例析二次函數零點分布問題及求解策略

冀文娟

(廣東省珠海市實驗中學)

二次函數是中學數學的重要函數之一,以二次函數為背景的零點問題一直是高考考查的重點.這類問題主要考查學生函數與方程思想、分類討論思想以及數形結合思想等,對學生的思維能力要求較高.本文通過對具體例題的剖析,引導學生找到解決零點問題的突破口,歸納其中蘊含的規律,為快速解決此類問題奠定基礎.

1 基礎知識

1.1 零點存在定理

如果函數y＝f(x)在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的一條曲線,并且有f(a)?f(b)＜0,那么函數y＝f(x)在區間(a,b)內有零點,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,這個c也就是方程f(x)＝0的根.

1.2 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零點分布類型

設x1,x2為實系數方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩個根,則f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的零點分布及充要條件如表1所示.

續表

表1

從表1 可以看出,涉及二次函數的零點分布問題,一般情況下可以從以下四個方面分析思考并確定限制條件:

1)二次函數的開口方向;

2)二次函數對應的一元二次方程的判別式;

3)二次函數的對稱軸與零點分布區間端點間的大小關系;

4)區間端點的函數值的正負情況.

具體還要結合題目條件進行合理選擇.

2 應用舉例

2.1 已知零點個數求參數范圍

例1 設a為實數,若方程x2－2ax＋a＝0在(－1,1)上有兩個不相等的實數根,則a的取值范圍是( ).

A.(－∞,0)∪(1,＋∞)

B.(－1,0)

令g(x)＝x2－2ax＋a,由方程x2－2ax＋a＝0在(－1,1)上有兩個不相等的實數解得

例2 (多選題)已知函數f(x)＝x2＋ax＋b(a＞0)有且只有一個零點,則( ).

A.a2－b2≤4

C.若不等式x2＋ax－b＜0的解集為(x1,x2),則x1x2＞0

D.若不等式x2＋ax＋b＜c的解集為(x1,x2),且|x1－x2|＝4,則c＝4

則函數g(x)＝f(x)－ax恰有兩個零點,從而

解得4＜a＜8,則a的取值范圍是(4,8).

方法2 作出函數f(x)的示意圖,如圖1所示,直線l1是過原點且與拋物線y＝－x2＋2ax－2a相切的直線,l2是過原點且與拋物線y＝x2＋2ax＋a相切的直線.結合圖像及a＞0,可知當直線y＝ax在直線l1與l2之間(不含l1,l2)變動時,符合題意.由,得x2－ax＋2a＝0,由Δ＝a2－8a＝0,解得a＝0(舍)或8;由得x2＋ax＋a＝0,由Δ＝a2－4a＝0,解得a＝0(舍)或4,從而4＜a＜8,則a的取值范圍是(4,8).

圖1

例4 已知函數f(x)＝|x2＋3x|(x∈R).若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有四個不相等的實數根,則實數a的取值范圍為_________.

方法1 由f(x)－a|x－1| ＝0,得|x2＋3x|＝a|x－1|,由題意易知a＞0,y＝a|x－1|的圖像過定點A(1,0),作出函數f(x)＝|x2＋3x|的圖像,如圖2所示.

圖2

圖3

當y＝－a(x－1)與y＝－x2－3x相切時,由得x2＋(3－a)x＋a＝0,由Δ＝(3－a)2－4a＝0,解得a＝9(舍)或1,此時f(x)－a|x－1|＝0恰有三個不相等的實數根.

當直線y＝a(x－1)與函數y＝x2＋3x相切時,

例5 已知a是實數,函數f(x)＝2ax2＋2x－3－a,若函數y＝f(x)在[－1,1]上有零點,求a的取值范圍.

方法1 函數y＝f(x)在[－1,1]上有零點,即方程2ax2＋2x－3－a＝0在[－1,1]上有解.當a＝0時,方程2x－3＝0在[－1,1]上無解,不符合題意,所以a≠0.

當f(－1)f(1)＝0時,(a－5)(a－1)＝0,解得a＝5或1,符合題意.當f(－1)f(1)≠0時,若2ax2＋2x－3－a＝0 在(－1,1)上有一個解,則f(－1)?f(1)＜0,即(a－5)(a－1)＜0,解得1＜a＜5;若2ax2＋2x－3－a＝0在(－1,1)上有兩個解,則

解得a＞5或

綜上,實數a的取值范圍是[1,＋∞).

方法2 當a＝0時,方程2x－3＝0在[－1,1]上無解,不符合題意,所以a≠0.函數y＝f(x)在[－1,1]上有零點,即方程2ax2＋2x－3－a＝0 在[－1,1]上有解,也即方程在[－1,1]上有解.令

解得a＞5或

綜上,實數a的取值范圍是[1,＋∞).

方法3 當a＝0時,方程2x－3＝0在[－1,1]上無解,不符合題意,所以a≠0.

二次函數的零點問題呈現方式多樣,但萬變不離其宗,只要結合題目條件,充分利用三個“二次”間的關系,直接利用結論求解,或通過分類討論、數形結合、分離參數等方法將復雜問題條理化、簡單化、直觀化,便可順利解決此類問題.

2.2 與二次函數有關的復合函數零點問題

例6 已知函數f(x)＝x2＋(a－1)x－a(a∈R).若函數g(x)＝f(f(x))有且僅有兩個零點,則實數a的取值范圍是_________.

由題意得f(x)＝(x－1)(x＋a),令t＝f(x),則g(x)＝f(t).由f(t)＝0,得t＝1或－a,即f(x)＝1或－a.由題意知方程f(x)＝1與f(x)＝－a共有兩個不同的實數根.由f(x)＝1,得x2＋(a－1)x－(a＋1)＝0,則Δ＝(a－1)2＋4(a＋1)＝(a－1)2＋4＞0,即方程f(x)＝1有兩個不同實數根.由f(x)＝－a,得x2＋(a－1)x＝0,解得x＝0或1－a,故方程x2＋(a－1)x－(a＋1)＝0的兩個根也只能是x＝0或1－a,從而－(a＋1)＝0,解得a＝－1,即實數a的取值范圍是{a|a＝－1}.

易知－x2－4x－3＝－(x＋2)2＋1(x≤0),作出函數f(x)的圖像,如圖4 所示.設t＝f(x),y＝t2＋mt＋1＝g(t),從 而 函 數y＝[f(x)]2＋mf(x)＋1 有六個零點等價于函數g(t)在[－3,1)上有兩個不相等的實數根,則

圖4

圖5

圖6

求解有關復合函數問題的關鍵是要弄清復合關系,先對內函數、外函數的特征分別進行研究,各個擊破,再根據題意整體考慮,找出滿足題設要求的情形,最后利用相關知識與方法求解.

2.3 借助參數范圍求解與參數有關的代數式范圍

例8 若函數f(x)＝x2＋mx＋n在(－1,1)上有兩個零點,則n2－m2＋2n＋1 的取值范圍是( ).

A.(0,1) B.(1,2)

C.(0,4) D.(1,4)

令y＝f(x)的兩個零點為x1,x2,則x1,x2∈(－1,1),x1≠x2,且

由n2－m2＋2n＋1＝(1＋m＋n)(1－m＋n),得

從上述幾道例題的求解過程不難看出:求解二次函數零點問題是有章可循的,無論題目怎樣變化,都要熟練掌握二次函數的圖像和性質,充分挖掘題設信息,靈活選擇適當的解題方法,就能使問題獲解.

教師作為學生學習的引路人,在課堂教學中應不斷地培養和訓練學生分析思考問題的能力,探究并發現解題規律,觸類旁通,找到解決一類題目的通法,提升學生的數學學科核心素養,為學生終身學習奠定基礎.

鏈接練習

1.方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的一根在區間(2,3),另一根在區間(3,4)內,則m的取值范圍是( ).

2.已知函數f(x)＝x2－2|x|－m的零點有兩個,則實數m的取值范圍是( ).

A.(－1,0) B.(－1)∪(0,＋∞)

C.[－1,0)∪(0,＋∞) D.(0,1)

4.(多選題)已知函數f(x)＝|x2＋3x＋1|－a?|x|(a∈R),則下列結論正確的是( ).

A.若f(x)沒有零點,則a∈(－∞,0)

B.若f(x)恰有2個零點,則a∈(1,5)

C.若f(x)恰有3個零點,則a＝1或a＝5

D.若f(x)恰有4個零點,則a∈(5,＋∞)

5.已知函數f(x)＝x2＋(a－1)x－a(a∈R).若函數g(x)＝f(f(x))有且僅有兩個零點,則實數a的取值集合是________.

6.若函數f(x)＝m?|3x－1|2－4?|3x－1|＋1(m＞0)在R上有四個不同的零點,則實數m的取值范圍是_________.

鏈接練習參考答案

1.C.2.B.3.B.4.AC.5.{－1}.6.(3,4).

(本文系2023年度珠海市規劃課題“核心素養下通性通法在高中數學課堂教學中的有效生成——以‘函數專題’為例”(課題編號:2023ZHGHKT155)的階段性研究成果.)

(完)