變式促進深度學習，探究提升思維品質

李薈

摘 要： 在整個初中數學知識體系中，二次函數線段問題是重中之重，也是考察的熱點.但在傳統教學中，學生針對這一部分知識學習依然停留在淺層階段中，無法觸摸知識的內核本質，學生只能解決簡單的問題，一旦遇到較復雜的問題就無從下手.鑒于此，唯有基于變式訓練，引導學生在一題多變中，完成知識的深度學習，才能真正提升學生的解題效率.本論文就以此作為研究的視角，結合一定的題目，針對二次函數中線段問題的變式訓練進行了詳細地探究，旨在提升學生的數學解題能力.

關鍵詞： 初中數學；思維品質；二次函數；線段問題；變式訓練

二次函數在教學中占據十分重要的地位，線段最值問題也是初中數學考察的熱點.鑒于數學學科的特點，常常將兩者結合到一起，進行綜合性的考察.在傳統初中數學課堂教學模式下，由于初中生學習到的知識點十分零散，并且學生自身思維能力發展有限，在面對二次函數中線段問題時，常常無從下手，無法形成明確的解題思路.鑒于此，初中數學教師在優化課堂教學時，唯有轉變傳統的解題教學模式，以具體的二次函數中線段問題作為例題，積極開展變式訓練，促使學生在一題多變中，完成數學知識的深度理解、遷移和運用，真正提升學生的數學解題能力.另外，變式訓練也是一種思維訓練，極大地發展了學生的數學綜合素養.

1 變式訓練與數學解題教學

鑒于數學學科的特點，解題教學是初中數學教學的重要組成.現行數學教材上的題目，基本上都是對概念、公式、性質的直接運用，旨在借助相關的習題訓練，幫助學生完成數學概念、數學公式、數學性質的理解.但是在考試的時候，題目更具綜合性，涉及到的知識點更多， 對學生的要求更高.面對這一類型的題目，學生常常是無從下手，找不到具體的解題思路.導致這一現狀的主要原因，就是數學教師在日常的解題教學中，常常“就題論題”，并未對題目進行闡發、引申和拓展，忽視了數學解題中的變式訓練.

具體來說，變式訓練就是立足于數學問題的實質，通過改變題目形式和條件，從不同的角度、不同層次將數學問題的本質暴露出來，進而促使學生在“一題多變”的訓練中，深刻理解數學知識點，并促進數學知識的遷移和運用.同時，學生在變式訓練的過程中，不僅加深了學習的深度，也在變式訓練的探究和思考中，促進了數學思維的發展，真正提升了的數學綜合能力，為學生更好地開展解題奠定了堅實的基礎［1］.

2 二次函數中線段問題變式訓練

在初中二次函數學習中，發現拋物線與直線相結合的題目常常處于壓軸題的位置.但結合調查數據反饋發現，學生關于“二次函數中線段問題”的解答能力比較弱，在考試中頻頻出現失分現象.鑒于此，教師要積極開展變式訓練，在“一題多變”的例題中，深化所學的知識點、促進數學思維發展，逐漸提升自身的數學解題能力［2］.

例1 ??如圖1所示，已知二次函數y=-x2-2x+3的圖象與x軸相交于A，B兩點，其中A點在B點左側，并與y軸相交于點C.

求：（1） A，B，C三點的坐標，以及直線AC的解析式.

（2） 如圖2，點P是直線AC上方的拋物線上的一個動點，過點P做y軸的平行線，并與直線AC相交于點Q，求線段PQ的最大值.

解析： ?針對題目（1），結合圖象上A，B，C三點的位置，以及二次函數的解析式，即可輕松得出三點的坐標，這針對多數學生來說，均可輕松解答出答案.

題目（2），具備一定的難度.因為在這一題目中，將二次函數和直線結合到一起.在引導學生解答這一問題時，要指導學生在思考求線段PQ最大值的時候，先運用字母將P，Q點的坐標表示出來，假設P點的橫坐標為m，則縱坐標為-m2-2m+3，得到P點坐標為P（m，-m2-2m+3），又因為PQ∥y軸，因此，點Q橫坐標為m，則縱坐標為m+3.因此，Q（m，m+3）.得到Q點坐標為PQ的距離為（-m2-2m+3）-（m+3）=-m2-3m.

此時，就可將線段PQ的最大值轉化為-m2-3m的最大值，學生可結合二次函數圖象，對稱軸等相關知識進行解答.

在完成基本的教學之后，為了幫助學生深刻了解這一部分知識，又以此為中心，對其進行了變式訓練：

變式一： ?如圖3所示，點P是直線AC上方拋物線上的一個動點，過點P做x軸的平行線，與直線AC相交于M點，求線段PM的最大值.

解析： ?在變式一中，所求問題為“線段PM的最大值”，但是在具體求解時，由于P、M兩點僅有縱坐標相等，不易確定橫坐標，致使無法直接解答這一題目.此時，就可借助轉化的思維，引導學生對線段PM進行轉化.而要達到這一目標，就可過點P做PQ∥y軸，與直線AC相交于Q點.如此，就構建出了△PQM.由于PQ∥y軸，因此∠PQM=∠OCA.因為PM∥x軸，因此∠PMQ=∠CAO.結合A、C兩點的坐標，可判斷出△OAC為等腰直角三角形，即∠CAO=∠OCA=45 ° .因此，在△PQM中，∠PQM=∠PMQ=45 ° .因此，該三角形也為等腰直角三角形，即PM=PQ.此時，就可將線段PM的最大值轉化為線段PQ的最大值.之后，學生便可按照原題的解題思路，順利完成這一題目的解答.

變式二： ?如圖4所示，點P是直線AC上方的拋物線上的一個動點，求點P到直線AC距離的最大值.

解析： ?變式二比變式一更深一層，難度更大.在解答這一問題時，可引導學生結合題目和圖象分析，明確要想得出點P到直線AC的距離的最大值，就必須要過點P做直線AC的垂線，即PH⊥AC.此時，就將所求問題轉化為線段PH最大值.

在具體求解的過程中，由于線段PH最大值難以確定，必須要再次進行轉化，過點P做PQ∥y軸.由于△PQH為等腰直角三角形，因此，PH= ?2 ?2 PQ.

此時，要想求出線段PH最大值，只需要求線段PQ最大值.之后，即可根據原題目的解題思路進行求解.

變式三： ?點P是直線AC上方拋物線上的一個動點，過點P做PQ∥y軸，并AC相交于Q點，過點P做PH⊥AC，求△PQH的周長.

解析： ?在這一變式訓練中，可參考圖4進行觀察分析，得△PQH周長為PQ+QH+PH，結合變式二，得△PQH為等腰三角形，PH=QH= ?2 ?2 PQ.因此，求△PQH周長最大值時，就可將其轉化為求線段PQ的最大值，又回歸到原題的解題思路中.

變式四： ?如圖5所示，點P是直線AC上方拋物線上的一個動點，連接PA，PC，求△PAC面積的最大值.

解析： ??在變式四訓練中，要想求出△PAC的面積，就可借助“割補”的方式進行，鑒于本題目，可直接思考“割”法進行求解：過點P做PQ∥y軸（如圖6所示）.此時，就可將△PAC的面積最大值進行轉化成S △PAC=S △PAQ+S △PCQ= 1 2 PQ·AO= 3 2 PQ.如此，經過轉化之后，△PAC的面積最大值即可轉化為線段PQ的最大值，學生利用原題解題思路即可完成.

變式五： ?如圖7所示，點P是直線AC上方拋物線上的一個動點，連接PB與AC相交于F點，求 PF BF 的最大值.

解析： ?這一變式訓練難度逐漸增加，學生要想求 PF BF 的最大值，必須要結合這兩條線段構建相關的圖形，結合初中階段學生所學的知識，應引導學生將其與相似三角形知識結合到一起.于是，過點P做PQ∥y軸，與直線AC相交于Q點；過點B做BH∥y軸，與直線AC相交于H點.此時，可結合相似三角形性質，將 PF BF 進行轉化，使其變成： PF BF = PQ BH = 1 4 PQ.因此，這一題目又轉化為求線段PQ的最大值.

經過五次變式訓練之后，就會發現無論是三角形的周長，還是三角形的面積，亦或是相似三角形對應邊的比例關系，都可以通過轉化，最終成為豎直線段的最大值.因此，在日常二次函數中最值問題求解中，必須要引導學生學會運用轉化思想，將其進行轉化，最終成為二次函數中垂直線段的最值問題，以便于學生輕松解答［3］.

例2： ?已知拋物線y=2x2-12x+16，該拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于C點，頂點為D.點P是拋物線對稱軸上的一個動點，要使得△PAC周長最小，求P點的坐標.

解析： ?如圖8所示，連接BC，與直線x=3相交于P點，根據對稱軸的性質，得出PA=PB，鑒于此，可得知直線BC的解析式為y=-4x+16，由此得出P的坐標為（3，4）.可以說，在解答這一問題時，關鍵就是找出A點關于x=3的對稱點，并結合“兩點之間線段最短”的性質進行解答.

為了幫助學生對本節內容形成深刻的理解，就對其進行了以下變式訓練：

變式一： ?拋物線y=2x2-12x+16，該拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于C點，頂點為D.在該拋物線上有一點E，其橫坐標為5，點F（m，0）是x軸上的一個點，當FC+EF值最小時，求m的值.

解析： ?如圖9所示，這一變式題目相對比較簡單，要想使得FC+EF值處于最小時，應關于對稱軸做E點的對稱點E′，連接CE′，使其與x軸相交于F點.由此，結合已知條件，可的求得CE′直線的解析式為y=- 22 5 x+16，因此，F ?40 11 ，0 .隨即，結合“兩點之間線段最短”的性質，得出：FC+EF=FC+E′F=CE′，由此得出：m= 40 11 .

變式二： ?拋物線y=2x2-12x+16，該拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于C點，頂點為D.點G（0，n）是y軸上的一個動點，求線段GD與GA中較長的線段減去較短線段差的最小值和最大值，并求出n的值.

解析： ?如圖10所示，結合題目含義，以及圖象觀察，當A，G，D三點共線的時候，|GD-GA|=AD，據此可得出直線AD的解析式為y=-2x+4，此時可簡單求出G點的坐標為（0，4），因此，n=4.當G′D-G′A=0的時候，可得出G′D=G′A，因此，|GD-GA|存在最小值，為0.此時，AD的垂直平分線G′E的解析式應為y= 1 2 x- 9 4 ，進而求出G′點的坐標為 0，- 9 4 ?，因此，n=- 9 4 .

變式三： ?拋物線y=2x2-12x+16，該拋物線與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于C點，頂點為D.K是OC中點.Q是一動點，從K點出發，經過x軸上的M點，再經過對稱軸上的N點，然后返回到C點.如果動點Q所走的路程最短，請據此找出M，N點的位置，并求出最短的路程.

解析： ?如圖11所示，結合拋物線對稱軸的性質，可找出K點，C點的對稱點，分別為K′，C′，將其連接，與x軸相交于M點，與直線x=3相交于N點.由此即可確定出動點Q經過的最短路程S=KM+MN+CN=K′M+MN+C′N′=K′C′.之后結合已知條件，可由C和K點的坐標， 推出C′和K′點坐標，即C′（6，16），K′（0，-8），最終計算出最短的路程S=6 17 .

在例2以及三個變式訓練中，難度有所增加，不僅涉及到的數學知識比較多，也融入了數學模型的認知.學生經過原題和變式訓練的分析，經歷了化繁為簡、化難為易的深度思考，不僅掌握了二次函數中線段最值的相關知識，也在深度思考和探究中，促進了思維的發展［4］.

3 ?初中數學解題教學中變式訓練注意事項

變式訓練核心就是圍繞某一核心知識點，引導學生在不斷的變式訓練中，對知識的發生、發展過程形成深刻的感知，使其在理解知識的基礎上，促進知識的遷移和應用，使其在深度思考中，學會舉一反三、觸類旁通，真正提升初中生的數學解題能力.鑒于此，為了日常解題教學中，更好地開展變式訓練，應注意以下三個問題：

第一，變式訓練應具備適用性.初中數學教師在開展數學變式訓練之前，必須要了解學生的實際能力、已有知識掌握情況，設計出與學生學習需求相契合的變式訓練題目，力求通過變式訓練促使所有學生的發展.同時，在設計變式訓練題目時，還應設定多種難度，以免變式題目過于簡單，導致師生“白忙活一場”，收效卻不大.

第二，變式訓練應具備針對性.為了提升數學解題變式訓練的有效性，在設計變式訓練時，必須要把握知識點的本質，通過適當的改變，進而為學生提供多個解題思路，使得學生在多角度思考和解題中，真正掌握這一核心知識點，并促進知識的遷移.

第三，變式訓練應滲透數學思想.變式訓練就是在本質特征不變的情況下，對問題情形、思維的角度進行改變.其中蘊含著大量的數學思想，如：數形結合、轉化思想等.這就要求在具體的解題變式訓練中，應科學、適時融入數學思想，使得學生在使用數學思想分析解答題目的過程中，促進思維的深度發展，循序漸進提升自身的解題能力［5］.

4 結束語

綜上所述，變式訓練有助于幫助學生深刻理解知識的本質，實現知識的遷移和靈活運用.同時，變式訓練還是打開學生數學思維的“鑰匙”，是促進高階思維發展、提升數學核心素養的關鍵，更是提升學生數學解題能力的必然選擇.因此，初中數學教師在開展解題教學時，必須要積極開展變式訓練，引導學生在“一題多變”的訓練中，獲得提升和發展.

參考文獻：

［1］ 羅文武.順向連接 逆向對稱——二次函數中線段“和”最小問題［J］.數理化解題研究，2019（14）：2 3.

［2］ 蔡定宏，杜懿.二次函數的應用之線段最值問題［J］.中學數學教學參考，2021（2）：52 55.

［3］ 施長燕.變式促進深度學習，探究提升思維品質——以二次函數中線段問題為例［J］.數學學習與研究，2022（14）：62 64.

［4］ 徐葵，楊文.淺析初中數學線段最值問題解題策略——以二次函數為例［J］.理科愛好者（教育教學），2021（3）：27 30.

［5］ 馬嬌，鐘鳴.深度教學：整體設計、系統演繹、變式訓練——以“二次函數的幾何應用”為例［J］.數學之友，2018（8）：33 35.