讓中華優秀傳統文化融入高中數學課堂

王佳敏　張維忠

摘要：以“祖暅原理與球體體積”為例，將中華優秀傳統文化融入高中數學課堂，教師可以從劉徽的“牟合方蓋”出發，引入祖暅原理，引導學生推導球體體積公式，并繼續探索橢球體體積，讓學生探索數學知識本質，培養學生的創造性思維與民族自豪感，進一步增強學生的文化自信。

關鍵詞：中華優秀傳統文化；高中數學；祖暅原理；球體體積

中華優秀傳統文化源遠流長、歷久彌新，在當今社會有著獨特的育人價值。而數學文化作為中華優秀傳統文化的重要組成部分，對人的發展有著不可替代的作用。無論是中國古代數學家創造的數學成果、積累的思想方法還是其堅持不懈的探究精神，都可以促進學生發展。在數學學科教育教學過程中滲透中華優秀傳統文化，讓學生感悟前人智慧，可以培養學生的民族自豪感，增強學生的文化自信，對學生全面發展有著不可替代的作用。本文以祖暅原理為例，探究如何將中華優秀傳統文化融入高中數學課堂。

祖暅原理作為中國古代數學研究的重要成果，是伴隨著球體體積問題而產生的，因此在球體體積公式推導過程中引入祖暅原理，可以促進學生對公式的理解。在以往球體體積教學過程中，不少教師會直接給出公式，或把祖暅原理作為了解性閱讀材料，學生對公式死記硬背，沒有深層次的理解，課堂也顯得枯燥無味。因此，也有不少教師進行探究，有探究祖暅原理從而推導球體體積公式的，還有深入探究祖暅原理并把球體體積公式作為課后探究作業的。但是，大部分研究都止步于球體體積公式。作為中華優秀傳統文化的祖暅原理有著更深遠的教育價值，教師應當引導學生深入了解其思想，再通過類比推理探索其他幾何體體積的計算方法。基于此，本文借助信息技術，從劉徽的“牟合方蓋”出發，引入祖暅原理，意在引導學生推導球體體積公式，并繼續探索橢球體體積，讓學生探索數學知識本質，培養學生的創造性思維與民族自豪感，增強文化自信。

一、教學內容分析

（一）教材分析

本節課是人教A版普通高中數學教材必修二中第8.3.2節“圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積”與“探索與發現”中“祖暅原理與柱體、錐體的體積”的整合。教材給出的祖暅原理僅作為閱讀性材料，學生難以真正理解背后所蘊含的數學知識與原理，也難以進行應用拓展。為此，需要教師分析、補充教材內容，并在教學環節進行滲透。

（二）學情分析

授課對象是高一學生，他們已經學習過旋轉體、棱錐、球體的概念和棱錐體積計算公式，為本節課學習奠定了基礎。本節課內容從劉徽的“牟合方蓋”出發，引入祖暅原理，引導學生進行探究，進而推導出球體體積公式，對學生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力都提出了要求。

（三）教學重難點分析

教學重點：理解祖暅原理的涵義，培養學生空間想象能力。

教學難點：運用祖暅原理推導球體體積公式，通過類比推導橢球體體積公式。

二、教學設計

（一）回顧舊知，文化融入

師：同學們還記得棱錐與圓錐的體積公式嗎？

師：同學們是否感受到這兩個公式有相似之處？請帶著這個問題一起來學習球體體積公式。今天，我們將和中國古代數學家一起探究球體體積公式。第一位中國古代數學家是劉徽，他對《九章算術》做注釋時發現球體體積公式有誤，從而開始探求球體體積公式。為了解決這個問題，他創造了“牟合方蓋”。什么是“牟合方蓋”呢？同學們看老師手里的兩根粉筆，如果一根粉筆能穿過另一根粉筆，這兩根粉筆交叉重合的部分就叫“牟合方蓋”，釋義為兩把對合的方傘。請動手操作，并嘗試畫出“牟合方蓋”的圖象。

教師利用信息技術演示，并得到“牟合方蓋”的圖象（見圖1、圖2）。

師：我們可以觀察到圖1中的“牟合方蓋”并不是球體，但為什么能通過計算“牟合方蓋”體積得到球體體積呢？同學們先來找一找“牟合方蓋”中的球體。

生：圖2中兩個半徑相同的圓柱垂直交叉，可以找到內切于“牟合方蓋”的球體。

教師利用信息技術演示，畫出“牟合方蓋”中的內切球。

師：劉徽在球體的外切立方體中作兩個垂直相交的內切圓柱得到“牟合方蓋”。假設球體半徑是r，如果在任意高度用水平面截“牟合方蓋”，會得到什么圖形？

生：正方形。因為圓柱側面截圖是一個矩形，這個兩個圓柱半徑相同，所以是正方形（見圖3）。

師：那用水平面同時截“牟合方蓋”和內切球是什么圖形？

生：正方形與內切圓。

【設計意圖】首先，回顧已學習棱錐與圓錐的知識，再引入劉徽的“牟合方蓋”，為學生理解祖暅原理做鋪墊。其次，對于“牟合方蓋”，學生直接想象存在困難，因此教師讓學生動手操作，觀察并嘗試畫圖，再適時借用信息技術演示，突破學生認知障礙，加深學生印象。再次，內切球和“牟合方蓋”體積通過推導計算得到而不是直接給出，有助于學生理解數學知識產生的過程。最后，教師介紹劉徽和祖暅的故事，展示中國古代數學家實事求是、堅持不懈的精神。

（二）合作探究，文化理解

師：祖暅在推導球體體積時沿襲了劉徽的思想方法，把“牟合方蓋”分成了八個相同的圖形。他將“牟合方蓋”的部分稱為內棋，外部稱為外棋，并將外棋劃分為三塊，同學們能否畫出三塊外棋？

教師給學生思考時間，鼓勵學生畫出圖形（見圖4）。教師利用信息技術將外棋部分進行演示（見圖5）。

師：在計算外棋體積時，祖暅提出一條很重要的原理“冪勢既同，則積不容異”，稱為祖暅原理。意思是夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。同學們能否依據今天所學的知識來理解祖暅原理？

師：利用祖暅原理能否解決一開始棱錐與圓錐體積公式的問題？

生：連接三條線段，形成的棱錐滿足條件（見圖6）。

【設計意圖】首先，教師從整體出發分析和解讀祖暅原理，再結合劉徽的內切球和“牟合方蓋”體積比值推導過程進一步理解祖暅原理。其次，學生的空間觀念較為薄弱，教師讓學生動手操作，再借助信息技術分割外棋，加深學生對外棋的理解，培養學生的空間想象能力。最后，教師利用祖暅原理推導出球體體積公式，讓學生掌握研究幾何體體積求解的基本思路，提高學生邏輯推理能力。

（三）類比推理，文化拓展

師：球體是圓繞直徑旋轉而得。現考慮橢圓，設較長的軸為2a，較短的軸為2b，面積為πab，求繞較長軸旋轉形成的橢球體體積公式。請同學們對比圓與橢圓，先來猜測橢球體體積公式。

師：由此證明同學的猜想是正確的。我們可以大膽猜想，但猜想的結果是否正確還需要經過嚴格的論證。

【設計意圖】教師鼓勵學生從已有經驗去推理未曾經歷過的東西，從而激發學生好奇心和深入學習的熱情，并啟發學生思考如何在知識間建立聯系，從而把握數學知識本質。圓與橢圓有相似之處，學生先通過類比方法猜想橢球體體積，再嚴密推導計算驗證答案，鞏固了劉徽的思想方法與祖暅原理的知識，不僅體驗了數學知識發生發展的過程，還培養了創造性思維。

（四）歸納總結，文化體悟

師：同學們通過今天這節課有什么收獲？

生：學習了祖暅原理，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截面面積總相等，那么這兩個幾何體體積相等。還由祖暅原理推導出球體體積公式。

師：同學們從中國古代數學家身上學到了什么？

生：書本知識也會出錯，劉徽發現了《九章算術》上的錯誤。

生：任何時候都不能放棄探究，雖然劉徽沒有得到正確答案，但是正因為他的努力，祖暅才能在其基礎上得到正確答案。

教師對學生的回答予以肯定，鼓勵學生質疑思辨，課后繼續探索。

教師布置課后作業：搜集整理祖暅原理還能解決哪些問題，并嘗試推導和解決；思考還有什么方法可以推導出球體體積公式。

【設計意圖】通過討論，教師引導學生回顧本節課中用到的知識和思想方法。雖然學生的回答各不相同，但是答案合理即可，重在讓學生體驗中國古代數學家的智慧與感受他們堅持不懈的精神。

三、啟示與思考

（一）以數學文化育人，發展數學核心素養

中華優秀傳統文化是培養數學核心素養的最佳素材之一。一方面，教師應引導學生重構中國古代數學家的探究過程，理解知識發生、發展過程，并最終應用知識解決問題，這也是促進學生數學核心素養發展的過程。無論是探究劉徽的“牟合方蓋”，還是應用祖暅原理推導球體體積，都對學生的空間想象能力提出較高的要求，教師需要把握時機，培養學生的空間想象能力。另一方面，教師可以將中華優秀傳統文化融入高中數學課堂，通過介紹劉徽的堅持不懈探求，讓學生感受到數學家求真務實的科學精神與嚴謹的治學態度。教師介紹祖暅原理是伴隨球體體積問題而產生的，可以讓學生感受數學在實際生活中的應用與價值，感受中國古代數學家的智慧，培養積極的數學品格與數學價值觀念。

（二）用文化搭建橋梁，展現數學知識本質

中華優秀傳統文化可以成為溝通學生經驗與數學本質之間的橋梁。教師如果沒有意識到數學知識是數學文化的基礎，并過多使用了解性閱讀材料，就不能使學生在經驗與數學本質之間進行有效溝通，學生就難以真正理解背后的數學知識，反而會讓數學教學陷入廣而不深的形式主義泥潭。為此，教師需要精選與課程內容相匹配的素材，從整體出發分析、解讀素材，展現數學知識本質，并有機融入數學學科教育教學。教師若把數學文化作為外殼，本質上仍然是傳統的數學教育理念，將難以培養學生深層的數學思維。教師若僅將祖暅原理作為了解性閱讀材料，學生則難以體會到這是中國古代數學家經過長期探索得到的寶貴知識財富。因此，筆者從劉徽的“牟合方蓋”出發，讓學生體驗中國古代數學家艱難探索的過程。

（三）鼓勵歸納推理，培養創造性思維

將中華優秀傳統文化融入高中數學課堂，還應多引導學生發散聯想，促使學生形成直覺，改變中國傳統數學的刻板形象。教師可以鼓勵學生從自身已有經驗出發，進行歸納推理。歸納推理分為歸納方法和類比方法，歸納更多地依賴于規律的發現，類比則更多地依賴于跳躍的聯想，但都是從已有經驗去推理未曾經歷過的東西，這與我國傳統重視知識授受的教學不同，可以讓學生體驗數學知識發生發展的過程，從而培養學生的創造性思維。

在求解橢球體體積的過程中，類比球體體積公式求解橢球體體積公式，能夠啟發學生思考如何在知識之間建立聯系，把握數學知識本質，從而培養學生的創造性思維。

參考文獻：

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