在知識探究中培育數學素養
——以《平行四邊形的面積》為例

文|李振新 張亞蘭

【教學內容】

青島版五年級上冊第65～68頁。

【教學重、難點】

探索并掌握平行四邊形的面積計算公式的推導歷程，會靈活運用平行四邊形的面積計算公式解決問題，初步體驗轉化思想。

【教學準備】

課件、平行四邊形紙片、剪刀、尺子、透明方格板（每小格為邊長1 厘米的正方形）等。

【教學過程】

一、結合情境，回顧舊知

師：同學們，施工隊運來一塊玻璃，它的形狀是什么圖形？

生：長方形。

師：還記得長方形面積的探究過程嗎？

生：我記得用面積是1 平方厘米的小正方形紙片鋪一鋪，然后數一數一共鋪了多少個小正方形，最后得出結論：長方形的面積等于長乘寬。

師：學得真不錯！現在施工隊要將一塊長方形的玻璃切割，為樓梯裝上玻璃護欄，在這個過程中，圖形的面積發生了什么變化？

生：切割后圖形的面積會變小。

師：這是用切割出的所有小玻璃塊重新拼擺的圖案，它的面積和原來長方形的面積有什么關系？

生：它們的面積相等。

師：這是我國古代數學家劉徽發現的“出入相補”原理：圖形分割后重新拼擺，面積保持不變。

師：今天要借助這個原理，探究平行四邊形的面積。

（板書：平行四邊形的面積）

二、遷移猜想，實驗驗證

師：大家猜一猜，它的面積是多少？（板書：猜想）

生：7×5=35（平方厘米）。

［板書：7×5=35（平方厘米）］

師：說說你的想法。

生1：我知道長方形的面積是長乘寬，所以我猜平行四邊形的面積是相鄰兩邊長相乘。

師：合理的猜想。猜想是研究的第一步，接下來我們需要——

生：驗證。

師：怎么驗證？（板書：驗證）

生：用“鋪一鋪”的方法。

師：和老師想的一樣。不過，這次老師給大家帶來的是這個（出示透明方格板），里面的每個小方格是1 平方厘米，知道怎么用嗎？大家借助它數一數這個平行四邊形的面積吧。

師：有結果了嗎？

生：28 個格子，28 平方厘米。

師：你是怎么數的？

生：滿格的一共22 個，把不滿的格子合在一起，湊成6 個滿格，所以一共是28 個格子，也就是28 平方厘米。

師：你發現了什么？

生：和之前的猜想不一致，我們猜得不對。

師：驗證否定了之前的猜想，看來我們的研究不是一帆風順啊，但是我們要迎難而上，繼續探究！（板書：探究）

三、合作探究，創生新知

1.初步推理，再行猜想。

師：原來只要數格子，就能知道圖形的面積。你覺得這種方法怎么樣？

生：太麻煩了，要一格一格地數。

生：還可能遇到很多填不滿的格子，合在一起很麻煩，也不夠準確。

師：確實需要一種簡單的方法，最好像計算長方形的面積那樣，一下子就能算出來。

生：老師，我在數格子的時候發現，這個平行四邊形的高是4厘米，底是7 厘米，4×7 正好是28平方厘米。

師：所以你想說？

生：我猜會不會是“底×高”？

師：這個發現好像有些道理，7×4=28（平方厘米），和我們數格子得到的結果一樣。那么它到底是一個真理，還是一個巧合呢？依然需要我們進行驗證。怎么驗證呢？

師：還記得前面老師提過的“出入相補”嗎？將幾何圖形切割后重新拼擺，面積怎樣？

生1：面積不變！

生2：我想將平行四邊形分割，然后重新組合。

師：你打算組合成什么圖形？

生2：可以組合成長方形或者是正方形。

師：為什么要組合成長方形呢？不能轉化成別的圖形嗎？

生：因為我們知道怎么算長方形的面積，算起來比較方便。

2.操作探究，合作交流。

師：你們想將平行四邊形轉化成長方形，將未知的知識轉化成已經學過的知識，許多的新知識就是這樣被發現的。平行四邊形是否能轉化成長方形呢？老師為大家準備了平行四邊形小紙片和剪刀，請大家打開學具袋1，小組合作探究。

師：哪個小組來分享一下你們的研究成果？

生1：沿著平行四邊形的高剪開，剪下一個三角形，將三角形平移到右邊，就是長方形了。

師：這個小組的同學成功完成了轉化，誰還有不同的想法？

生2：我們小組和他們的方法不同。

生2：他們是沿著從頂點作的高剪開，我們是沿著中間的高剪開得到兩個梯形，然后重新拼在一起，組成長方形。

生3：菱形小紙片，將它沿著頂點的高剪開，也能拼成一個長方形。

生4：我們小組也是沿高剪開，重新拼擺，將平行四邊形轉化成了正方形。

生：我覺得只要沿著平行四邊形的高剪開，就能拼成長方形，而平行四邊形有無數條高，所以我覺得應該有無數種方法。

師：你們同意嗎？

生：同意。

師：為什么一定要沿著高剪開呢？

生：因為轉化成長方形，必須要有直角，沿著高剪開，才能得到直角。

師：有道理！沿高將平行四邊形分成兩部分，再平移，就能把平行四邊形轉化成長方形。

3.尋找聯系，創生新知。

師：轉化前后的圖形之間有什么聯系嗎？根據這個聯系我們能不能推導出平行四邊形的面積計算方法呢？小組一起探討一下。

（小組探討，教師巡視）

師：哪個小組能交流一下你們的想法？

生1：根據“出入相補”原理，我們發現轉化后的長方形的面積和之前平行四邊形的面積相等。

生2：而且長方形的長就是原來平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高。

生3：長方形的面積計算公式是長×寬，所以平行四邊形的面積計算公式就是底×高。

生4：是的，這和我們之前的猜測是一樣的。

師：小組內互相說一說轉化的過程。

師：你們真厲害，通過合作探索，轉化推理，得出結論：平行四邊形的面積=底×高，用字母表示為S=ah。（板書）

四、鞏固拓展，素養提升

1.計算下面圖形的面積。

師：最后一道題目，究竟是10×14，還是8.5×14？

生1：我認為都行，10 厘米和8.5 厘米都是底，14 厘米是高。

生2：這樣算出來的結果不一樣啊。

生3：我認為是14×8.5，因為它們是互相對應的底和高。

師：我們在推導小玻璃塊的面積時，都是以7 厘米的邊為底，沿著它的高剪開的，大家有沒有想過，以5 厘米的邊為底呢？請大家認真看大屏幕。

（播放微課視頻）

師：你發現了什么？

生：我發現了5 厘米的底乘5.6厘米的高，也等于28 平方厘米。

師：和我們之前學的不一樣嗎？

生：是一樣的，都是底乘高，但是這是另一組底和高。

師：是的，計算同一個平行四邊形的面積理論上來說有兩組數據，因為平行四邊形有兩組相對應的底和高。用哪組數據計算，要根據具體題目，具體分析。

師：同學們，關于上面的題目，你有答案了嗎？是什么？

生：8.5×14。

師：這就提醒我們什么？

生：計算面積時要注意底和高相互對應。（板書：底和高相互對應）

2.請你填一填，再結合圖示，敘述轉化過程。

3. 計算下面平行四邊形的面積，你能發現什么？

生：這幾個平行四邊形的面積相等。

師：它們有什么共同點？

生：底相等，高也相等。

師：所以等底等高的平行四邊形，面積相等。（板書：等底等高，面積相等）

師：同學們再來看這幅圖，有什么發現？

生：這也是等底等高，這三個圖形的面積是相等的。

師：你能不能畫出和上面圖形面積相等的平行四邊形？

生：可以，只要保證等底等高，平行四邊形的面積就相等。

師：你能畫出多少個？

生：很多個。

師：理論上應該是無數個，畫一畫試試吧。

五、總結概括，全面提升

師：同學們，這節課你有什么收獲？

生1：我知道了平行四邊形的面積計算公式是底乘高，而且底和高要相互對應。

生2：我知道平行四邊形的面積計算公式的推導過程，是將平行四邊形轉化成長方形，長方形的長就是平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高。

生3：我體驗到了探究的樂趣，先猜想，再驗證，猜得不對就繼續猜想、探究和驗證，最終得出結論，這個過程讓我很有成就感。

生4：我會畫很多個面積相等的平行四邊形，因為只要保證它們等底等高就行。

師：很高興大家收獲如此之多，有知識的收獲、體驗的收獲，還有思維的拓展。最后，你們想不想知道，誰是最早用“出入相補”原理研究平面圖形的面積的？

（微視頻向學生介紹劉徽的“出入相補”原理）

師：看了視頻你們有什么感想？

生：我覺得劉徽太厲害了，用“割補法”解決了很多幾何問題。

師：同學們，你們也可以做到，你們就是小小數學家。