基于數學思維能力培養的課堂教學

何達偉

［摘? 要］ 人口素質決定一個國家的命脈，而培養數學思維則是提高人口素質的主要途徑之一. 如培根所言“數學是思維的體操”，如何在課堂教學中有效激發學生的數學思維，讓學生在學習中感悟數學思想，提升思維品質呢？文章以“圓錐曲線的定點與定值”的教學為例，從學前分析、課程簡錄與教學思考三方面展開闡述.

［關鍵詞］ 數學思維；核心素養；課堂教學

課堂教學設計是指以一定的教育思想為指導，緊緊圍繞教學目標，系統地規劃課堂教學內容、過程與方法而作的教學設想與安排［1］. 同一課題在不同教育思想的指導下，會呈現出不同的定位與方案. 教學實踐告訴我們，基于數學思維發展的課堂教學設計往往能取得較好的成效. 為此，筆者在這一領域做了大量嘗試與研究，收效頗豐.

本文以“圓錐曲線的定點與定值”的教學為例，談一談本節課教學設計方法與課堂教學流程，最后闡述一些教學感悟，與君共勉！

學前分析

1. 背景分析

數學思維是一種看不見、摸不著，卻又真實存在的高度復雜的活動. 古往今來，研究數學思維的理論頗多，總體來說運用數學思維解決問題是數學教學的主要目標，也是難以實現的目標［2］. 由此，數學思維的培養成了學校教育的主要目標之一. 本節課想要基于數學思維的發展進行教學，必須對學生與教學內容有一個較為深入的認識，做到“知此知彼，百戰不殆”.

2. 學情分析

本節課的授課對象雖然是文科班學生，但他們整體素養較高，學習自覺性強，數學基礎扎實，大部分學生心思細膩，有較強的計算與概括能力. 整體來說，該班學生的思維水平屬于中上等層次.

3. 內容分析

圓錐曲線定點和定值問題具有高度的綜合性，這部分內容涉及的知識點較多，如圓錐曲線的定義、性質，以及與直線之間的關系等，同時還與不等式、函數以及方程等代數內容有聯系. 想要解決與圓錐曲線定點和定值相關的問題，不僅要有較強的數形結合思想，還要有扎實的代數運算功底，如此才能靈活地轉換數與形，呈現出數學學習應有的嚴謹性思維.

教學目標：掌握圓錐曲線的定義、性質，并能熟練應用幾何法、數形結合思想方法等求解圓錐曲線的定點與定值問題.

教學重點與難點：圓錐曲線定點與定值問題的常見解法的預判與優選.

教學簡錄

1. 回顧知識，切入主題

基于本班學生數學基礎較為扎實，學習氛圍好，本節課筆者選擇從回顧舊知出發，直接切入教學主題，以縮短課堂導入時間，為后續探究活動的開展留下充足的時空. 同時，這種導入模式充滿著“數學味”，更符合此階段學生的身心特征.

師：大家還記得橢圓的定義嗎？

生1：平面內與兩個定點F，F的距離之和等于常數的點的軌跡為橢圓.

師：很好，你提到的常數要是等于FF，點的軌跡還是橢圓嗎？

生1：常數應該大于FF（恍然大悟）.

設計意圖 概念是數學的基石，是數學推理的依據，亦是形成抽象思維的基礎. 回顧橢圓的概念，意在幫助學生從知識庫中提取與本節課教學相關的信息，筆者的點撥意在向學生傳達概念的嚴密性與準確性，以促進學生形成科學嚴謹的態度. 橢圓定義的回顧，可讓學生感知定值與動點之間存在著辯證統一的聯系.

2. 搭建平臺，引發思考

思維的發展遵循循序漸進的原則，教學設計需要從學生思維發展的特征出發，利用“低起點、小步子”的問題，為學生鋪設多層臺階，讓學生的思維沿著臺階自然而然地拾級而上. 具有啟發性的問題是引發學生思考的關鍵，也是為學生思維搭建平臺的主要基石.

問題1 已知a，b，c為實數，且2a=b+c，若過點P（2，3）作直線l：ax+by+c=0的垂線，M為垂足，O為坐標原點，求線段OM的最大值.

生2：可以先求出與直線l垂直，且過點P的直線的方程，解方程組獲得點M的坐標后再寫出OM的表達式，最后求出線段OM的最大值.

師：很好！方法正確，思路清晰. 還有其他不同的意見嗎？

師：很好！此方法緊扣“動中有定”這個特點進行分析，大家說說“定”指的是什么？

生4：這里的“定”是指圖形在運動中，直線l恒過點Q（-2，1），同時PM⊥QM.

設計意圖 讓學生感知代數法與幾何法在解題中的應用，強化學生對運動變化背景下問題的認識，形成探索不變條件的意識，為學生思考提供方向.

一般情況下，解決數學問題常用代數法與幾何法. 顯然，代數法側重于“數”，常從方程、坐標等角度進行分析；而幾何法則偏重于“形”，一般結合圖象的幾何性質進行分析. 學生通過對此問的分析，充分感到這兩種方法在解題中實際應用的利弊，為后續選擇合適的解題方法奠定了基礎.

3. 逐層遞進，啟發思維

隨著課堂教學的推進，學生對本節課的教學內容、重點已經有了一定的認識，在此基礎上，筆者帶領學生一起探討實例，通過逐層遞進的互動，激發學生思考.

問題2 PQ為經過橢圓C：2x2+y2=1中心的任意一根弦，已知點A為橢圓C上與P，Q不重合的任意點. 如果線段AP，AQ的斜率分別為k，k，求kk的值.

生5：kk=-2（快速給出答案）.

師：反應很快啊，說說你的具體解題思路.

師：你能將自己看到的結論應用到實際解題中，非常好！但直接應用一些非定理類的結論時，需注意使用范圍，切忌出現張冠李戴的現象. 橢圓的標準方程存在兩種情況，解題時不能僅將眼光放在焦點位于x軸的時候，而應考慮周全. 若事先并沒有接觸過這個結論，大家有沒有什么方法能快速解題？

生6：可以從特殊化的角度出發，如將點P，Q設為短軸的端點，點A設為長軸的端點.

師：不錯，特殊化思想是解決定點與定值問題的便捷方法，即從特殊情況出發，通過“猜想—驗證”的方式解題. 通過分析問題1與問題2，說說你們的想法.

生7：問題1得到的結論是圓上一點M與直徑端點P，Q的連線斜率之積kk=-1，該結論與問題2所應用的結論類似.

師：你的觀察很細致，有興趣的同學課后可嘗試了解一下“有心圓錐曲線和圓的聯系”.

設計意圖 引導學生深化對橢圓中心弦性質的理解，提高學生思維的靈敏度，并通過圓與橢圓的性質類比，培養學生思維的深刻性. 課后自主延伸題主要針對學優生，以拓寬學生的視野.

問題3 如圖1所示，點A為橢圓C：

學生獨立思考后合作交流，并整理出以下思路：

思路1 假設k→點P，Q的坐標→AP，AQ的方程→點M，N的坐標→圓的方程→定點.

思路2 假設k→點P，M的坐標→點Q，N的坐標→圓的方程→定點.

思路3 假設P（x，y）→點Q，M的坐標→AN的方程→點N的坐標→圓的方程→定點.

思路4 假設M（0，m）→點P，Q的坐標→QA的方程→點N的坐標→圓的方程→定點.

思路5 假設k，k→點M，N的坐標→圓的方程→定點.

思路6 假設M（0，m），N（0，n）→圓的方程→定點.

師：大家從條件與結論之間的聯系出發，通過不同參數表示點M，N的坐標，獲得圓的方程后再整理，讓參數的系數為0，由此獲得結論. 從以上各種解題思路來看，思路3、思路6避免了解方程組的煩瑣. （師生共同探討典型解法）

設計意圖 通過臺階鋪設與小組合作學習，啟發學生對“圓錐曲線定點與定值問題”的認識. 同一個問題呈現出多種解題思路，能有效拓寬學生的視野，培養學生的創造意識，提升學生思維的廣闊性.

4. 提煉總結，鞏固提升

隨著課堂教學接近尾聲，筆者與學生一起回顧并總結本節課的主要內容，提煉解決定點與定值問題的主要步驟為：（1）定值問題，設參、表示所求的量、消元（注意整體代換、特殊情況等）；（2）定點問題，設參、求出曲線方程、讓參數失效（注意“設而不求”、對稱性等情況）.

教學感悟

1. 解題訓練是提升思維的基礎

一題多解屬于變式訓練的一種，本節課中的例題都存在多種解法，這是訓練學生從不同角度觀察與分析問題的過程，對培養學生的數學思維具有重要作用. 一題多解的設計，具有以下目的：（1）調動學生思維的積極性，增強學生對基礎知識與技能的應用能力；（2）鍛煉學生思維的靈活性，讓學生能從不同角度看待問題；（3）開闊學生的視野，讓學生在知識的縱橫聯系中形成創新思維.

一題多解所涉及的各種解題方法，必然存在一定的通法與巧法，教師應有意識地引導學生認識到通法與巧法的存在. 通法能為學生更好地掌握解題技巧奠定基礎，同時教師也要注意避免學生定式思維的形成，不能讓學生看到一道題就只會按照固定的思維去思考，那就得不償失了.

巧法是指針對問題的個性，靈活解決問題的方法，它具有新、巧、奇等特點. 巧法從很大程度上凸顯了數學思維的靈活性與敏捷性. 巧法應用得當，就如靈動之水，會成為學生創造性思維的源泉.

解題訓練是提升學生數學思維的基礎，而擺正通法與巧法的關系是實現解題的關鍵. 教師應引導學生在通法中求巧法，將巧法有機地融于通法中，兩法雙管齊下提高學生的思維層次，優化學生的思維品質，提升學生的創新思維與發散思維.

2. 激發思考是思維成長的關鍵

數學教學從本質上來講，就是思維過程的教學，數學學習的過程是在大腦中構建認知結構的過程. 用問題激發學生思考，是數學教學成功的關鍵，也是學生創新意識形成的根本［3］.

激發學生思考可從以下幾方面著手：（1）激趣，令學生“愿思”. 如耐人尋味的情境、誘人的懸念等，都能有效激發學生的求知欲，讓學生主動去思考. （2）分解難點，令學生“會思”. 高中數學存在不少綜合性強、難度大的問題，教師可結合學情，有意識地分解難點，為學生的思維鋪設更多的臺階，讓學生排除畏難情緒，愿意思考. （3）鼓勵創新，令學生“樂思”. 教師可通過一定的教學手段，引導學生從不同視角去看待與分析問題，形成良好的思維品質，尤其要多肯定學生，讓學生感到思考帶來的成就感.

3. 核心素養是思維發展的歸宿

培養學生的學科核心素養是當今教育教學的主要目標，數學思維能力的培養也為發展數學核心素養服務. 作為高中數學教師，可根據實際情況與教學內容，安排一些綜合性高、探究性強的教學活動，讓學生在活動參與中有效促進思維的成長.

教學活動的安排，最常見的有深入探究、合作交流等，讓學生的思維從求同到求異，通過長期的堅持，逐漸形成獨立思考、勇于嘗試、善于反思、協同合作的學習習慣，獲得用數學的眼光看待世界的能力，讓思維的培養成為促進核心素養形成與發展的主要途徑.

總之，數學是思維的體操，良好的思維能力是發現、分析與解決問題的基礎，是掌握知識與技能的根基，亦是形成良好學習習慣與數學觀的關鍵. 因此，教師應從思想上充分認識到數學思維能力培養的重要性，并將這種認識落實到行動上，為促進學生數學核心素養的形成夯實基礎.

參考文獻：

［1］ 任全紅.數學教學設計視角：關注數學思維過程［J］. 教學與管理，2013（36）：108-110.

［2］ 科斯塔，卡利克. 思維習慣［M］. 李添，趙立波，張樹東，胡曉毅，等譯. 北京：中國輕工業出版社，2006.

［3］ 朱智賢，林崇德. 思維發展心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，1986.