用尺規作角：基于學生理解的探究教學的實踐思考

趙徐敏

［摘? 要］ “用尺規作角”是一節頗有趣味性和挑戰性的探究課. 文章旨在基于學生理解找準教學起點，設計量身打造的探究路徑，并在逐步優化中獲得作圖方法，從而提升學生的數學思維能力和探究能力，培養學生的優化意識，發展學生的數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 用尺規作角；前置性學習；優化策略；數學學科核心素養

問題提出

“用尺規作角”是一節頗有趣味性和挑戰性的探究課，很多教師都做出過富有創造性的教學嘗試. 藍海鵬老師在文章《尺規作角原理的探究活動與思考》［1］中給出了三種探究方案（如圖1所示）：（1）借助量角器量角、畫角探究“弧上取點”，即引導學生從“一般量角器量角、畫角—極簡量角器量角、畫角”的探究遷移到用尺規作角的探索. （2）借助角的概念探究“圓上取點”，即利用角的兩種定義（靜態與動態）引導學生得到確定D′點的兩個條件，從而獲得用尺規作角的原理和方法. （3）借助等角重合原理探究“三角形取點”，即利用木棒擺角活動將兩角相等問題轉化為兩個三角形重合（全等）問題，從而掌握用尺規作角的方法.

在上述三種探究方案中，不少公開課展示的是第一種，筆者備課時也偏向于此. 但學生的真實想法是怎樣的呢？他們在課前的前置性學習任務單中提出的設想給了筆者一些新的啟示，在此基礎上筆者修改了原來的教學設計. 現將這節課呈現出來，與讀者共享.

內容與目標

“用尺規作角”是北師大版七年級下冊第二章“相交線與平行線”第4節的內容，位于“相交線與平行線”之后、“三角形全等的判定條件”之前. 本節課主要探索用尺規作一個角等于已知角的方法，使學生在初步掌握尺規的用法和用途的基礎上，進一步用尺規作更復雜的圖形. 用尺規作角需要學生聯系“線線相交得到點”的思維確定角的另一邊，體會確定性思想，感受用尺規作圖的價值. 本節課為學生在本冊第四章中學習判定兩個三角形全等的基本事實（“SAS”“ASA”），運用尺規“過一點作已知直線的垂線”“過直線外一點作已知直線的平行線”等內容起著基礎性作用.

基于上述分析可獲得如下教學目標.

（1）經歷用尺規作一個角等于已知角的探究過程，掌握用尺規作角的方法，感悟確定性思想，體會用尺規作圖的價值.

（2）優化用尺規作角的步驟，體會優化策略的重要性，積累優化策略的意識.

前置性學習任務

交給學生的前置性學習任務是讓學生思考并嘗試解決下列問題.

問題1：回顧用尺規作一條線段等于已知線段的方法，并思考這對你解決問題2有什么啟示.

問題2：請嘗試用尺規作一個角等于∠AOB（如圖2所示），并說一說每一步的理由.

在查閱學生所完成的前置性學習任務單時，當看到一位學生在圖形中畫的線段CD（如圖3所示）時，筆者在他的任務單上打了個“？”，猜想他是否運用了“SSS”（判定兩個三角形全等的方法）來作角，畢竟個別學生提前了解第四章的知識也是很有可能的. 但是當看到越來越多的學生作圖的第一步都是這樣的，筆者意識到需要了解學生的真實想法. 通過與學生交流，筆者推翻了自己原來的判斷. 他們認為，要畫出一個角等于已知角，需要讓這兩個角的“張口”一樣大，而直尺能夠畫線段、圓規能夠“量”線段，于是想到將角的“張口”大小轉化成線段CD的長短. 也就是說，學生作圖時設想的是將“作角”轉化為“作線段”. 這是一個富有創造性的想法. 事實上，這就是“作一個角等于已知角”的基本策略. 由此筆者意識到，學生最先考慮的是用尺規作“三弧兩線”中的最后一條弧，并非如上述方案一那樣按順序作三條弧. “有效的教學活動是學生學和教師教的統一”［2］，只有基于學生學習中存在的真實問題才能真正激發學生的學習興趣，引發學生深度思考. 基于對學生思維的了解，在本節課中，筆者以“確定線段CD”為教學起點，組織學生深入探究本節課的內容.

課堂教學簡錄

1. 提出問題

問題1? 如何用尺規作一個角等于∠AOB（如圖2所示）？

在運用“前置性學習任務單的問題1”引導學生回顧“用尺規作一條線段等于已知線段”的基本步驟的基礎上，歸納獲得兩點啟示：（1）先畫一條射線，則“用尺規作一條線段等于已知線段”的要求最終簡化為確定線段的另一個端點，蘊含了簡化思想. （2）確定一個點的位置需要兩條線，依據的是“線線相交得到點”，蘊含了確定性思想.

追問：用尺規作一個角等于已知角，歸根結底，是要用尺規確定什么？

通過思考，學生得到基本作圖思路：先畫一條射線（角的始邊），根據“兩點確定一條直線”，將角的終邊的確定簡化為終邊上的第二個點的確定.

2. 引導探究

問題2? 你是如何確定終邊上的第二個點的？

學生甲提出，需要把代表角的“張口”大小的線段CD復制到所求作的角上的相同位置C′D′.他在射線OA上隨便找一點D，在射線OB上隨便找一點C，連接CD（如圖3所示），然后通過目測在O′A′上找到差不多的位置固定圓心D′，以CD的長為半徑畫弧，再通過目測在弧上找到點C′（如圖4所示）.

其他學生指出學生甲作圖的問題：圓心D′的位置不精確，就無法保證能在所求作的角上的相同位置找到C′D′. 如果點D′靠近點O′，畫出來的角可能就會大一些（如圖5所示）；如果點D′遠離點O′，畫出來的角可能就會小一些（如圖6所示）.

教師點撥：學生甲通過確定線段的長度來確定角的大小，并希望在兩個角上的相同位置作出C′D′=CD. 但他的操作只能實現C′D′=CD，而它們的位置無法確定.

問題3? 為何在兩個角上的相同位置作出C′D′=CD就表示兩個角相等呢？

學生聯想到七年級上冊用疊合法比較角的大小的方法，發現讓兩個角的頂點對齊，在相同位置上的代表“張口”大小的線段CD和C′D′如果完全重合，那么角的兩條邊就完全重合，也就說明這兩個角重合，從而得到這兩個角的大小相等.

教師點撥：如果兩個角相等，那么就意味著這兩個角完全重合，因此學生甲的作圖愿望是可以理解并且是正確的.

教學思考? 問題2讓學生分享前置性學習任務中的設想，并引導其他同學思考學生甲的設想與實際操作之間的不一致，進而明晰線段CD和C′D′的位置和大小必須同時滿足要求的必要性和合理性. 課堂以此設想為探究起點，為后面的探究路徑提供了思考方向.

問題4? 如何實現線段C′D′和線段CD在兩個角上的位置相同呢？

學生乙認為，確定線段的位置就是確定線段的兩個端點的位置，也就是點C′和點D′的位置，它們到角的頂點O′的距離與點C和點D到角的頂點O的距離要相等. 學生丙認為，點D′的位置很好確定，它在射線O′A′上，又O′D′=OD，所以只需要以O′為圓心，OD的長為半徑畫弧，弧與射線O′A′的交點就是點D′；然后以D′為圓心，以CD的長為半徑畫弧，那么點C′就在這條弧上.

教師追問：如何確定點C′的位置呢？

根據“線線相交得到點”可知，確定點C′的位置還需要第二條弧，學生發現這跟剛才確定點D′的位置是一樣的道理，需要讓O′C′=OC，故以O′為圓心，OC的長為半徑畫弧，與前一條弧的交點就是點C′.

教學思考? 在這個尺規作角的探究活動中，基于學生的理解得到初步作圖順序是“代表角的‘張口大小的線段CD→代表‘相同位置的點D′→代表‘相同位置的點C′”，梳理出作圖步驟是“畫線段CD→畫射線O′A′→以O′為圓心，OD的長為半徑畫弧交射線O′A′于點D′→以D′為圓心，CD的長為半徑畫弧→以O′為圓心，OC的長為半徑畫弧交前一條弧于點C′→畫射線O′C′（即射線O′B′）”. 這個作圖步驟需要畫一條線段CD、度量三次、畫三條弧、畫兩條射線（如圖7所示）. 比標準的作圖步驟要多畫一條線段和多度量兩次.

問題5? 觀察剛才的作圖步驟，我們發現作∠A′O′B′時，并不需要連接C′D′，那么是否可以不連接CD而同樣完成愿望呢？

學生開始認為需要用線段CD表示角的“張口”的位置和大小，但后來發現作圖中真正起作用的是線段CD的兩個端點C和D. 而且在進一步作圖嘗試中發現，作圖順序可以簡化為：以O為圓心，任意長為半徑畫弧交射線OA于點D后，不改變圓規的半徑，直接到射線O′A′上畫弧即可找到點D′. 不僅少了畫線段CD這一步，還少了一次度量.確定點C的位置也是一樣的道理.

教學思考? 作圖優化是作圖探究的進一步提升，但當線段CD的作用在學生頭腦中如此重要時，學生很難將其省略掉，這需要教師用問題去引導學生發現另一種更簡便的方法——對線段CD“去其形而取其用”——只需確定點C和點D的位置即可：用圓規以O為圓心，任意長為半徑畫弧，與∠AOB的兩邊相交來確定點C和點D的位置. 這樣作圖只需要畫五條弧、度量一次和畫兩條射線（如圖8所示），比之前的作圖步驟優化了一些，離標準的作圖步驟也非常近了.

追問：我們這個作圖方法、步驟是否還可以進一步優化呢？請大家再作圖嘗試看看.

學生發現，OC和OD可以一樣長，這樣一條弧就可以直接確定點C和點D的位置，從而作圖步驟就優化為畫三條弧、度量一次和畫兩條射線，作圖順序再進行適當調整，最終與標準的作圖步驟的“三弧兩線”達成一致.

教學思考? 在“想得到”問題解決方法的基礎上，通過對作圖過程的不斷優化，使思路更加清晰可觀，從而“想得透”問題解決方法的本質，最終用尺規作角“做得妙”.

3. 拓展延伸

問題6? 已知∠α，∠β，用尺規作∠AOB=∠α+∠β.

教學思考? 經歷之前的探究活動和優化作圖活動，學生很快發現作一個角等于兩個已知角的和，不是簡單地疊加兩次作角步驟即“六弧三線”（兩個角有一條邊重合），而是在∠α和∠β所畫的弧的半徑相同的基礎上，可以簡化為“五弧兩線”（如圖9所示）. 學生在應用尺規作圖中，既鞏固用尺規作一個角等于已知角的方法，又積累優化作圖方法的思維經驗.

4. 評價反思

問題7? 經歷本節課用尺規作角的探究，你有什么想法？

教學思考? 以問題為載體，通過對學習目標的解析、對作圖方法的探索、對優化過程的反思，學生基于自己的理解，概括用尺規作角的方法——確定兩要素（代表角的“張口”的線段CD的位置和大小）；學生可從自己提出的設想中獲得成就感，從優化策略中學會舉一反三，培養理性思維和科學精神.

教學思考

1. 基于學生的理解找準教學起點

在日常教學中，教師容易從自己的角度和經驗出發，確定學生的最近發展區和學習起點. 但在教學中有時會發現，學生的表現并不符合教師的“預設”，這說明教師備課時，找準教學起點并不是一件容易的事情，這需要基于學生的真實學情來作判斷. 本節課借助前置性學習任務單，初步了解學生對尺規作角的設想，并在與學生的交流中進一步了解學生這種設想的由來，知道了學生在∠AOB上畫出線段CD的真正目的，由此改變了筆者先前對學生是利用“SSS”這個三角形全等的基本事實進行尺規作角的解讀，找準了教學起點. 事實證明，像這樣基于學生的理解而確定的教學起點更符合因材施教的教育理念，學生能更加積極主動地參與課堂探究活動.

2. 基于學生的理解設計探究路徑

有了探究起點，探究課還需要基于學生的理解設計探究路徑. 根據學生提出的設想和愿望——在求作的角上的相同位置作出與CD等長的線段，學生很快發現暫時無法達成“相同位置”這個目標，于是將其分解為幾個小目標，并依據確定性思想和尺規工具使用的規則，一步步實現確定位置的愿望. 接著通過調整操作順序和步驟，優化作圖過程，最終達成了“標準”的用尺規作角的目的. 這個探究過程是在學生已有知識和經驗的基礎上量身打造的，以目標為導向，以問題鏈的方式引向深度思考，用逆向推理的方式找到實現愿望的路徑. 而最后的優化策略則鼓勵學生進一步改進和完善自己的探究成果，讓學生識得用尺規作角的真面目，眼前豁然開朗的同時，思維清晰且更有深度.

參考文獻：

［1］藍海鵬. 尺規作角原理的探究活動與思考［J］. 中學數學教學參考，2020（23）：32-35.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.