一道強基計劃題目的錯解分析及變式探究

劉選狀

(廣東省深圳市第二實驗學校)

數學素養是人們通過數學教育以及自身的實踐認識活動所獲得的數學基礎知識、基本技能、數學思想和方法,以及由此形成的數學思維品質和解決問題能力的總和.教師應以培養學生的數學素養為目標,拓展學生的數學視野,使其形成良好的數學思維品質.教師不僅要教學生解決一個數學問題,而且要引導學生解決與之相關的一系列問題,這樣才能拓寬學生的數學思維.與此同時,學生在解決數學問題的過程中,難免會產生錯誤的方法,這就需要教師正確引導,讓學生理解并且知道錯誤的原因,提升學生數學思維的嚴謹性.近年來各高校強基計劃的考試真題備受青睞.學生在解決2022年北京大學強基計劃的一道數學題時,就出現了問題,本文對該問題進行詳細分析及變式探究.

1 原題呈現

題目 (2022年北京大學強基計劃數學試題19)已知△ABC三邊長為等差數列,則cosA＋cosB＋cosC的取值范圍是________.

2 錯解展示

部分學生是利用“主元法”求出其最大值,過程如下.

設f(A)＝cosA＋cosB－cos(A＋B)(A∈(0,π－B)),則

3 錯解分析

學生把cosA＋cosB－cos(A＋B)看成是關于變量A的函數,殊不知這就出現了問題.

不妨設三邊長a,b,c為等差數列,則a＋c＝2b.

由正弦定理可得sinA＋sinC＝2sinB,則

因此,有

由此可知方程②確定了一個B關于A的隱函數,即A和B兩個角并不是獨立的,而是有關系的,對于變量A來說,B并不是常數,而是與A有關的一個量.學生產生錯誤的原因是沒有深入分析A和B兩個變量的關系,從而導致解題過程的錯誤.

4 正解賞析

不妨設三邊長a,b,c為等差數列,則a＋c＝2b.

方法1 (正弦定理＋和差化積)由式①可得

對于多變量的三角函數可以利用正弦定理、和差化積公式將多變量函數化為單變量函數,從而解決求取值范圍的問題.

方法2 (余弦定理)由余弦定理可知

由于所求的是余弦值的和,同時給出三邊的關系,自然而然想到余弦定理,通過余弦定理把角轉化為邊,再利用邊的關系和雙勾函數的性質解決問題.

5 變式探究

由學生錯誤解法出現的原因可知:如果沒有條件限制,就可以利用此方法解決該問題的最大值.由此,我們進一步思考以下變式問題.

變式1 已知△ABC的內角分別為A,B,C,求cosA＋cosB＋cosC的取值范圍.

除了上述方法外,還可以利用如下兩種方法求出其最大值.

方法1 因為A＋B＋C＝π,則

方法2 一方面:由嵌入不等式x2＋y2＋z2≥2xycosA＋2yzcosB＋2zxcosC,令x＝y＝z＝1,可得

另一方面:

因為A,B,C∈(0,π),所以0,因此,有

當A→π,B→0,C→0時,可得cosA＋cosB＋cosC→1,由連續性可得cosA＋cosB＋cosC的取值范圍是(1].

思考 如果把變式1中的一個余弦值換成正弦值,結果會是什么?

變式2 已知△ABC的內角分別為A,B,C,求cosA＋cosB＋sinC的取值范圍.

一方面:因為A,B,C∈(0,π),且A＋B＋C＝π,所以

另一方面:

1)當△ABC為銳角三角形或直角三角形時,有

2)當△ABC為鈍角三角形時,若C為鈍角,則cosA＋cosB＋sinC＞0;若A或B為鈍角,不妨設A為鈍角,則A＋B＜π,即B＜π－A,所以cosA＋cosB＞0,因此,cosA＋cosB＋sinC＞0.當A→π,B→0,C→0時,cosA＋cosB＋sinC→0,由連續性可得cosA＋cosB＋sinC的取值范圍是

思考 如果把變式1中的兩個余弦值換成正弦值,結果會是什么?

變式3 已知△ABC的內角分別為A,B,C,求cosA＋sinB＋sinC的取值范圍.

一方面:因為cosA＜1,sinB≤1,sinC≤1,所以cosA＋sinB＋sinC＜3.

當A→π,B→0,C→0時,可得cosA＋sinB＋sinC→－1,由連續性可得cosA＋sinB＋sinC的取值范圍是(－1,3).

思考 如果把變式1中的三個余弦值都換成正弦值,結果會是什么?

變式4 已知△ABC的內角分別為A,B,C,求sinA＋sinB＋sinC的取值范圍.

一方面:因為A,B,C∈(0,π),所以根據y＝sinx在[0,π]上是凹函數,利用琴生不等式,可得

另一方面:因為A,B,C∈(0,π),所以sinA＋sinB＋sinC＞0.

當A→π,B→0,C→0時,可得sinA＋sinB＋sinC→0,由連續性可得sinA＋sinB＋sinC的取值范圍是

6 實戰應用

近幾年競賽、強基計劃等考試中頻繁出現與三角形有關的多變量的取值范圍問題.

1.(2017年北京大學優秀中學生暑期體驗營綜合測試3)已知△ABC的內角分別為A,B,C,證明:cosA＋cosB＋cosC＞1.

2.(2022年全國高中數學聯賽福建賽區預賽8)已知α,β,γ∈(0,π),且α＋β＋2γ＝π,則cosα＋cosβ＋sin2γ的最大值為_________.

容易知道:第1 題就是變式1 的一部分;在第2題中,如果我們將α,β,2γ看成是三角形的三個內角,則此題就是變式2的一部分,易得最大值為,當且僅當時,取到最大值.

本文討論的問題看似平常,實則富有深意.通過對題目進行錯解展示、正解賞析、變式探究、實戰應用,讓學生了解了探究數學問題的步驟,同時,也開闊了學生的思維視野,提升了思維品質,將相關知識融合在一起,有利于學生從整體上把握并運用數學知識,這也是數學核心素養的基本要求.

(完)