注重概念生成，提升學生素養

方俊

［摘? 要］ 概念教學是數學教學的核心組成部分，也是數學核心素養落實的重要載體.文章以“弧度制（第一課時）”的教學為例，呈現弧度制概念從直觀感知到理性構建的生成過程；教學中“以生為本”，積極引導學生思考，帶領學生體會數學學習樂趣；同時闡述概念教學中數學核心素養落實的教學策略以及注意事項，為實際教學提供參考.

［關鍵詞］ 課程標準；新教材；核心素養；概念課；弧度制

筆者有幸在本市新教材課堂教學觀摩暨研討活動中執教人教A版必修第一冊“弧度制（第一課時）”作為觀摩示范課. 這是一節數學概念課. 概念課如何上可以生動有趣，吸引學生注意力的同時還能給學生留下深刻的印象？如何在新課程理念下上好這節概念課？如何把數學核心素養以及新教材的育人理念充分體現出來？這是一個挑戰. 筆者認真研讀新課標，反復琢磨教材內容，通過學習、交流、討論，最終完成了本節課的教學設計，由此執教觀摩示范課取得了較好的教學效果，并得到了同行的一致認可.

下面筆者結合本節課的前期思考、過程實錄（片段）以及課后反思與大家分享交流，不當之處敬請批評指正.

課前思考與推敲

1. 對概念教學的深刻認識與思考

概念教學是數學教學的核心組成部分，一個新概念、新事物的引入，通常都有它的必要性，也是后續知識展開學習的重要鋪墊. “如果先不教明概念，便是教得不好的.”夸美紐斯在《大教學論》中的話充分說明了概念教學的重要性.

由于應試教育的影響，概念教學長期未得到部分教師的足夠重視，部分教師教學概念往往是蜻蜓點水，不注重概念的生成，而是追求例題和習題的講解，通常是“過早引入概念，強調幾個注意事項，講解例題和習題，強化學生練習”這種套路或模式. 實踐證明，這種課堂教學枯燥無味，學生的數學學習興趣大打折扣，不利于學生長遠發展.

事實上，注重概念教學過程，不僅可以提升學生的數學學習興趣，而且概念推導和生成的過程所蘊含的理念和思想有利于培養學生的學習能力，對學生數學核心素養的形成和發展起著至關重要的作用.

2. 對“弧度制”教學現狀的分析

“弧度制”屬于概念教學范疇，受應試教育的影響，很多時候為了追求課堂教學中例題、習題講解的最大化，部分教師在課堂上對弧度制產生的必要性、概念抽象形成的過程以及1弧度角大小的體驗等往往不夠重視，一般是直接切入主題，以模式“給出弧度制概念—例題講解—學生練習”為主. 學生對知識的掌握一般停留在“概念的記憶”層面，雖然通過換算公式“π=180°”“2π=360°”能夠順利實現弧度制與角度制的互化，但是學生對弧度制的產生沒有一個系統的合情推理的探究過程，印象不夠深刻，隨著時間的推移，假如提出“弧度制是如何產生的”“1弧度的角有多大”等問題，學生可能無法回答. 如果課堂上能讓學生親身經歷動手實驗操作、幾何畫板演示等過程，學生對弧度制的產生就會記憶猶新.

特別是隨著新課標的實施以及人教A版高中數學新教材的啟用，教學中教師越來越能體會到新課標對“以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養”的要求越來越高.

基于以上兩點思考，本節課筆者決定以生為本，以提升學生核心素養為導向，利用層層遞進的問題驅動課堂，讓學生經歷一個從直觀感知到理性構建，逐步發現規律的過程，從而增強教學效果，充分體現高中數學課程的基本理念.

教學片段（弧度制概念的生成及強化）實錄

1. 圖形猜想，直觀感知

弧度制——大家細細品味一下這個課題. 關鍵字“弧”讓大家想到了什么？（弧長）什么地方有？（圓〈扇形〉中有）.弧長和角之間到底有沒有關系呢？下面帶著這個想法從“形”的角度展開今天的探究.

如圖1所示，射線OA繞端點O逆時針旋轉到OB形成角α（現在我們不考慮旋轉方向對角產生的影響）. 以O為圓心作一個半徑為r的圓與射線OA，OB分別相交于點P，P1形成圓弧PP1，記圓弧PP1的長為l；再以O為圓心作一個半徑為r1的圓與射線OA，OB分別相交于點Q，Q1形成圓弧QQ1，記圓弧QQ1的長為l1.

事實上，這樣的圓可以作出無數個，大家不難發現圓弧PP，QQ都與圓心角α存在對應關系，但是圓弧PP，QQ的長卻是不等的.

“不等的圓弧卻對著相等的圓心角”——如何來實現這變與不變、動與靜的統一？

是誰引起了圓弧的長的改變？——半徑——提示我們從弧長和半徑的關系入手（學生討論出圓弧的長與圓的半徑的比值不變）.

設計意圖 通過“弧”字引發學生思考和討論，把學生的思路引導到“圖形”上去，讓學生直觀形象地觀察角與弧的關系（變與不變、動與靜的辯證關系），并通過一連串問題，引導學生進一步想到引起弧長變化的量為半徑，猜想弧長與半徑的比值的不變性.整個分析過程層層遞進，符合學生的認知發展規律，并且通過這一輪的思考和交流，學生的學習熱情得到進一步提升.

2. 演繹推理，理性構建

下面我們從“數”的角度來分析這個問題.

3. 技術驅動，深度驗證

下面我們通過幾何畫板再次體會這一結論.

事實上，在18世紀，偉大的瑞士數學家歐拉（圖4）明確提出了弧度制思想——利用圓弧的長和圓的半徑的比值定義了角的大小（此處教師一定要重點強調比值）.

通過圖形猜想、演繹推理、幾何畫板驗證后順其自然地給出弧度制的概念，一氣呵成，學生不僅對弧度制的印象深刻，而且知道弧度制的來龍去脈. 教學效果十分明顯.

4. 動手實驗，強化理解

現在我們有了弧度的計算公式，也有了1弧度的角的概念，那么1弧度的角到底有多大呢？現在我們動手親身體會一下.

動手實驗：教師提供畫好的圓（黑板上和A4紙上畫好的圓，如圖5所示）以及細繩，邀請兩名學生上黑板作圖并讓他們分享自己的做法，講臺下的學生以三人為一組作圖，親身體會“1弧度的角到底有多大”（見圖6、圖7）.

學生分享：先將繩子的一端與圓心O重合，通過比對的方式量出與圓的半徑等長的一段繩子，并在另一端做好記號. 再將這段繩子的一端固定在點A處，把繩子緊貼著圓周量出一段與半徑等長的圓弧AB，連接OB，則由弧度制的定義可知，圓心角AOB就是1弧度的角.

“1弧度的角比60度的角要小一些”，你覺得有道理嗎？——引導學生從“形”的角度進行解釋.

學生分析：在圓周上移動點B，將扇形AOB的圓弧AB拉直，能形成一個邊長等于r的等邊三角形，此時圓心角AOB等于60度，變大了，顯然1弧度的角比60度的角要小一些.

設計意圖 學習弧度制后，學生都想知道1弧度的角的大小，于是引導學生通過實際操作，直觀感受1弧度的角的大小，知行合一、學思結合，不僅強化了弧度制的核心理念——用弧長和半徑的比值來定義角，同時讓學生對1弧度的角的大小有了深刻印象.在以后的學習過程中，如果再遇到弧度制的概念以及1弧度的角的大小問題，學生一旦想起曾在課堂上做過相應的實驗，一定能激活記憶.

（說明：文中省去了新課導入、當堂檢測、例題講解、課堂小結等環節）

教學反思與感悟

1. 落實生成是提升數學核心素養的重要環節——引導“學”

新課標指出，高中數學教學要“把握數學本質，啟發思考”. 本節課通過創設情境，引導學生直觀感知和思考“弧”與“角”的關系，借助幾何畫板驗證學生的猜想，讓學生從本質上去理解弧度制產生的意義，去掌握弧度制的概念，有效提升了學生的數學抽象、邏輯推理等核心素養.

數學抽象是數學學科核心素養的首要素養，是學生形成理性思維的重要基礎. 而數學概念是最能夠有效體現抽象環節的教學內容，所以教師要足夠重視概念課，在概念課上要“舍得”花時間，把思考與探究、交流與合作等活動融入概念生成過程，讓學生在引導下真正領悟概念，培養學生科學嚴謹的治學態度以及嚴密的邏輯推理能力，真正體現數學課堂以生為本、立德樹人的理念，有利于學生長久發展.

本節課注重學生的實驗操作和合作探究，實驗是學生獲取知識最直接且行之有效的方式. “1弧度的角到底多大？”如果僅僅停留在概念“長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角是1弧度”上，學生對“1弧度的角”不會有深刻的印象. 課堂上的實驗先從“形”的角度入手，讓學生在圓形中找到1弧度的角，然后從“數”的角度進行深化，計算得到1 rad≈57.30°=57°18′，讓1弧度的角的大小顯示得更加精確. 一系列實驗操作后，對學生來說，1弧度的角有一種躍然紙上的感覺，十分形象直觀. 而且整個實驗過程進一步強化了弧度制的概念，滲透了數形結合思想，彰顯了數學本色.

2. 學生參與課堂是數學核心素養落實的根本——主動“學”

概念教學可以說是提升學生數學核心素養非常重要的載體. 教師要意識到概念教學的意義，注重概念的生成，揭示概念的本質，充分發揮概念課培養學生綜合能力、提升學生核心素養的作用.

新課標指出，高中數學教學要以學生發展為本，落實數學核心素養.學生是課堂活動的主體，只有學生真正參與了知識生成的過程，才能真正落實數學核心素養. 所以在數學課堂中，教師要充分發揮學生的主體作用，設計合理的教學活動，鼓勵并引導學生參與其中. 學生主動學習知識的同時，各方面能力、數學核心素養等都將得到大提升. “一言堂”“滿堂灌”，這些沒有學生真正參與的課堂，核心素養的落實將大打折扣.

本節課通過設問回答、活動操作等積極引導學生參與知識生成的過程，學生參與度高，真正成了課堂學習的主體.

3. 學習興趣是數學核心素養形成的有力保障——快樂“學”

興趣是最好的老師，是學生形成學習“內驅力”的關鍵. 學生對數學有興趣，離落實數學核心素養就更近，因此在教學中，特別是在略顯枯燥的概念教學中，教師就要充分發揮自身的能動性，充分利用信息技術，如幾何畫板、GeoGebra等軟件輔助教學，通過動態展示，探索、揭示規律，同時根據教學內容，適時融入數學文化，引導學生感悟數學文化的價值和魅力，激發學生學習數學的興趣，提高教學的有效性. 感興趣，才有利于進一步落實學生的“四基”和“四能”，提升學生的數學核心素養.

本節課注重數形結合思想，融入數學文化的同時充分利用幾何畫板輔助教學，并積極設計操作活動，有效提升了學生學習數學的興趣，使原本枯燥無味的概念課變得生動有趣，讓數學核心素養的落實自然自覺成為一件有意義的事情.

心理學研究表明：知識不是老師教會的，而是學生通過老師傳遞的信息自己領悟的. 在數學教學中，教師應積極創設活動條件，注重探索過程，加大學生參與力度，讓學生“動起來”，讓課堂“活起來”，讓數學課堂的育人魅力充分展現出來！數學概念課更是如此！