基于“畫計(jì)算”作品的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”算法辨析

文|陳 昱（特級(jí)教師） 王 芳

“分?jǐn)?shù)除法”歷來是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，其算理理解也是小學(xué)生常見的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。其實(shí)除了算理理解基礎(chǔ)上的算法掌握，計(jì)算學(xué)習(xí)過程具有更深邃的育人意義。

一、“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”算法梳理

本文涉及的“畫計(jì)算”作品數(shù)據(jù)來自某縣城小學(xué)六年級(jí)兩個(gè)班的課堂生成，在任務(wù)一的學(xué)習(xí)中，針對(duì)“÷2 到底是怎么算出結(jié)果的？”這個(gè)問題，90 位學(xué)生主要有五種不同表現(xiàn)（如表1）。表現(xiàn)一只交代了計(jì)算結(jié)果，沒有呈現(xiàn)計(jì)算的思維過程，表現(xiàn)五其實(shí)是綜合了表現(xiàn)三和表現(xiàn)四的算法。

表1 ÷2 算法梳理

表1 ÷2 算法梳理

算法表現(xiàn)具體描述作品樣例數(shù)量及占比（%）備注images/BZ_30_1443_1598_1718_1768.png表現(xiàn)一* 得數(shù)正確，但沒有清楚表征算理和算法7（7.78）images/BZ_30_1336_1797_1832_2105.png表現(xiàn)二 將分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)或整數(shù)，再計(jì)算4（4.44）算法一具體轉(zhuǎn)化方法：4 5 =0.8 4 5 升=800 毫升images/BZ_30_1404_2136_1758_2399.png表現(xiàn)三 基于分?jǐn)?shù)和除法的意義，均分分子65（72.22）算法二images/BZ_30_1330_2418_1830_2598.png表現(xiàn)四基于分?jǐn)?shù)和除法的意義，細(xì)化分?jǐn)?shù)單位再算images/BZ_30_1385_2611_1786_2851.png12（13.33）算法三images/BZ_30_1334_2874_1825_3135.png表現(xiàn)五* 同時(shí)呈現(xiàn)表現(xiàn)三和表現(xiàn)四兩種算法2（2.22） 只是算法綜合

圖1

因?yàn)槿蝿?wù)一的展評(píng)環(huán)節(jié)淡化了算法一，著重引導(dǎo)學(xué)生聚焦算法二和算法三，所以到任務(wù)二探究÷3 時(shí)，呈現(xiàn)出來的算法比較集中，要么循著算法二的思路，要么采用算法三的做法，結(jié)果上看，除了未探究成功的，最后都走向了算法三。

探究活動(dòng)最順利的是一開始就選擇用算法三來計(jì)算的學(xué)生，很快就得出正確結(jié)果（如圖2）。選擇算法二的學(xué)生無一例外都走了彎路，但突破困難終獲成功的體驗(yàn)也是很有價(jià)值的（如圖3、4），探究失敗的錯(cuò)例主要就發(fā)生在這一環(huán)節(jié)。

圖2

圖3

圖4

二、“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”算法辨析

1.算法探究：兩種策略與邏輯

轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，算法一的學(xué)生就是將不會(huì)算的÷2 轉(zhuǎn)化成會(huì)算的0.8÷2 或800÷2，從而解決了問題。本問題的這種轉(zhuǎn)化算法，很快就遭到學(xué)生的反思性質(zhì)疑：所有的分?jǐn)?shù)都可以轉(zhuǎn)化成小數(shù)嗎？（轉(zhuǎn)化沒問題，只不過不一定都是有限小數(shù)，也不一定都是循環(huán)小數(shù)）轉(zhuǎn)化后好算嗎？（遇到無限小數(shù)，確實(shí)不好算，如果除數(shù)是分?jǐn)?shù)就更不好算了）……

其實(shí)算法一更大的弊端是不利于計(jì)算領(lǐng)域的創(chuàng)新發(fā)展，即不利于探索出分?jǐn)?shù)除法的專用法則。所以只能采用第二種策略，直面問題。要想探索分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算，必須先理解分?jǐn)?shù)和除法的意義，即從問題的本質(zhì)出發(fā)探求解決之道。這也是一切運(yùn)算的共同邏輯，基于運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算本身的意義。

2.分?jǐn)?shù)領(lǐng)域：兩種視角與路徑

當(dāng)學(xué)生直面問題，不再回避不會(huì)算的分?jǐn)?shù)除法，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)別有洞天。在分?jǐn)?shù)除以整數(shù)運(yùn)算里，不同學(xué)生基于兩種不同視角產(chǎn)生兩種不同路徑：直接均分分子或先擴(kuò)充分母再算。

學(xué)生能想到直接均分分子的方法，得益于數(shù)據(jù)特征，即分子4能被2 整除，4 個(gè)分?jǐn)?shù)單位很容易被平均分成2 份；改為均分成3份就有困難了，需要先細(xì)化分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位。

細(xì)化計(jì)數(shù)單位，在計(jì)算中不是第一次遇到，在整數(shù)和小數(shù)除法里是常見的現(xiàn)象與策略。這種策略一般在計(jì)算遇到困難時(shí)用起來更自然，即在÷3 時(shí)運(yùn)用要比在÷2 時(shí)運(yùn)用更能凸顯其價(jià)值，但這并不代表后者不能運(yùn)用。很多學(xué)生會(huì)用表1 中表現(xiàn)四的作品樣例呈現(xiàn)的這種算法來計(jì)算÷2，但鮮有學(xué)生自覺意識(shí)到此法是先將分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位細(xì)化成，算的其實(shí)是，即便有感覺也不強(qiáng)烈；而在的計(jì)算過程中就能比較明顯地感受到，先細(xì)化分?jǐn)?shù)單位為。

3.算法辨析：普適與本質(zhì)

基于以上算法二和算法三，通過觀察、交流與歸納，學(xué)生可以初步建立分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的兩種算法模型：b、c 為自然數(shù)，b、c≠0，a 能被c 整除）和（a、b、c為自然數(shù)，b、c ≠0）。可以看出：（1）模型一中分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位一直是，模型二中分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位細(xì)化成了；（2）模型一中分?jǐn)?shù)的分子需要能被作為除數(shù)的整數(shù)整除，也就是限定了條件。

于是問題來了，算法二和算法三在分?jǐn)?shù)除以整數(shù)計(jì)算中分別具有怎樣的地位？筆者認(rèn)為算法三更具普適性，而算法二更本質(zhì)。

首先，算法三適用于所有的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算，算法二只適用于分?jǐn)?shù)的分子能被整數(shù)整除時(shí)，屬于特殊情況，因此算法三更具一般性和普適性。

其次，從分?jǐn)?shù)和除法的意義出發(fā)，除法作為乘法（求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算）的逆運(yùn)算，其基礎(chǔ)是平均分，所以算法二更為本質(zhì)。分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，就是將分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)平均分。算法三在細(xì)分分?jǐn)?shù)單位后，又回到算法二，即算法三包含算法二。或者說，由算法三建立的算法模型的完整形態(tài)是這樣的：（a、b、c 為自然數(shù)，b、c≠0）。

基于以上分析，我們可以說：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，有時(shí)候可以直接除，有時(shí)候需要細(xì)化分?jǐn)?shù)單位后才能除，后者適用于所有的情況。

這種算法分析還可以繼續(xù)向整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)延伸，只不過情況要復(fù)雜得多。

三、“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”教育啟示

以上基于“畫計(jì)算”作品的“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的算法辨析，可以給予我們多方面帶有哲學(xué)意味的教育啟示。

1.關(guān)于問題解決策略

（1）轉(zhuǎn)化問題可以低成本較快捷地解決問題，但是也往往會(huì)錯(cuò)過創(chuàng)新機(jī)會(huì)。

（2）直面問題可能成本較高，但更有利于創(chuàng)新發(fā)展，面對(duì)新情況，開創(chuàng)新局面，困難總是與機(jī)遇并存。

（3）創(chuàng)新問題解決的關(guān)鍵在于回歸問題本原，把握知識(shí)本質(zhì)，本質(zhì)性意味著生長(zhǎng)性，越本質(zhì)越有力。

（4）具體問題具體分析，針對(duì)不同問題，靈活選擇相適應(yīng)的解決策略與方法。

2.關(guān)于問題解決方法

（1）視角不同，路徑不同。視角不同來自個(gè)性差異，每一位學(xué)生都是獨(dú)一無二的存在，所以在學(xué)習(xí)與問題解決方法上，參差多態(tài)乃幸福之源。

（2）適合的就是最好的。所謂算法優(yōu)化、最佳解等往往基于多樣比較后的個(gè)性化選擇，有自己想法很重要，理解他人也很重要，內(nèi)在想法與對(duì)外理解都是發(fā)展變化的，所以這個(gè)“合適”和“最優(yōu)”也是動(dòng)態(tài)變化的。

（3）萬(wàn)法通融。世界是廣泛聯(lián)系的整體，不同事物在本質(zhì)上是統(tǒng)一的，不同方法在本質(zhì)上是相通的，聯(lián)系的眼光可以洞穿世界的真相，幫助我們通往靈活不拘的自由境界。

（4）辨析是認(rèn)識(shí)之道。世界是整體的，也是可分的；是千差萬(wàn)別的，也是通融的……辨析才能認(rèn)識(shí)其本質(zhì)與變化。

立德樹人是教育的根本目的，數(shù)學(xué)育人是數(shù)學(xué)教育的永恒追求，計(jì)算育人要求我們通過具體的計(jì)算教學(xué)活動(dòng)給予學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)之內(nèi)和計(jì)算學(xué)習(xí)之外的各種有益滋養(yǎng)。如果學(xué)生能從“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”課堂上收獲以上知識(shí)技能、經(jīng)驗(yàn)方法、包括運(yùn)算能力在內(nèi)的學(xué)科核心素養(yǎng)，以及諸多哲思啟蒙，那么將在盡可能大的范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)計(jì)算的育人價(jià)值。