一道教材習題引發的深度學習

熊 利

? 湖北省武漢市楊園學校

1 深度學習

深度學習是課程改革以來對課程理解和課堂實踐的深化,它既是一種理念也是一種實踐指導策略.深度學習是指在教師引領下,學生圍繞著具有挑戰性的學習主題,全身心積極參與,體驗成功,獲得發展的有意義的學習過程.數學學習過程是學生圍繞學習內容展開的活動過程,初中數學深度學習的特點是學生能夠全身心投入具有挑戰性的富有思維含量的學習活動.

筆者在一節習題課中設計了三個具有挑戰性的學習活動:一是發現習題的多個不同的證明方法;二是通過不同證明方法的對比,發現并確認題中多余的條件;三是將多余條件結論化,進而探求習題的結構.三個學習活動銜接自然,過程流暢,思維含量一個比一個高,逐步將課堂學習活動推向高潮.整節課學生自主、自發地參與到課堂學習活動中來,不斷體驗到發現和證明出結論帶來的快樂,這也正是深度學習理念指導下的課堂實踐的最好展現.

2 教學紀實

2.1 展示習題,指明目標

教師:很多時候我們只顧埋頭做題,一題做完緊接下一題,很少停下腳步去深入研究一道題,今天老師帶領大家對課本上一道習題進行深入探究,希望大家從中能有所收獲.(展示習題)本節課我們只研究這一道題,請大家開動腦筋積極思考.

題目(人民教育出版社八年級數學上冊第25頁習題第10題)如圖1,六邊形ABCDEF的內角都相等,∠DAB=60°,AB與DE有怎樣的位置關系?BC與EF有這種位置關系嗎?這些結論是怎樣得出的?

圖1

教師:做完的同學寫一下過程,然后再看看整道題,你有沒有什么發現?沒做出來的同學,盡可能地算出圖中所有的角,并給出證明.

過程回顧:首先指明這節課的目標是對一道題進行深入研究.讓學生用不同的方法解答,激發學生的探究欲,同時,希望學生通過各種不同方法的對比,發現“∠DAB=60°”是多余條件,讓接下來的學習過程銜接更自然.

2.2 一題多解,拓寬思路

教師:老師已經看到了不同的證明方法,大家開動腦筋,用盡可能多的方法來證明你的結論.

教師:會做這道題的同學請舉手.好,有超過一半的同學舉手了.請一位同學說一下你的證明過程.

學生1:AB∥DE,且BC∥EF.

證明：由∠DAB=60°,得∠FAD=∠DAB=60°.由∠E+∠F+∠FAD+∠EDA=360°,且∠E=∠F=120°,可知∠EDA=60°,所以∠EDA=∠DAB,故AB∥DE.又∠F+∠FAD=∠B+∠DAB=180°,所以EF∥AD,BC∥AD,于是BC∥EF.

教師:對于DE∥AB,同學們還有其他證明方法嗎?

學生2:如圖2,過點F作FH∥ED.由∠1+∠E=180°,得∠1=60°,則∠2=120°-∠1=60°,所以∠2+∠FAB=180°,所以FH∥AB.故DE∥AB.

學生3:如圖3,延長EF,和BA的延長線交于點H.

圖3

由∠1=180°-∠EFA=60°,∠2=180°-∠FAB=60°,又∠H+∠1+∠2=180°,得∠H=60°,所以∠E+∠H=180°,故DE∥AB.

學生4:如圖4,連接AE.由∠1+∠2+∠F+∠3+∠4=360°,∠1+∠F+∠3=180°,可知∠2+∠4=180°,所以DE∥AB.

圖4

教師:對于DE∥AB,同學們給出了四種不同的證明方法,大家再觀察一下,看你有沒有什么發現?

學生5:除了第一種方法,其余三種都作了輔助線.

學生6:后三種方法都沒有用到“∠DAB=60°”這個條件.

教師:這兩個同學的證明方法都很好!請問條件“∠DAB=60°”能否去掉?

過程回顧:讓學生盡情展示,在一個個證明方法中逐漸打開思路,過程自然流暢,學生都沉浸在思維的海洋里.

2.3 導向深入,抓住關鍵

學生7:從做題過程來看,條件“∠DAB=60°”可以去掉.DA這條線段也可以去掉.

教師:那為什么題目要多給條件呢?

(學生7沉默不語,課堂陷入沉默.)

教師:此題是“11.3多邊形及其內角和”的一道習題,主要考查靈活運用多邊形內角和公式解決問題的能力.題目多給條件,一是為了讓大家往計算角這個方向思考,二是給大家留出探索發現的空間,這也是此題放在“拓廣探索”欄目中的原因.

教師:經過大家的思考探索,可以把題目簡化為“凸六邊形ABCDEF的內角都相等,求證:DE∥AB”.

學生8:老師,我又發現了新的證明方法.不用“∠DAB=60°”這個條件,連DA就可以證明.

教師:好的,你先不說過程,讓大家思考一下,這樣可不可以證明?

學生8:如圖5,因為∠2+∠3+∠E+∠F=360°,所以∠2+∠3=120°.

圖5

又∠1+∠2=120°,所以∠1=∠3.故DE∥AB.

教師:非常好,過程清楚,思路明確.要證明平行,但沒有截線,連DA后就有了截線,產生內錯角,證內錯角相等.大家回顧一下,以上幾種證明方法有沒有共同點?解答這題的關鍵是什么?

學生9:課本原題除學生1的證法外,其余證明方法都作了輔助線,作輔助線后才產生了截線,所以這道題的關鍵是要有截線.

教師:學生9總結得很好.大家能否歸納一下作截線的方法?

學生10:作截線有三種方式,即連接、延長和作平行線.

過程回顧:通過教師的引導、學生的積極參與,證明思路越來越清晰,最后點出了證明平行的關鍵是找截線,并歸納了作截線的三種方法.

2.4 拋出問題,探索結構

教師:既然條件“∠DAB=60°”是多余的,老師有一個想法,能否把它放到結論中,也就是由每個內角都相等能否得到∠DAB=60°.題目改編如下:

如圖6,六邊形ABCDEF的內角都相等,∠DAB是否等于60°?給出你的判斷并說明理由.

圖6

教師:要解決上面這個問題,我們先解決另外一個問題,題中的六邊形是否是正六邊形?

(課堂陷入沉默,一分鐘后有學生舉手.)

學生11:不一定是正六邊形,可以將BC邊向上平移,如圖7,如果原圖是正六邊形,則平移后的圖形就不是.

圖7

教師:學生11舉出的反例很好地解釋了原圖不一定是正六邊形,通過平移邊,在不改變角度大小的情況下,改變了邊長.下面回到∠DAB是否等于60°這個問題上來,大家還同意∠DAB=60°嗎?

學生12:不一定是60°,將BA向上平移,∠DAB的度數會變小.

教師:你是如何判斷∠DAB變小的?

學生12沉默,學生13舉手.

學生13:如圖8,由AB∥GH,得∠DAB=∠2.又∠2>∠1,所以∠DAB>∠1.故向上平移∠DAB會變小.

圖8

教師:非常好!通過兩位同學的分析,我們可以看到∠DAB的度數不是一個確定的值,那“六個內角都相等”這個條件能確定什么?不能確定什么?

學生14:可以確定DE∥AB,不能確定∠DAB.

學生15:還可以確定EF∥BC,還有CD∥AF.

教師:也就是可以確定六邊形正對著的三組邊平行,但不能確定六邊形的邊長,如果大家能夠看到這一層,那這個圖形在你眼里就是可以變化的,很多問題就可迎刃而解.

過程回顧:通過將多余的條件結論化,來探索試題的結構,將此題的研究進一步推向深入.拋出問題“六個角相等的六邊形是否為正六邊形”,為問題的解決指明了方向.

3 教學感悟

課本的一道普通習題,如果不去深入研究,可能十分鐘就講完了,但沉下心來研究一番,結果發現它是一座思維的寶庫.筆者并不想直接將這里的寶藏呈現給學生,而是一步步引領學生看到發現寶藏的過程,在這個過程中,讓學生逐步體會到解完題后,我們還能怎樣去思考,教會學生思考問題的方法,一同經歷一堂思維的盛宴.

教師能設計出具有挑戰性、富有思維含量的學習活動是學生在課堂上開展深度學習的必要條件.這就需要教師多研究試題,而研究試題中最有意義的事情是研究教材習題.只有教師的深度學習和研究才有可能促成學生深度學習的產生.Z