權(quán)方和不等式巧解高考題

林國(guó)紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué))

高中階段有一些重要的不等式,如均值不等式和柯西不等式,這些不等式在解題時(shí)能發(fā)揮重要的作用.此外,我們還經(jīng)常看到一個(gè)特殊的不等式——權(quán)方和不等式的身影.特別是近幾年高考題、各省市模擬試題中有些不等式題悄然出現(xiàn)權(quán)方和不等式的結(jié)構(gòu)形式.權(quán)方和不等式將向量不等式、柯西不等式及其變式統(tǒng)一起來,是一個(gè)結(jié)構(gòu)對(duì)稱、形式優(yōu)美的重要不等式.如果能夠根據(jù)題設(shè)、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征,巧妙配湊目標(biāo)式子使之具備權(quán)方和不等式結(jié)構(gòu)特征,再靈活選用權(quán)方和不等式解題往往能使解題過程簡(jiǎn)潔明了,能起到事半功倍的效果.

若ai,bi∈R?(i＝1,2,…,n),且m＞0,則

1 權(quán)方和不等式求最值

例1 (2018年江蘇卷理21)若x,y,z為實(shí)數(shù),且x＋2y＋2z＝6,求x2＋y2＋z2的最小值.

因?yàn)閤＋2y＋2z＝6,由權(quán)方和不等式,得

例2 (2019年全國(guó)Ⅲ卷文、理23)設(shè)x,y,z∈R,且x＋y＋z＝1.

(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值;

成立,證明:a≤－3或a≥－1.

2 權(quán)方和不等式證明不等式

例3 已知a,b,c均為正數(shù),且a＋b＋c＝1,證明

證明 因?yàn)閍＞0,b＞0,c＞0,且a＋b＋c＝1,所以由權(quán)方和不等式,可得

例4 (2017年全國(guó)Ⅱ卷文、理23)已知a＞0,b＞0,a3＋b3＝2,證明:

(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4;

(2)a＋b≤2.

證明 (1)略.

(2)因?yàn)閍＞0,b＞0,所以由權(quán)方和不等式,可得

于 是(a＋b)3≤8,即a＋b≤2,當(dāng) 且 僅 當(dāng)即a＝b＝1時(shí),等號(hào)成立.

例5 (2019年全國(guó)Ⅰ卷文、理23)已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc＝1,證明:

證明 (1)略.

(2)因?yàn)閍,b,c為正數(shù),于是a＋b＞0,b＋c＞0,c＋a＞0,所以由權(quán)方和不等式與均值不等式,可得

例6 (2022年全國(guó)甲卷文、理23)已知a,b,c均為正數(shù),且a2＋b2＋4c2＝3,證明:

(1)a＋b＋2c≤3;

(2)若b＝2c,則

證明 (1)因 為a,b,c均 為 正 數(shù),且a2＋b2＋4c2＝3,所以由權(quán)方和不等式,可得

(2)證法1 因?yàn)閎＝2c,且a2＋b2＋4c2＝3,所以a2＋8c2＝3.

由權(quán)方和不等式,可得

證法2 由(1)可知a＋b＋2c≤3,又b＝2c,所以0＜a＋4c≤3,即

由權(quán)方和不等式,可得

權(quán)方和不等式在解決分式型不等式中占有重要地位,要根據(jù)題目的條件或結(jié)論靈活變形,使其符合權(quán)方和不等式的應(yīng)用形式.對(duì)于一些整式的問題,需要先化為相應(yīng)的分式,因?yàn)檎娇梢钥闯煞帜笧?的分式,而且1的任何次冪都是1,從而便于利用權(quán)方和不等式.

權(quán)方和不等式是一個(gè)很重要的不等式,可用于處理分式不等式、放縮求最值、證明不等式等問題,在高考中有著廣泛的應(yīng)用.權(quán)方和不等式形式簡(jiǎn)潔、結(jié)構(gòu)漂亮,合理使用權(quán)方和不等式可以避免不等式放縮過程中許多技巧性很強(qiáng)的湊配.從上述例子,可以充分體會(huì)權(quán)方和不等式的“魅力”,用一句話來概括:用權(quán)方和不等式,簡(jiǎn)萬般繁雜運(yùn)算.直接用“簡(jiǎn)潔明了”,配湊用“小巧玲瓏”,變換用更是“威力無窮”.

(完)