發(fā)展幾何直觀　促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

羅勇

摘要：新課標(biāo)在課程目標(biāo)下的“核心素養(yǎng)的內(nèi)涵”在初中階段的主要表現(xiàn)中，將幾何直觀列為九個(gè)表現(xiàn)之一，并對(duì)幾何直觀的內(nèi)涵進(jìn)行了詳細(xì)闡述。在初中數(shù)學(xué)課堂中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀，可以從發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)、運(yùn)用數(shù)學(xué)對(duì)象三個(gè)方面入手，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；新課標(biāo)；深度學(xué)習(xí)

幾何直觀主要指的是運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣。在圖形的性質(zhì)學(xué)習(xí)中，主要體現(xiàn)為能夠感知各種幾何圖形及其元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類(lèi)；根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)。幾何直觀有助于學(xué)生把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。本文將以北師大版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)“平行四邊形的性質(zhì)”探究為例，闡述如何在圖形的性質(zhì)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

一、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象

具體分析及實(shí)施建議如下：

教師出示生活中的平行四邊形圖片。

問(wèn)題1：你能在圖中找到平行四邊形嗎？

目標(biāo)分析：從實(shí)際背景或數(shù)學(xué)背景中抽象圖形，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象，關(guān)注共性，分辨差異，并能用畫(huà)圖、語(yǔ)言描述等方式表達(dá)。

教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立畫(huà)出（描出）平行四邊形。

學(xué)生行為及分析：將視覺(jué)轉(zhuǎn)化為觸覺(jué)，通過(guò)描圖，體會(huì)平行四邊形由四條邊組成，且對(duì)邊互相平行。

教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出圖片中的平行四邊形（語(yǔ)言描述）。如，停車(chē)位施劃的實(shí)線圍成一個(gè)平行四邊形。

學(xué)生行為及分析：將直觀感覺(jué)轉(zhuǎn)化為語(yǔ)言表達(dá)，提煉圖形的特征（平行四邊形是由四條邊首尾順次連接組成的，且兩組對(duì)邊互相平行）。

問(wèn)題2：你能說(shuō)說(shuō)什么樣的四邊形是平行四邊形嗎？為什么這樣認(rèn)為？

目標(biāo)分析：引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注合適的類(lèi)別，用準(zhǔn)確的語(yǔ)言描述研究對(duì)象的概念，提升抽象能力。

學(xué)生行為及分析：語(yǔ)言表達(dá)，嘗試給出定義。學(xué)生說(shuō)出的結(jié)果可能有很多種，如兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。有的學(xué)生甚至?xí)f(shuō)不全，如邊平行的四邊形是平行四邊形。教師應(yīng)先肯定學(xué)生得出的結(jié)論，然后追問(wèn)原因，把學(xué)生抽象思考的過(guò)程暴露出來(lái)。然后，說(shuō)明采用“兩組對(duì)邊分別平行”作為定義條件的原因，讓學(xué)生理解“將圖形之間的關(guān)系特殊化”是得到新的類(lèi)（平行四邊形）的原因，也因此了解“屬+種差”定義新類(lèi)的合理性。學(xué)生經(jīng)歷條件逐步完備、語(yǔ)言逐漸精練的過(guò)程，使幾何直觀從基于操作經(jīng)驗(yàn)的感悟向基于概念的推理過(guò)渡。

問(wèn)題3：請(qǐng)你用直尺和三角板畫(huà)出一個(gè)平行四邊形，你想怎樣畫(huà)？請(qǐng)參考三角形的表達(dá)方式記錄這個(gè)平行四邊形。

目標(biāo)分析：理解圖形作為一個(gè)整體，內(nèi)部的元素有相應(yīng)的位置關(guān)系，用符號(hào)與元素對(duì)應(yīng)標(biāo)記出來(lái)。文字表達(dá)、符號(hào)表達(dá)、圖形表達(dá)相互對(duì)應(yīng)。根據(jù)符號(hào)表達(dá)能畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形能寫(xiě)出符號(hào)表達(dá)，并能在轉(zhuǎn)換的過(guò)程中用自然語(yǔ)言解釋。在基于概念的層面上體會(huì)幾何直觀。

教師引導(dǎo)學(xué)生利用直尺和三角板畫(huà)出平行四邊形。

學(xué)生行為及分析：直尺可以畫(huà)直線（線段），三角板可以畫(huà)特殊角，結(jié)合后可畫(huà)出平行線段，從而畫(huà)出三角形。學(xué)生先確定畫(huà)圖的依據(jù)（定義），然后設(shè)計(jì)畫(huà)圖的程序（先后順序），從推理和操作的角度體會(huì)平行四邊形的定義，從中獲得研究圖形的經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生畫(huà)出的圖形可能位置不同，形狀不同，大小不同，這是概念外延的表現(xiàn)，都符合其認(rèn)知規(guī)律。

教師引導(dǎo)根據(jù)給出的符號(hào)表達(dá)畫(huà)出圖形，再根據(jù)給出的圖形寫(xiě)出它的符號(hào)表達(dá)，并用自然語(yǔ)言解釋。

學(xué)生行為及分析：在三種表達(dá)的轉(zhuǎn)換中，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系。結(jié)合三個(gè)不同的角度認(rèn)識(shí)圖形。

問(wèn)題4：圖1中有幾個(gè)圖形是平行四邊形？請(qǐng)找到并表示出來(lái)。

目標(biāo)分析：形成基于概念的幾何直觀，能用推理的方式說(shuō)明數(shù)學(xué)對(duì)象。

學(xué)生行為及分析：找到平行四邊形，并用概念說(shuō)明。辨析并應(yīng)用概念，能從數(shù)學(xué)情境中發(fā)現(xiàn)幾何對(duì)象，并能說(shuō)出原因。

問(wèn)題5：回顧研究平行四邊形定義的學(xué)習(xí)過(guò)程，我們經(jīng)歷了什么？對(duì)你學(xué)習(xí)其他圖形會(huì)有什么啟發(fā)？

目標(biāo)分析：重新梳理研究的歷程，了解思考形成的過(guò)程，體會(huì)其合理性，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)自己的思考過(guò)程再思考，提升思維水平。

學(xué)生行為及分析：梳理研究的過(guò)程，用交談的方式展現(xiàn)思考的過(guò)程，并從其他同學(xué)的談話中獲益，了解同一個(gè)問(wèn)題的不同思考角度，獲得思考提純（對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知）的經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)對(duì)象的產(chǎn)生主要有兩類(lèi)，一是從現(xiàn)實(shí)世界中產(chǎn)生，二是從數(shù)學(xué)問(wèn)題中產(chǎn)生。在小學(xué)階段學(xué)習(xí)圖形時(shí)，幾何直觀主要建立在以直觀感受（觸摸）、測(cè)量、剪拼等經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，屬于直觀思維層面，而在初中的學(xué)習(xí)中逐漸過(guò)渡到抽象思維層面。教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象—描述和形成概念—辨析概念的過(guò)程。

二、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)

下面是學(xué)習(xí)平行四邊形性質(zhì)相關(guān)內(nèi)容（平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角相等）的不同教學(xué)設(shè)計(jì)方案。

方案一：根據(jù)定義畫(huà)一個(gè)平行四邊形，觀察它除了“兩組對(duì)邊分別平行”外，其邊之間還有什么關(guān)系？角之間還有什么關(guān)系？度量一下，和你的猜想一致嗎？為什么？上述的探究經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？你有什么收獲？你能設(shè)計(jì)更好的探究過(guò)程嗎？為什么不探究邊和角之間的關(guān)系或鄰角之間的關(guān)系呢？

方案二：請(qǐng)度量給定的平行四邊形紙片，邊之間有什么數(shù)量關(guān)系？角之間有什么數(shù)量關(guān)系？根據(jù)你的度量，能得到怎樣的猜想？請(qǐng)證明你的猜想。

方案三：用剪刀沿著平行四邊形紙片的對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩個(gè)三角形，動(dòng)手操作，體會(huì)三角形與平行四邊形的關(guān)系，你有什么發(fā)現(xiàn)？根據(jù)你的操作，能得到怎樣的猜想？請(qǐng)證明你的猜想。

方案四：請(qǐng)借助等腰三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，探索平行四邊形的性質(zhì)。

比較四種方案我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：方案一問(wèn)題脈絡(luò)清晰，展現(xiàn)了探究的全景，留給學(xué)生探究、思考和交流的空間較大，方便學(xué)生探索；引導(dǎo)學(xué)生歸納認(rèn)識(shí)的過(guò)程及認(rèn)識(shí)方法，并鼓勵(lì)提出質(zhì)疑。方案二、方案三細(xì)致指導(dǎo)學(xué)生的操作探究活動(dòng)，問(wèn)題準(zhǔn)確，目標(biāo)清晰，學(xué)生思考的空間顯現(xiàn)得有些局促，細(xì)節(jié)突出，有宏觀不夠清晰的感覺(jué)。方案四鼓勵(lì)學(xué)生在已有的探究圖形性質(zhì)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)探究方案，開(kāi)展探索；對(duì)學(xué)生要求高，學(xué)生獨(dú)立完成的可能性較小，需要合作學(xué)習(xí)。針對(duì)不同的學(xué)情，教師可以設(shè)計(jì)不同的探究方案，可彈性處理，達(dá)到教學(xué)目的即可。

在證明過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)幾種不同的思路：基于操作經(jīng)驗(yàn)的直觀（沿著對(duì)角線剪平行四邊形紙片，連接對(duì)角線）；基于概念推理的直觀（全等三角形能轉(zhuǎn)移邊、角，要出現(xiàn)全等三角形，則連接對(duì)角線）；基于概念推理+圖形直觀（我們?cè)阉倪呅无D(zhuǎn)化為三角形，得到內(nèi)角和為360°，嘗試將四邊形對(duì)邊、對(duì)角相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的關(guān)系問(wèn)題，故連接對(duì)角線）。回顧探究過(guò)程，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的起點(diǎn)都是平行四邊形的概念，由此認(rèn)識(shí)到平行四邊形性質(zhì)的數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)是平行四邊形的概念。在學(xué)生經(jīng)歷證明之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生尋找證明思路產(chǎn)生的原因，體會(huì)基于概念的幾何直觀對(duì)思路產(chǎn)生的影響。

三、運(yùn)用數(shù)學(xué)對(duì)象

例題：如圖2，在?ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)。

求證： AE=CF。

數(shù)學(xué)對(duì)象分析：由條件可知，數(shù)學(xué)對(duì)象有?ABCD，由圖形直觀可得，數(shù)學(xué)對(duì)象還應(yīng)該有四邊形BEDF，△AED和△CFB。

數(shù)學(xué)對(duì)象元素及關(guān)系分析：在?ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AD=BC，AB[?]CD，AD[?]BC；在四邊形BEDF中，∠DEB=∠DFB=90°，DF[?]BE；在△AED與△CFB中，∠AED=∠CFB=90°。

數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系分析：（1）在?ABCD與四邊形BEDF之間，有AE=AB-BE，CF=CD-DF；（2）在?ABCD與△AED，△CFB之間，AD，BC，∠A，∠C是共有元素； （3）觀察可知△AED≌△CFB，AE與CF是對(duì)應(yīng)邊。

由此可產(chǎn)生下面的思路：

一是考慮到?ABCD與四邊形BEDF的位置關(guān)系，由AE=AB-BE，CF=CD-DF，只要證明AE=CF，即證明四邊形BEDF是平行四邊形即可。

二是?ABCD與△AED，△CFB之間，AD，BC，∠A，∠C是共有元素，AE，CF是△AED和△CFB的邊，只要證明△AED≌△CFB即可。

數(shù)學(xué)對(duì)象作為一個(gè)整體在復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題中出現(xiàn)，其中包含的元素是若干數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，數(shù)學(xué)對(duì)象的作用主要是傳遞關(guān)系，理解數(shù)學(xué)對(duì)象（基本圖形）在問(wèn)題中的地位和作用，會(huì)有助于學(xué)生找到解決問(wèn)題的思路，厘清問(wèn)題的本質(zhì)。在解決問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回答這樣幾個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}中有哪些數(shù)學(xué)對(duì)象（基本圖形）？每個(gè)對(duì)象中有哪些元素？它們之間有什么關(guān)系？數(shù)學(xué)對(duì)象之間有什么關(guān)系？

在圖形的性質(zhì)教學(xué)中，教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生圍繞體現(xiàn)整體性和結(jié)構(gòu)性的學(xué)習(xí)主題，深刻經(jīng)歷幾何直觀的形成過(guò)程，不斷反思、比較、總結(jié)，有目的、有意識(shí)地培養(yǎng)思考習(xí)慣，提升思考能力。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）