由一道題的典型錯解引發的教學思考

達娃央宗

摘要：文章通過對2022年西藏自治區初中學業水平考試中一道統計與概率題的答卷分析，整理學生用列表法或樹狀圖求概率時出現的典型錯解，深入剖析典型錯解背后的原因，結合發展學生數學核心素養對教學提出四點思考和建議．

關鍵詞：錯解分析;核心素養;教學建議

筆者在2022年西藏自治區初中學業水平考試閱卷中發現，不少學生用列舉法求概率時書寫不規范，暴露出部分學生推理能力、運算能力及數據觀念等數學核心素養不足的問題，筆者試對學生答題情況進行分析．

1 試題及簡析

試題 教育部在《大中小學勞動教育指導綱要（試行）》中明確要求：初中生每周課外生活和家庭生活中，勞動時間不少于3小時.某走讀制初級中學為了解學生勞動時間的情況，對學生進行了隨機抽樣調查，并將調查結果制成不完整的統計圖表，如表1和圖1.

請根據圖表信息，回答下列問題.

（1）參加此次調查的總人數是[CD#3]人，頻數統計表中a＝[CD#3]；

（2）在扇形統計圖中，D組所在扇形的圓心角度數是[CD#3]°；

（3）該校準備開展以“勞動美”為主題的教育活動，要從報名的2男2女中隨機挑選2人在活動中分享勞動心得，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

試題第（1）（2）問的解答略.對于第（3）問，可用列表法列出所有可能的結果，如表2所示.

用畫樹狀圖的方法列出所有可能的結果，如圖2所示.

由表2或樹狀圖可以看出，所有可能出現的結果共12種，這些結果出現的可能性相等，其中恰好抽到一男一女的結果有8種，所以

2 答題錯解及分析

閱卷時發現本題第（3）問的答案無奇不有，每一步都有典型的錯解.

2.1 列表時的三種典型錯解

（1）不標記序號.如表3，對不同的男女沒有用男1、男2、女1、女2來標記.出現這種錯誤是因為不理解“等可能事件”的意義，并且沒有在日常教學中養成規范書寫等可能事件的習慣.

（2）不能區分“放回”與“不放回”.如表4，答題時對“放回”與“不放回”混淆不清.其原因是不理解具體的“事件”，邏輯不嚴謹，或者審題不仔細等.

（3）列表不規范.有學生直接用列表法把幾種情況列出來（如表5），其原因是沒有掌握正確的列表方法.

2.2 畫樹狀圖時的三種典型錯解

（1）不做序號標記.如圖3，甲是男還是女，如果表示男，是男1還是男2，均未明確標注，這種表述不清晰、書寫不規范的問題，說明學生缺乏“用數學語言表達世界”的素養，缺乏用數學語言準確表達并傳遞信息的能力.

（2）重寫或漏寫.如圖4，有考生畫樹狀圖時出現重寫，這反映出部分學生沒有養成良好的解題習慣，解題不專注、不細心.

（3）不會畫樹狀圖.還有一些學生在畫樹狀圖時出現了圖5中的情況，說明這部分學生沒有理解等可能事件的意義，沒有理解樹狀圖的意義，因此不會畫樹狀圖.

2.3 求結果時的三種典型錯解

分析上述三類九種錯解可以發現，學生出現錯解主要有三個方面的原因：

（1）沒有掌握概率相關知識

不能區分“放回”與“不放回”，未能掌握列表和畫樹狀圖的正確方法，不能準確理解樹狀圖表示的結果.

（2）沒有養成良好的數學解題習慣

分析發現，幾乎每一種錯解中都出現了審題不仔細、書寫不規范、解題不專注等情況.

（3）基本計算能力有待提高

計算出現不約分、約分錯誤、約分與開方混淆等情況．

3 基于典型錯解的教學建議

根據上述典型錯解及原因分析，筆者提出以下四個方面的教學建議.

3.1 根據課程標準提高教學要求

2019年以前，概率題在西藏中考中常以選擇題的形式出現，考查“一步概率”，分值3分.自2019年起，概率題出現在主觀題中，“一步概率”向“兩步概率”轉型.2020年-2022年在解答題中考查用列表法或樹狀圖求“兩步概率”，分值4～5分，近五年概率在西藏中考中的考查情況見表6.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》對概率提出如下要求：能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定隨機事件發生的所有可能結果，了解隨機事件的概率［1］.因此，教師在教學中要立足課本與課程標準，明確教學目標、中考考點，提高教學要求，多解題，多分析，多總結，引導學生解決知識點掌握不牢的問題.

3.2 改善教學形式以落實教學目標

幫助學生理解“等可能事件”，幫助學生厘清“放回”與“不放回”，幫助學生理解列舉法并正確列表或畫樹狀圖，這些教學目標要落實好，建議基于“至簡數學”理念[2]充分設計，通過“改善學”“改善教”落實教學目標[3].

在課堂教學中有效落實教學目標，需要以教學活動為載體，通過積極的活動、體驗和感受持久地引導學生逐步實現.因此，課堂教學需打破固有的模式，改善教學的形式與內容，將數學知識融入活動中，讓學生在“做中學”“學中做”，努力變純粹的數學教學為豐富的數學活動.比如，讓學生做石頭剪刀布的游戲等.教學中把數學問題與實際生活結合起來，把問題放進相應的實際背景中，巧妙地設計動手操作實驗，放手給學生時間并創造條件讓學生經歷解題的整個過程，尤其是解題之后的反思，讓學生通過大量的實驗活動來感悟、體會，絕不能直接將結論告訴學生.

學生只有通過自身積極主動地參與活動，才能獲得體驗.教師必須通過適當的教學預設，引導學生積極體驗數學學習過程中的直覺、抽象和數學美等，而不是直接把自己的體驗灌輸給學生.

3.3 培養學生的數學學習習慣

初三下學期一位數學教師在一個實驗班做了一項“消除六害”的實驗.所謂“六害”，是指“看錯（題目中的條件）、抄錯（題目條件或解答過程中的符號或數字）、筆誤、答錯位置、漏寫單位、漏寫步驟”.一個月后，通過與對比班比較，發現學生的數學平均成績提高了7分.這樣的成績引起了同事的興趣.另一位教師從初一開始就注意培養學生良好的數學學習習慣，結果他班上的學生，無論是數學成績還是數學書寫、數學表達等基本素養，都明顯高于其他班級.這項實驗雖然只是個案，但足以說明培養學生良好數學學習習慣的重要性和其對提高學生數學素養的廣泛影響力.

求兩步概率，若題干中有“放回”或“不放回”的字眼，學生往往能夠分辨，難就難在沒有出現明顯的字眼時，學生就容易混淆“放回型”和“不放回型”，歸根到底問題出在學生的審題能力上.良好的審題能力是解決問題的前提，解題時不僅要讀懂字面上的含義，還要透過文字發掘其背后隱含的信息，這就需要學生有較好的閱讀理解能力.因此，作為數學教師，要格外注重提高學生的審題能力.

3.4 培養學生運算能力

學生計算能力不足在該題中再一次凸顯出來，因此培養學生數學運算能力迫在眉睫.

考試中學生常因計算失誤丟分，教師為此也下了不少苦功.我區學生數學基礎相對薄弱，更應注重學生數學運算能力的培養.筆者做了一個實驗，每節課利用前5分鐘，設置3至5道基礎計算題小測，一個原本在年級7個班里均分墊底的班級，經過一個學期的訓練后，均分提升了近10分，躍居全年級均分第二名.由此可見，計算能力的訓練對于基礎薄弱的學生來說影響是顯著的.因此，筆者認為數學運算素養的培養要常抓不懈．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］鄧凱，張青.由一節公開課管窺“至簡數學”的基本理念[J].中學數學，2021（10）：10-13.

［3］鄧凱.“至簡數學”教學設計的基本框架[J].中學數學，2023（6）：7-9.