高中數學解題中數形結合的應用

薛亞瓊

【摘要】目前高中數學的教學改革重心落到了提高學生的核心素養方面，數形結合是高中數學重要的思想方法，是學生核心素養提升的重要途徑，那么如何讓“數形結合”有效地滲透到數學教學過程中，并進而培養學生的數學核心素養呢？本文就此從集合、函數等知識的解題教學入手，詳細闡述數形結合法的應用技巧.

【關鍵詞】高中數學；解題；數形結合

【摘要】目前高中數學的教學改革重心落到了提高學生的核心素養方面，數形結合是高中數學重要的思想方法，是學生核心素養提升的重要途徑，那么如何讓“數形結合”有效地滲透到數學教學過程中，并進而培養學生的數學核心素養呢？本文就此從集合、函數等知識的解題教學入手，詳細闡述數形結合法的應用技巧.

【關鍵詞】高中數學；解題；數形結合

數形結合在高中數學解題中有著極其重要的應用，通過數形結合思想方法可以借助圖象直觀地解釋代數之間的關系，同時也能將幾何圖形轉化為代數的計算問題，達到將抽象的問題直觀化，將復雜的數學問題簡單化的目的，數形結合思想的本質是將直觀圖形與抽象數量關系聯系在一起，通過分析圖形表示的數學意義，結合數學定理、公式等知識找到解題思路.數與形既相互轉化，又相互補充，是學生核心素養養成的重要方法體現.

1 在集合解題中的應用

在集合運算中，如果單純從文本語言、符號語言方面入手，很難理清數量關系，找到解題突破口.而借助數形結合思想可以使集合運算一目了然，直觀地觀察到集合的補、并、交等關系，使解題簡單化.

例1 假設平面點集

A=x，yy－xy－1x≥0，

B=x，yx－12+y－12≤1，求A∩B表示的平面圖形面積.

解析 顯然，單純從字面上很難理清各數量之間的關系，尤其是其中還包含二元一次函數.若想求兩個集合交集成的平面圖形面積，就要應用數形結合思想，將抽象的數學語言轉化為直觀的圖形，再以圖形為基礎尋找解題思路.

首先，題目給出了集合

A=x，yy－xy－1x≥0，

可得到兩種情況.第一種情況是①y－x≥0且y－1x≥0，第二種情況是②y－x≤0且y－1x≤0.結合函數知識可知上述兩種情況屬于函數y=x，y=1x 滿足不等式組①或②成立時的公共部分.

其次，集合B={（x，y）|（x－1）2+（y－1）2≤1}，可將它看成是圓心為1，1，半徑是1的圓.分析到這一步，就可以將兩個集合轉化為圖形，如圖1所示.最后，求A∩B表示的平面圖形.觀察圖1就能夠看出三種圖形的公共區域面積就屬于所求的平面圖形.又因為直線y=x既是圓的對稱軸，又是直線y=1x的對稱軸，那么陰影部分的面積就等于圓面積的一半，即π2.從這道題的解析中不難發現，其關鍵點在于能夠將兩個集合轉化為圖形.做到這一步之后，集合的交集求解就會簡單很多.

2 在函數解題中的應用

函數解題是應用數形結合思想的重要領域.函數知識板塊的重點包括函數表達式、函數圖象.在解題中經常需要通過圖形進行函數表達式、函數圖象的相互轉化，找到不同數量關系在數學邏輯上的聯系，確定解題思路.尤其是在復雜的分類討論、參數范圍等綜合題型中數形結合思想應用更廣泛.

例2 求函數y=x2+4+x2－4x+20的值域.

解析 題干信息比較簡單，只有函數表達式.所以，我們要從函數表達式入手.對于這類題型，一般是應用配方法將函數表達式轉化為代表定點距離之和的式子.

其中x2+4可將其轉化為x－02+0－22，看作是數軸上點Px，0到點A0，2的距離.x2－4x+20x2－4x+4+16x－22+42x－22+［0－（－4）］2，可看作是點Px，0到點B2，－4的距離.點Px，0可看作是直線x軸上任意一點.這時就能夠將求值域的問題轉化為直線x軸上任意一點到兩個定點之和的取值范圍，解題難度大幅度下降，計算也更加簡單.如圖2所示的點關系圖，只有三點在同一條直線上，點Px，0到點A0，2、B2，－4的距離和為最小，即ymin=0－22+［2－（－4）］2=210.那么y=x2+4+x2－4x+20的值域為210，+∞.從這道題目的解析中能夠看出，只有利用數形結合思想，化難為易，化繁為簡，才能準確推導、計算，得出正確的結論.

3 在三角問題中的應用

數形結合思想是重要的數學思想方法，在學生的學習與解題中，發揮著重要的作用.數形結合的本質是將數與圖形結合，明確解題思路.三角知識是高中數學的重要內容，對于三角知識相關的題目，利用數形結合進行分析，尋找問題的本質，利用圖形的直觀性，提高學生解題效率.因此，在三角問題解題中，利用數形結合，活化解題思路，提高解題效率.

例3 求證：sin20°＜720.

解析 在此題解答時，如果利用三角方法證明，解題難度比較大.因此，教師可以引入數形結合思想，利用單位圓，結合面積計算公式，對問題進行解答.如圖3所示，在單位圓內，三角形AOB的面積是S△AOB=12×1×1×sin20°，扇形AOB的面積是S扇形AOB=12×20π180×12=12×π9，因為三角形AOB的面積比扇形AOB的面積小，所以12sin20°＜12×π9＜12×720，所以sin20°＜720.

4 結語

總而言之，數形結合思想方法是核心素養的重要內容，學生在應用數形結合思想時，應根據題干條件，靈活轉化圖形與數量關系，再結合已學數學知識列出等式進行計算.這樣就能降低解題難度，提升解題效率.

參考文獻：

［1］黃希.數形結合方法在高中數學教學中的應用探究［J］.數學之友，2023，37（02）：47-48.

［2］胡亮.數形結合方法在高中數學教學中的應用探析［J］.數理化解題究，2022（33）：26-28.

［3］劉喆瓊.數形結合方法在高中數學教學中的應用研究［J］.科幻畫報，2022（11）：76-78.