)的參數(shù)化方法，本文采用去參數(shù)化（或去模型化，model-free）的方法，從市場(chǎng)上觀測(cè)真實(shí)有效信息，利用熵最大化原理，提高風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)測(cè)度準(zhǔn)確性。

假設(shè)可轉(zhuǎn)債到期期限為T(mén)，股票現(xiàn)價(jià)為S0，在T時(shí)點(diǎn)的股票價(jià)格為ST。股票收益率的實(shí)際概率為π，其等價(jià)概率測(cè)度為π*，Radon-

Nykodym的導(dǎo)數(shù)為。若將問(wèn)題離散化，則離散時(shí)點(diǎn)t時(shí)的紅利為D（t），時(shí)點(diǎn)t到時(shí)點(diǎn)t+1的利率為r（t）。則根據(jù)Stutzer（1996）可得：

（1）

若股票不分紅，即，股票收益率

，易知N個(gè)收益率之間彼此獨(dú)立，即，其中，則對(duì)于式（1）有：

（2）

根據(jù)Shannon熵最大化原理，可求得風(fēng)險(xiǎn)中性概率：

（3）

其中γ*是拉格朗日乘子，其計(jì)算公式如式（4）：

（4）

上述即Canonical風(fēng)險(xiǎn)中性概率。

首先，可以通過(guò)上述Canonical風(fēng)險(xiǎn)中性概率，生成股票收益率的累計(jì)概率分布函數(shù)，同時(shí)采用逆變換采樣對(duì)股票收益率進(jìn)行隨機(jī)抽取，即可生成維度為m×n的收益率矩陣Rm×n，其中m為蒙特卡羅模擬的路徑數(shù)，n為每條路徑上的節(jié)點(diǎn)數(shù)。根據(jù)Duan等（1998），為了提高蒙特卡羅模擬的運(yùn)算效率和降低誤差，可以在所生成的標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅路徑上對(duì)其施加鞅屬性，具體做法為：

（5）

式（5）中為標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅法模擬出來(lái)的第m條路徑上第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格，為經(jīng)過(guò)EMS法處理后的第m條路徑上第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格，令和等于當(dāng)前時(shí)刻股票價(jià)格S0。具體來(lái)說(shuō)，首先，可作為n-1時(shí)刻到n時(shí)刻

的收益率，因此可以用來(lái)產(chǎn)生一個(gè)在n時(shí)刻暫時(shí)的股價(jià)。其次，將n時(shí)刻所有路徑上所求得的暫時(shí)股價(jià)求平均并貼現(xiàn)到當(dāng)前時(shí)刻，稱之為。最后，可以通過(guò)公式求得經(jīng)EMS法

處理后的第m條路徑上第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格。

重復(fù)上述過(guò)程，便可將整個(gè)標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅路徑鞅化。如表1所示，與標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅法相比，EMS法降低了股價(jià)的方差，避免了極端情況的產(chǎn)生，有效降低了蒙特卡羅模擬的誤差，顯著提高了算法的收斂速度，使結(jié)果更為準(zhǔn)確。

（二）可轉(zhuǎn)債的邊界條件分析

在生成蒙特卡羅路徑后，需要對(duì)各個(gè)路徑進(jìn)行處理，以求出可轉(zhuǎn)債價(jià)格的理論值。本文按以下順序進(jìn)行條款的處理：第一，對(duì)所有蒙特卡羅路徑進(jìn)行檢查，找出觸發(fā)回售條款的路徑，將這些路徑的轉(zhuǎn)股價(jià)格進(jìn)行下修，下修后的轉(zhuǎn)股價(jià)格應(yīng)等于下修條款的觸發(fā)價(jià)。第二，找出并修正觸發(fā)了回售條款和下修條款的路徑。第三，找出觸發(fā)贖回條款的路徑（設(shè)共有p條），令其在觸發(fā)時(shí)點(diǎn)以規(guī)定轉(zhuǎn)股價(jià)進(jìn)行轉(zhuǎn)股，并將轉(zhuǎn)股價(jià)值折回原點(diǎn)。需要注意的是，此時(shí)的轉(zhuǎn)股價(jià)可能是經(jīng)過(guò)處理的。記第m條觸發(fā)贖回條款的路徑價(jià)值為：

（6）

式（6）中F為可轉(zhuǎn)債面值，為第m條路徑第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)股價(jià)格，為第m條路徑第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的正股價(jià)格，且m=1， 2， … ， p。

處理完上述特殊條款后，便只剩下轉(zhuǎn)股條款。設(shè)共有q條路徑未觸發(fā)上述特殊條款，對(duì)其利用最小二乘蒙特卡羅法即可處理。

使用最小二乘蒙特卡羅法的關(guān)鍵是利用LSM來(lái)估計(jì)持有人繼續(xù)持有期權(quán)的條件預(yù)期收益，并與執(zhí)行轉(zhuǎn)股后的價(jià)值進(jìn)行比較。若執(zhí)行轉(zhuǎn)股后的價(jià)值大于繼續(xù)持有可轉(zhuǎn)債的價(jià)值，則投資者會(huì)選擇轉(zhuǎn)股；反之，投資者會(huì)選擇繼續(xù)持有可轉(zhuǎn)債。將所有路徑的可轉(zhuǎn)債價(jià)值貼現(xiàn)到原點(diǎn)，便是除去回售條款、下修條款、贖回條款這三個(gè)特殊附加條款的路徑后，剩余路徑的可轉(zhuǎn)債價(jià)值記為：

（7）

其中m=1， 2， … ， q。

在經(jīng)過(guò)對(duì)回售條款和下修條款的處理后，m條蒙特卡羅路徑可分為兩類：一類是觸發(fā)了贖回條款的路徑（共p條），另一類是剩下的可能觸發(fā)轉(zhuǎn)股條款的路徑（共q條），M=p+q。

其中，p條觸發(fā)了贖回條款的路徑價(jià)值為， m=1， 2， … ， p；q條可能觸發(fā)轉(zhuǎn)股條款的路徑價(jià)值為，m=1， 2， … ， q。因?yàn)槁窂揭咽秋L(fēng)險(xiǎn)中性的，所以由蒙特卡羅法的基本原理可知，可轉(zhuǎn)債價(jià)值Vcb為：

（8）

實(shí)證對(duì)比分析

本文選取已在滬深交易所上市、期限小于等于5年、已到期且信用等級(jí)為AAA的可轉(zhuǎn)債作為樣本，共15只。回售條款、下修條款、贖回條款如表2所示，觸發(fā)轉(zhuǎn)股條件表示為連續(xù)t1個(gè)交易日內(nèi)有t2個(gè)交易日正股價(jià)格低于轉(zhuǎn)股價(jià)的k%。

（一）Canonical最小二乘蒙特卡羅法定價(jià)的實(shí)證結(jié)果

本文實(shí)證所選取的期限為各樣本可轉(zhuǎn)債自身的期限，即從可轉(zhuǎn)債上市日t=0至到期日t=T，因此以下實(shí)證所求理論價(jià)值為可轉(zhuǎn)債上市首日價(jià)值。本文無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率數(shù)據(jù)從國(guó)泰安數(shù)據(jù)庫(kù)（CSMAR）獲得，針對(duì)股票收益率選取的步長(zhǎng)τ為1天，各樣本股票收益率將在其可轉(zhuǎn)債期限內(nèi)選取。同時(shí)，本文將蒙特卡羅模擬的路徑數(shù)m選取為1萬(wàn)次。根據(jù)式（3）所介紹的Shannon熵最大化原理可求得風(fēng)險(xiǎn)中性概率，其中拉格朗日乘子γ*采取遍歷搜尋法求得，通過(guò)γ*求得風(fēng)險(xiǎn)中性概率后，便可根據(jù)生成其累計(jì)概率分布函數(shù)，最后，通過(guò)逆變換采樣法對(duì)上述累計(jì)概率分布函數(shù)進(jìn)行隨機(jī)抽取，即可得到一系列滿足風(fēng)險(xiǎn)中性要求的股票收益率Ri。由此，第m條路徑上第n個(gè)節(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格便可求出：

（9）

其中，n=1， 2， … ， N，m=1， 2， … ， M。

各個(gè)樣本的n如表2（步長(zhǎng)τ為1天）所示，m均為1萬(wàn)次。最后，為了提高其運(yùn)算效率及降低算法誤差，再根據(jù)式5介紹的EMS法對(duì)所生成的蒙特卡羅路徑進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后價(jià)格路徑穩(wěn)定性提高，極值、方差大幅降低，這對(duì)計(jì)算精度的提高有很大的幫助。因此，下面對(duì)邊界條件的處理將基于經(jīng)EMS法調(diào)整后的股票價(jià)格進(jìn)行。

第一步：處理下修條款以及回售條款。對(duì)所有蒙特卡羅路徑進(jìn)行檢查，找出觸發(fā)回售條款的路徑，將這些路徑的轉(zhuǎn)股價(jià)格進(jìn)行向下修正，下修后的轉(zhuǎn)股價(jià)格應(yīng)等于下修條款的觸發(fā)價(jià)，即：

（10）

其中，為下修后的轉(zhuǎn)股價(jià)格，d為下修邊界，根據(jù)表2所列示情況，可選擇為90%。值得注意的是，一條路徑上的轉(zhuǎn)股價(jià)可以有多次下修，具體取決于股價(jià)的走勢(shì)。

第二步：處理贖回條款。再次對(duì)所有路徑進(jìn)行檢查，找出觸發(fā)贖回條款的路徑，設(shè)共有p條，并令其在觸發(fā)時(shí)點(diǎn)以對(duì)應(yīng)時(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)股價(jià)進(jìn)行轉(zhuǎn)股，則該路徑的價(jià)值即為貼現(xiàn)回原點(diǎn)的該時(shí)刻轉(zhuǎn)股價(jià)值。記第m條觸發(fā)贖回條款的路徑價(jià)值為：

，m=1， 2， … ， p

則所有觸發(fā)贖回條款的路徑價(jià)值亦即可轉(zhuǎn)債的特殊條款價(jià)值為。

第三步：處理轉(zhuǎn)股條款。假設(shè)除去上述觸發(fā)贖回條款的p條路徑后共剩下q條路徑，利用式（7）、式（8）的最小二乘蒙特卡羅法對(duì)其進(jìn)行處理，即可得到轉(zhuǎn)股條款的價(jià)值。記第m條路徑的價(jià)值為，則可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)股條款價(jià)值為。根據(jù)式（8）可計(jì)算首日可轉(zhuǎn)債價(jià)值與首日收盤(pán)價(jià)，二者

對(duì)比如表3所示。

從相對(duì)誤差（以下簡(jiǎn)稱“誤差”）可見(jiàn)，使用基于Canonical最小二乘蒙特卡羅法對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)較為合理，所選樣本的定價(jià)平均誤差為15.06%，有近半數(shù)的樣本券定價(jià)誤差在10%以下，有三分之一的樣本券定價(jià)誤差在5%以下，最小誤差只有2.45%，誤差超過(guò)30%的僅有4個(gè)樣本，占總樣本數(shù)的26.67%。

（二）對(duì)比實(shí)驗(yàn)的定價(jià)結(jié)果

對(duì)比實(shí)驗(yàn)將采取參數(shù)化方法，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其離散形式為：

（11）

其中，μ為標(biāo)的資產(chǎn)收益率，且在風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)下μ等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；ε為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)；?t為間隔時(shí)間；σ為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率，用于衡量股票收益率的不確定性，由于可轉(zhuǎn)債在上市前正股沒(méi)有對(duì)應(yīng)的衍生工具，因此無(wú)法獲得隱含波動(dòng)率，故根據(jù)所選樣本正股的歷史數(shù)據(jù)求得波動(dòng)率σ，帶入式（11）生成m=1萬(wàn)條的蒙特卡羅股價(jià)模擬路徑。

第一步：處理下修條款與回售條款。對(duì)所有蒙特卡羅路徑進(jìn)行檢查，找出觸發(fā)回售條款的路徑，將這些路徑對(duì)應(yīng)時(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)股價(jià)格進(jìn)行下修，并令下修后的轉(zhuǎn)股價(jià)格等于下修條款的觸發(fā)價(jià)（見(jiàn)表4）。

第二步：處理贖回條款。再次對(duì)所有路徑進(jìn)行檢查，找出觸發(fā)贖回條款的路徑，設(shè)共有p條，并令其在觸發(fā)的時(shí)點(diǎn)以對(duì)應(yīng)時(shí)點(diǎn)的轉(zhuǎn)股價(jià)進(jìn)行轉(zhuǎn)股，則該路徑的價(jià)值即為貼現(xiàn)回原點(diǎn)的該時(shí)刻的轉(zhuǎn)股價(jià)值，m表示第m條路徑（m=1， 2， …， p）。所有觸發(fā)贖回條款的路徑價(jià)值亦即可轉(zhuǎn)債的特殊條款價(jià)值為。

第三步：處理轉(zhuǎn)股條款。假設(shè)除去上述觸發(fā)贖回條款的p條路徑后共剩下q條路徑，利用最小二乘蒙特卡羅法對(duì)其處理即可得到轉(zhuǎn)股條款的價(jià)值，記第m條路徑的價(jià)值為，則可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)股條款價(jià)值為。相關(guān)計(jì)算結(jié)果如表5所示。

（三）兩種方法定價(jià)結(jié)果比較

使用基于參數(shù)法的最小二乘蒙特卡羅模擬（以下簡(jiǎn)稱“參數(shù)法”）對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)的平均誤差（17.52%）與使用Canonical最小二乘蒙特卡羅法（以下簡(jiǎn)稱“Canonical法”）進(jìn)行定價(jià)的平均誤差（15.06%）相近，但是在模型的穩(wěn)健性上不如后者：第一，在參數(shù)法下，誤差小于等于10%的樣本有6個(gè)，平均誤差為6.19%；在Canonical法下，誤差小于等于10%的樣本有7個(gè)，且平均誤差為4.25%。第二，在參數(shù)法下，誤差小于等于15%的樣本有7個(gè)；在Canonical法下，誤差小于等于15%的樣本有9個(gè)。第三，在參數(shù)法下，誤差小于等于20%的樣本有9個(gè)；在Canonical法下，誤差小于等于20%的樣本有11個(gè)。可見(jiàn)，在Canonical法下，低誤差的樣本數(shù)量更多。與此類似，對(duì)比表3和表5可知，Canonical法高誤差的樣本數(shù)量并未多于參數(shù)法對(duì)應(yīng)的數(shù)量。總體來(lái)看，Canonical法更為精確與穩(wěn)定。

使用Canonical法對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)的結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)的參數(shù)法，原因主要有三點(diǎn)：第一，Canonica法是基于抽取標(biāo)的資產(chǎn)歷史收益率來(lái)生成蒙特卡羅路徑的，相比簡(jiǎn)單假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，更能真實(shí)體現(xiàn)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格自身的運(yùn)動(dòng)特性。第二，傳統(tǒng)參數(shù)法需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，如幾何布朗運(yùn)動(dòng)中涉及的波動(dòng)率σ，因此必然要面對(duì)參數(shù)估計(jì)帶來(lái)的誤差等問(wèn)題； Canonical法則沒(méi)有這方面的顧慮。第三，參數(shù)法必須要假設(shè)一些參數(shù)化模型，比如假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，這就會(huì)面臨一些諸如模型設(shè)計(jì)不準(zhǔn)確的問(wèn)題，如真實(shí)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是否真的服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，如果不是則會(huì)產(chǎn)生誤差；反觀Canonical法，沒(méi)有設(shè)置任何參數(shù)化模型，從根源上避免了因模型設(shè)置偏差而導(dǎo)致的結(jié)果偏離。

結(jié)論

本文使用Canonical最小二乘蒙特卡羅法為可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)，區(qū)別于傳統(tǒng)假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的參數(shù)法，本文創(chuàng)新性地使用真實(shí)市場(chǎng)收益率數(shù)據(jù)生成Canonical風(fēng)險(xiǎn)中性概率，并進(jìn)一步隨機(jī)抽樣生成符合風(fēng)險(xiǎn)中性的股票價(jià)格路徑，從而避免了傳統(tǒng)方法帶來(lái)的參數(shù)估計(jì)誤差以及模型設(shè)置偏誤等問(wèn)題。并且，利用股票自身的收益率生成股票價(jià)格的蒙特卡羅模擬路徑，能夠更加真實(shí)地體現(xiàn)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格自身的運(yùn)動(dòng)特性，從而使定價(jià)更為準(zhǔn)確。其中，創(chuàng)新性地使用了EMS法對(duì)所生成的蒙特卡羅路徑進(jìn)行改進(jìn)，該過(guò)程在所生成的標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡羅路徑上對(duì)其施加鞅屬性，顯著提高了蒙特卡羅算法的收斂速度并且降低了誤差。

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