指向深度理解的概念教學路徑建構

陶然

［摘 要］數學概念是數學體系的基石，促進學生對數學概念的深度理解是概念教學的應然追求。教學中，教師應引導學生通過類比歸納、實驗觀察以及矛盾辨析加深對數學概念的理解，進而使學生原有的數學認知結構得到整合與優化，從而提升學生的數學思維品質，發展學生的數學學科核心素養。

［關鍵詞］數學概念；深度理解；初中數學

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）27-0017-03

要學好數學，深度理解數學概念是前提。應試教育背景下，教師往往為了趕進度而采用填鴨式教學，學生只能機械模仿學習，對于數學概念的理解浮于表象，沒有達到遷移性的深度理解。心理學家奧蘇貝爾指出，真正的理解應把新知識歸入原來的認知體系，在新舊知識間發生有意義的同化，這種同化不是任意的，而是一種合情合理的、自然而然的聯系。筆者以為，要使學生深度理解數學概念，可引導學生通過類比遷移、實驗觀察、矛盾辨析等途徑加深對數學概念的理解。下面是筆者的一些教學實踐與思考，旨在探究基于深度理解的概念教學路徑。

一、通過類比歸納，深度理解數學概念

根據來源不同，數學概念可分為兩類：第一類是由現實中的事物或關系抽象而成的數學概念，如圓柱、圓錐、棱柱、棱錐、軸對稱與軸對稱圖形等；第二類是從數學知識中抽象出來的數學概念，它是抽象思維的產物，如無理數、有理數、整式、一元一次方程、一元二次方程等。教師可根據數學概念的特征，設計學生熟悉的問題情境，引導學生運用已學知識回答問題，從結果中找到它們的共同特性，最后通過類比與歸納得到一般特征，形成數學概念。

［案例1］一元二次方程的概念教學片段。

教師：請同學們回憶一下，什么叫作一元一次方程？并舉幾個一元一次方程的例子。

學生1：只含有一個未知數，且未知數的次數是1的整式方程叫作一元一次方程，如[2x+6=11]；[x-1=3-x]；[2（x-2）=5-3（x-2）]等。

問題1：2022年是大豐收的一年。某村種的水稻2020年平均每公頃的產量是7200千克，2022年平均每公頃的產量是8400千克。若水稻平均每公頃的產量平均每年的增長率為[x]，則可列出方程：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

問題2：如圖1，有一塊長20米、寬8米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，那么人行通道的寬度是多少米？設人行通道的寬度為[x]，列方程得? ? ? ? ? ? ? ?。

學生2：問題1的方程為[7200（1+x）2=8400]；問題2的方程為[（20-3x）（8-2x）=56]。

教師：請同學們把方程整理一下，去括號，寫成右邊為0的形式。

學生3：第一個方程可整理為[6x2+12x-1=0]；第二個方程可整理為[3x2-32x+52=0]。

教師：這兩個方程與前面學習的一元一次方程相同嗎？如果不同，這樣的方程應該叫作什么方程呢？為什么？

學生4：這兩個方程并不是前面學習的一元一次方程，這兩個方程應該叫作一元二次方程，因為未知數的最高次數是2。

教師：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的方程就一定是一元二次方程嗎？[1x+x2=1]是一元二次方程嗎？為什么？從這里你得到什么啟示？

學生5：方程[1x+x2=1]不是一元二次方程，因為方程中含有分式[1x]，這樣的方程應稱為分式方程。

學生6：判定一個方程是否是一元二次方程，還要看它是不是整式方程。

教師：也就是說，只含有一個未知數，且未知數的最高次數是2的整式方程叫作一元二次方程。

通過類比一元一次方程的概念構建一元二次方程的概念，使學生真正理解“一元一次方程”與“一元二次方程”定義的一致性。在“二元一次方程”概念的形成過程中，學生實現了深度學習。

二、通過實驗觀察，深度理解數學概念

實驗是科學研究的重要方法之一，它是指根據一定的研究目標，利用現有的工具，如刻度尺、量角器、計算器等，對客觀事物進行控制和模擬，最大限度地排除次要因素的影響，凸顯主要因素，從而獲得經驗性素材，達到認識自然現象和規律的目的。觀察是指人們按照客觀事物本身存在的自然狀態，發現和確定客觀事物的性質與關系，進而收獲經驗性素材的方法。實驗觀察是促進學生深度理解數學概念的有利抓手，可使學生在直觀表象與動態演繹中實現對數學概念的深度理解。

［案例2］“圓與圓的位置關系”中的概念教學片段。

問題：請同學們觀察圖片，奧運會上的五環標志、自行車的兩個車輪、五個齒輪組成的傳動裝置、飛鏢靶等，它們中圓與圓之間的關系有何不同？

學生1：在奧運會的五環標志中，上面的三個圓之間沒有公共點，下面的兩個圓之間也沒有公共點，但是上面的圓與下面的圓分別各有兩個公共點。

學生2：自行車的兩個車輪之間沒有公共點。

學生3：五個齒輪組成的傳動裝置中，里面的三個小圓與外面的大圓只有一個公共點，三個小圓與中間的圓也只有一個公共點。

學生4：飛鏢靶的幾個圓之間沒有公共點。

教師：那么兩個圓之間有哪些位置關系呢？我手中有一大一小兩個圓環，請一位同學幫忙在黑板上將一個圓環固定，我將另一個圓環由近及遠地向固定的圓環靠近，注意觀察這兩個圓公共點個數的變化。

教師：通過剛才的實驗與觀察，你看到兩個圓的公共點個數存在幾種情況？圓與圓之間的位置關系可分為幾種類型？分類的標準是什么？

學生5：兩個圓的公共點個數存在沒有公共點、只有一個公共點、有兩個公共點三種情況。因此，圓與圓之間的位置關系可分為三種類型，分類的標準是公共點的個數。

教師：如圖3所示，第一個圖與第五個圖中，雖然兩個圓都沒有公共點，但是它們的位置關系一樣嗎？第二個圖與第四個圖中，雖然兩個圓都只有一個公共點，但是它們的位置關系一樣嗎？它們有什么不同？

學生6：第一個圖與第五個圖中兩個圓雖然都沒有公共點，但是它們的位置關系不一樣。第一個圖中小圓在大圓的內部，第五個圖中小圓在大圓的外部。

學生7：第二個圖與第四個圖中兩個圓雖然都只有一個公共點，但是第二個圖中小圓在大圓的內部，第四個圖中小圓在大圓的外部。

教師：由此看來圓與圓的位置關系應分為五種，這五種位置關系依次叫作內含、內切、相交、外切與外離。除了根據公共點個數判定兩圓的位置關系，還有沒有其他的方法可以判定兩圓的位置關系呢？

學生8：還可以用兩圓半徑與兩圓心之間的距離來判定。用[d]表示兩圓心之間的距離，用[R]、[r]分別表示兩圓半徑，當兩圓內含時，[d<R-r]；當兩圓內切時，[d=R-r]；當兩圓相交時，[R-r<d<R+r]；當兩圓外切時，[d=R+r]；當兩圓外離時，[d>R+r]。

在教學中，學生通過實驗和觀察，歸納出圓與圓的位置關系及其蘊含的規律，并形成了對圓與圓內含、內切、相交、外切、外離五種概念的深度理解。

［案例3］“圖形變換”中的概念教學片段。

教師：下面請同學們欣賞幾幅美麗的圖片。（教師展示幾幅軸對稱圖形，包括北京天安門、蝴蝶、人體、五角星、剪紙等）請同學們認真觀察這些圖片，說說它們有什么共同特征。

學生1：北京天安門、蝴蝶、人體、五角星、剪紙等，都關于中間的一條直線左右對稱。

教師：下面請同學們沿著你認為的中間的直線折疊圖片，看看左右兩邊的圖案是否重合。

（學生紛紛動起手來，把這些圖片沿對稱軸折疊，發現折疊后直線兩旁的部分能互相重合。）

教師：我們把這樣的圖形稱為軸對稱圖形。請同學們總結一下，一個什么樣的圖形叫作軸對稱圖形呢？

學生2：一個圖形沿著一條直線折疊，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸。

活動1：把自己的雙手放在同一高度，掌心相對，然后合掌，你會發現什么？

學生3：我發現兩只手能互相重合。

活動2：在空白紙上滴一滴墨水，然后沿墨水外的一條直線折疊紙張，使墨水印在直線的另一側，打開紙后你會發現什么？

學生4：打開紙后我發現折線兩側的墨跡一模一樣，能夠互相重合。

教師：當兩個圖形沿一條直線折疊后能夠互相重合，這樣的兩個圖形，我們稱之為成軸對稱。這條直線就是對稱軸。那么成軸對稱與軸對稱圖形有何區別與聯系？

學生5：軸對稱圖形是指一個圖形，而成軸對稱是指兩個圖形，它們都有對稱軸，沿對稱軸折疊后都能重合。

學生6：如果把軸對稱的兩個圖形看成一個圖形，那么成軸對稱就變成了軸對稱圖形。

在上面軸對稱圖形與成軸對稱的概念建構過程中，學生依靠對軸對稱圖形的觀察和動手操作獲得了軸對稱的本質特征，進而形成了軸對稱的概念。

三、通過矛盾辨析，深度理解數學概念

數學中有許多的“規定”，它們包括基本的數學定義、特定的數學符號、特定的書寫模式等。在中學數學教材中，這樣的規定有很多。為什么要做出這樣的規定呢？作為數學教師，一方面自己要明白其所以然，另一方面還要讓學生在矛盾辨析中體會這些規定是正確的、合理的，感知這些規定背后的數學道理、內含的數學智慧，從而深度理解數學概念。

［案例4］單項式的補充規定教學片段。

教師：通過前面的學習，同學們已經知道表示數字或字母乘積的式子叫作單項式，并且規定：單獨的一個數字或一個字母也是單項式。那么，同學們知道為什么要做出這樣的規定嗎？

（大部分學生不知如何表達或者不能清楚地表達）

教師：“[1×50]”是不是單項式？為什么？

學生1：單項式指的是表示數字或字母乘積的式子。“[1×50]”表示數字“1”和數字“50”的乘積，因此“[1×50]”是單項式。

教師：“50”是單項式嗎？

學生2： “50”不是數字或字母的乘積，因此，它不是單項式。

學生3：學生2說的既有對的成分又有不對的成分。從形式上看，雖然“50”不是數學或字母的乘積，但是“50”可以看作“[1×50]”的簡寫形式，而“[1×50]”是單項式，所以“50”也是單項式。

教師：看來同學們對于“50”是不是單項式產生了分歧。那么，如何才能解決這一分歧呢？這時，對單項式做出補充規定就顯得非常必要。當我們規定“單獨的一個字母或數字也是單項式”時，這一矛盾就順理成章地解決了。

圍繞單項式的內涵，教師巧妙捕捉學生的認知困惑和思維沖突，引導學生認識到單項式內涵補充規定的必要性。在單項式概念教學中，教師引導學生在矛盾中辨析，體驗單項式概念的建構過程，使學生觸摸到概念的本質，加深對數學的概念認識。

總之，數學概念是數學體系的基石，促進學生深度理解概念是概念教學的應然要求，也是落實數學學科核心素養的必然追求。教學中，教師可引導學生通過類比歸納、實驗觀察、矛盾辨析，深度理解概念，進而使學生原有的數學認知結構得到整合與優化，從而提升學生的數學思維品質，發展學生的數學學科核心素養。

（責任編輯? ? 羅 艷）