基于運算本質一致性的結構化教學探索
——《分數四則混合運算》教學

文|李柱俊

【教學內容】

蘇教版六年級上冊第75 頁例1 和“練一練”，第76 頁的第1～5 題。

【教學過程】

一、自覺提問，嘗試計算

師：同學們，看到課題，你們想問什么？

生：什么是分數四則混合運算？（板書：是什么？）

生：分數四則混合運算怎么算？（板書：怎么算？）

生：它和整數、小數四則混合運算有聯系嗎？（板書：聯系？）

師：會提問也一定愛思考，我們首先看看第一個問題：什么是分數四則混合運算？誰可以舉例說明？

（教師巡視，收集按運算順序做和運用乘法分配律簡便計算的兩種不同作品）

【設計意圖：結合學生的學習心向，開門見山讓學生根據課題提出問題，培養學生問題建構力的同時，也激發了學生學習的熱情。】

二、自主研究，理解算理

1.多元計算，理法相融。

（1）小組探究

師：我們先來看看這位同學的計算（如下圖），他是按怎樣的順序計算的？

師：你們的得數和他一樣嗎？

師：先算乘法，再算加法，到底合不合理？（板書：運算順序合理？）

師：數學是講道理的學科，你能想辦法證明嗎？以小組為單位，每個小組至少選擇兩種驗證方法。有困難的可以看看研究小貼士。

【設計意圖：運算順序的合理性是分數四則混合運算的核心要素之一，從問題出發，逆向而行，引領學生探究算法和算理之間的關系，指向的是在學習過程中運算能力這一核心素養的落實。】

（2）算理交流

●方法一：轉化成小數

師：這是誰的研究成果？（如下圖）說說你是怎樣想的。

小結：將分數改寫成了小數，得到相同的結果，證明了先算乘法的合理性。（板書：分數、小數）

●方法二：編題法

師：（如下圖）這是通過編題來證明的，你能根據他編的題目說說為什么可以先算乘法嗎？

小結：借助解題思路分析了先算乘法的合理性。

●方法三：把分數量轉化成整數量

師：你能看懂這幅作品的想法嗎？（如下圖）

生：他是把分數表示的量用整數來表示，再進行計算的。（板書：整數）

●方法四：畫圖法

師：能看懂別人的做法是會學習的表現。這還有一位同學是畫圖解釋的。（如下圖）

師：從他的圖中你明白了為什么可以先算乘法嗎？

2.引導比較，歸納算法。

師：觀察幾種不同的驗證方法，都證明了什么？

師：看來按照這樣的順序計算是合理的（擦去合理后面的問號），這個運算順序我們熟悉嗎？

生：其實就和整數、小數的混合運算順序是一樣的。

小結：分數四則混合運算的運算順序和整數、小數四則混合運算的運算順序都是一樣的。（板書：運算順序一致）

【設計意圖：運算順序的一致性是分數四則混合運算的另一個核心要素，在對運算順序合理性的詢證過程中，學生感悟到其實分數四則混合運算的運算順序是與整數、小數的混合運算順序一致的。】

三、聯通算理，優化算法

師：老師巡視的過程中，發現有同學是這樣做的（如下圖），猜一猜，他是怎么想的？

生：他運用乘法分配律進行了簡便計算。

師：乘法分配律在分數混合運算中適不適用？你能不能結合編的題目解釋算的是什么？

師：還有不同的嗎？

師：誰還能結合這幅圖來說說？

師：這幾位同學結合解題思路都說清楚了先算括號里的加法也是合理的。是在做同一件事情，它們之間是相等的關系。18 可以變化成證明了什么？

生：乘法分配律也可以用在分數中。

師：原來，整數的運算律對于分數同樣適用。（板書：運算律適用）如果是你，你會選擇哪一種來計算？為什么？

生：第二種，因為更簡便。

師：是的，在這里數字就是這么巧合，有時運用運算律可以使計算更簡便。（板書：簡便）

回顧：回頭看看大家之前提出的問題，你現在知道怎樣計算分數四則混合運算嗎？

追問：分數、小數、整數四則混合運算之間有什么聯系？

小結：分數、小數、整數四則混合運算的運算順序都是一致的，運算律也適用于分數四則混合運算。

提問：課的開始同學們列舉的兩道分數四則混合運算，說一說分別是按照什么運算順序計算的。

【設計意圖：讓學生對自己和他人的問題解決過程給出合理解釋，提供不完全歸納發現運算律對于分數四則混合運算也同樣適用，有助于學生養成講道理、有條理的思維習慣，發展學生的推理意識和能力。】

四、鞏固練習，強化規則

1.能簡算的要簡算。

（1）獨立完成。

（2）核對、反饋。

（3）追問：明明是先算除法的，為什么轉化成乘倒數后就一起算了呢？

（4）強調：在計算分數四則混合運算時，有時要邊算邊看能不能簡便。

2. 在下面各數中間添上運算符號或括號，并計算出得數。

（1）說說你是怎么想的。

（2）追問：幾道算式四個數都相同，為什么結果不同？

3.在下面各數中間添上運算符號或括號，使等式成立。

【設計意圖：結合運算能力和推理意識的能力素養表現，基于分數四則混合運算的兩大核心要素，設計了三道整體性、進階性的習題，習題1 是基礎題，習題2 是標準題，習題3 是挑戰題。潛能生可不做挑戰題，優等生可不做基礎題，所有學生都要做標準題。】