聯想公差(或公比)巧解數學問題

李居強 李 琪

(陜西省寶雞市教育教學研究室)

在高三復習過程中,經常會碰到一些較難的綜合問題,比如函數求值、證明條件不等式、求參數取值范圍、解無理方程等.有時已知條件與要解決目標之間的關系較為隱蔽,讓我們束手無策.若能轉變思路,另辟蹊徑,或許就能“柳暗花明”.本文介紹聯想公差(或公比)巧解難題,也就是若題目的已知條件中隱含著等差(或等比)數列的條件(比如兩數和(或積)為常數),直接解決該題比較困難時,就應及時聯想公差(或公比),從而改變問題的結構,使得解題過程簡捷、新穎.

聯想1 若x＋y＝k(常數),則成等差數列.

聯想2 若x?y＝k(k＞0且為常數),則x,k(或－k),y成等比數列.

若已知條件能構造以上形式,則用公差d(或公比q)就可以表示x,y,從而使問題迎刃而解,本文舉例說明.

1 解函數問題

在解函數求值問題時,若已知和(或積)為常數,我們就可以按照前面的聯想,利用等差(或等比)數列解決問題.

2 證明不等式

在證明不等式時,有些已知條件針對所要證明的結論而言,切入點比較難找,學生往往在此處花費了大量的時間和精力,有時找到的方法還是一個“死胡同”.但若題目已知中有和(或積)為常數的條件,并能及時聯想到等差(或等比)數列,問題就簡單得多了.

例4 已知a,b∈R?,a＋b＝1.求證:

這道題也有很多解法,但大部分解法思路比較繁雜,學生不易掌握,而通過構造公差法可以降低難度.

由于a＋b＝1,設,其中d為公差,則

例5 已知a＋b＝2k(k為常數),求證:a4＋b4≥2k4.

證明 根據題設a＋b＝2k,可知a,k,b成等差數列.故令a＝k－d,b＝k＋d,其中d為公差,則

3 求取值范圍

對于有些求參數取值范圍的問題,如果條件中有和(或積)為常數的條件,那么及時構造公差(或公比)解題,往往會起到化難為易、化繁為簡的效果.

例6 已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,若a2＋b2≥k恒成立,求k的最大值.

此題可以用均值不等式解決,也可以通過數形結合利用幾何意義解決,但聯想到等差數列中的公差,可以降低思維難度.

4 解無理方程

解含兩個及以上根式的無理方程,過程一般比較煩瑣,但如果無理方程是根式之和(或之積)為常數的形式,可聯想等差數列(或等比數列)解題.

該無理方程涉及二次根式和三次根式,直接利用乘方的辦法特別繁冗,若把無理方程通過整體思想看成兩項和為1,聯想等差數列來解決,思維難度、計算難度都會明顯降低.

本文從三個方面說明了聯想公差(或公比)巧解數學問題可以降低問題難度,筆者認為,教會學生通過聯想解決數學問題的思維方式比解決這幾道題更值得反思總結.希望通過本文的啟發,能拋磚引玉,拓寬學生聯想、轉化的數學思維方法.

鏈接練習

1.(2020年新高考Ⅰ卷11,多選題)已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,則( ).

2.(2017年北京卷文11)已知x≥0,y≥0,且x＋y＝1,則x2＋y2的取值范圍是_________.

3.(2019 年 天 津 卷13)設x＞0,y＞0,x＋2y＝4,則的最小值為_________.

4.已知,則sinθ－cosθ的值為_________.

5.解方程:x2＋8x＋21＋x2－8x＋21＝10.

鏈接練習參考答案

(完)