2023年全國乙卷文科第21題的解法與背景探究

秦文波 李超 李潔平

［摘? 要］ 通過對2023年全國乙卷文科第21題（一道解析幾何定點問題）的研究，得到了該題的5種求解方法，獲得了2個推廣結(jié)論，揭示了該類問題的命題背景和命題途徑，豐富了該類問題的內(nèi)容和解法.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；定點；極點極線；調(diào)和點列；命題背景；命題途徑

數(shù)學(xué)運算是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).主要包括理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果等. 從歷年高考來看，解析幾何是考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)最佳的內(nèi)容和載體，2023年也不例外. 其中，2023年全國乙卷文科第21題和理科第20題是相同試題，主要考查學(xué)生借助代數(shù)法研究橢圓幾何性質(zhì)的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，以此檢驗學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平. 鑒于該題的典型性和示范性，為了提高復(fù)習(xí)備考效率，筆者從解法探究、拓展推廣、命題背景等角度對該題展開了深入研究，現(xiàn)將研究結(jié)果呈現(xiàn)出來，以拋磚引玉.

試題呈現(xiàn)

（1）求C的方程；

（2）過點（-2，3）的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點.

解法探究

思路1 設(shè)線，韋達定理，整體代換

解法1 （設(shè)線法1）若直線PQ的斜率不存在，則PQ與橢圓C只有一個交點，不符合題意，故直線PQ的斜率一定存在.設(shè)直線PQ的方程為y-3=k（x+2），P（x，y），Q（x，y）.

故線段MN的中點為定點（0，3）.

評注 由于整個幾何運動系統(tǒng)可以看作由直線PQ繞點（-2，3）旋轉(zhuǎn)引起的，因此選擇設(shè)線法（設(shè)點斜式），即聯(lián)立直線與曲線，得到關(guān)于x或y的方程，借助韋達定理求出兩根和與兩根積，將目標(biāo)式整理成含兩根和與兩根積的形式后，利用整體代入法求解.

思路2 設(shè)線，齊次化聯(lián)立

解法2 （設(shè)線法2）若直線PQ的斜率不存在，則PQ與橢圓C只有一個交點，不符合題意，故直線PQ的斜率一定存在. 設(shè)直線PQ的方程為y-3=k（x+2），P（x，y），Q（x，y），M（0，2t），N（0，2t），所以線段MN的中點的坐標(biāo)為（0，t+t）.

故線段MN的中點為定點（0，3）.

評注 由于原問題可以轉(zhuǎn)化為證明兩直線斜率之和為定值的問題，故設(shè)線后通過齊次化聯(lián)立能夠巧妙求解. 值得注意的是，本解法蘊含著“平移”思想，若希望運算和書寫

思路3 設(shè)點，整體構(gòu)造

解法3 （設(shè)點法1）若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ與橢圓C只有一個交點，不符合題意，故直線PQ的斜率一定存在. 設(shè)P（x-2，y），Q（x-2，y）.

背景探究

1. 類題探源

從歷年高考試題來看，題1與下面的題2和題3是同源試題.

（1）求橢圓E的方程；

（2）過點P（-2，1）作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與x軸交于點M，N，當(dāng)MN=2時，求k的值.

2. 背景探析

通過研究筆者發(fā)現(xiàn)，上述3道試題都是以射影幾何中的調(diào)和點列、調(diào)和線束、極點極線為背景命制的，其命題起點是調(diào)和線束的一個性質(zhì).

性質(zhì)：平面內(nèi)一條直線與調(diào)和線束中的其中一條平行而與其余三條相交，則相交線段被平分. 具體地，如圖1所示，設(shè)直線PA，PB，PC，PD是一簇調(diào)和線束，直線l與直線PA，PB，PC分別交于點E，F(xiàn)，M，若l∥PD，則M為線段EF的中點.

拓展推廣

結(jié)合上述性質(zhì)，得到了下面的結(jié)論.

結(jié)論1 如圖2所示，點T是橢圓C外一點，過點T作兩條直線TA，TB分別與橢圓相切于點A和點B. 直線PQ經(jīng)過點T且與橢圓C相交于P，Q兩點，直線MN經(jīng)過點B且與AP和AQ分別相交于點M和點N，直線AB與直線PQ相交于點E. 若AT∥MN，則B為線段MN的中點.

證明 由于TA，TB均為橢圓的切線，且A，B為切點，所以直線AB為點T對應(yīng)的極線，T，E，P，Q為調(diào)和點列，射線AT，AE，AP，AQ是調(diào)和線束. 因為AT∥MN，根據(jù)上述性質(zhì)，可得B一定為MN的中點.證畢.

進一步研究發(fā)現(xiàn)，結(jié)論1可以推廣到雙曲線、拋物線和圓等二次曲線中，又得到了下面的結(jié)論（證明與結(jié)論1類似，在此略去）.

結(jié)論2 已知點T是圓錐曲線Γ（圓、橢圓、雙曲線、拋物線）外一點，過點T作兩條直線TA，TB分別與圓錐曲線Γ相切于點A和點B. 直線PQ經(jīng)過點T且與圓錐曲線Γ相交于P，Q兩點，直線MN經(jīng)過點B且與AP和AQ分別相交于點M和點N，直線AB與直線PQ相交于點E. 若AT∥MN，則B為線段MN的中點.

試題簡解

1. 題1第（2）問簡解

思路5 巧用極點極線

AT，AE，AP，AQ是調(diào)和線束. 又AT∥MN，故B為線段MN的中點，即線段MN的中點為定點（0，3）.

2. 題2第（2）問簡解

研究展望