分類討論思想解初中數學問題的不同情形應用分析

張濤

【摘要】分類討論思想是指在一些不確定的條件下，不能用統一的思路或結論解答問題時，按照可能出現的情況分別進行討論并解答問題的一種方法，也是解答初中數學問題的常見方法之一.本文主要對三角形問題、動點問題、方程問題的分類討論具體應用進行具體分析，結合具體例題總結分類討論思想的應用情形，以此幫助學生獲得更高的分數，更全面地思考問題.

【關鍵詞】初中數學；分類思想；解題研究

1 三角形問題分類討論

三角形的邊長和角度是考查的熱門角度，問題通常不會給出具體的三角形圖形，一些模棱兩可的條件導致多種三角形存在，直接解答有可能出現漏解和誤解的情況.對三角形問題分類討論，首先根據已知條件判斷三角形形狀是否明確，若不確定則需要分類討論，其次一些具有明確特征的三角形也需要分類討論，如直角三角形未說明直角邊和斜邊需要分類，等腰三角形未說明明確的腰和底也同樣需要分類討論.分類討論解題過程中，要注意三角形的分類準確不重復，才能正確解答問題.

例1 在△ABC中，∠B=25°，AD是BC邊上的高，并且AD2=BD·DC，則∠BCA的度數為.

剖析 該問題沒有說明△ABC的具體形狀，故高AD有兩種情況，分別在三角形內部和三角形外部，畫出兩種情況對應的圖形，結合已知條件和相似三角形分析，即可得知問題所求角度.

解

①如圖1，當三角形的高AD位于△ABC內部時，

由AD2=BD·DC可得△ABD∽△CAD，

因為∠B+∠BAD=90°，∠B=∠CAD，

所以∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°，即△ABC為直角三角形，

因為∠B=25°，

所以∠BCA=90°-∠B=65°.

②如圖2，當三角形的高AD位于△ABC外部時，

由AD2=BD·DC可得△ABD∽△CAD，

因為∠B=∠CAD=25°，

所以∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°+90°=115°.

綜上，∠BCA的度數為65°或115°.

2 動點問題分類討論

初中數學中動點問題通常以幾何圖形作為問題背景，當動點運動到不同位置時對應的情況也有所不同，故需要分類討論來解答問題.運用分類討論解答動點問題時，首先應根據動點所在的不同位置進行分類，如動點位于幾何圖形的不同邊長進行分類，其次在不同情況下分析問題涉及的函數關系，最后對所有情況進行綜合從而得出答案.動點問題常常會涉及函數關系，故熟練掌握函數類型和解析式求解有助于更高效地解答這類問題.

例2 如圖3，正方形ABCD的邊長為3cm，動點M從點B出發以3cm/s的速度沿BC－CD－DA運動，到達點A停止運動，另一動點N同時從B點出發，以1cm/s的速度沿BA向點A運動，到達點A停止運動，設點M的運動時間為xs，△AMN的面積為ycm2，則y關于x的函數圖象是（? ）

剖析 動點M與動點N都在運動，但點N運動不改變邊長位置，故解題時應根據點M處于不同線段進行分類討論，分別有點M在BC上、在CD上、在AD上三種不同情況，結合三角形面積公式表示y和x的關系得到函數表達式，即可對圖象進行判斷和排除，最終符合所有情況的圖形即為正確答案.

解析 由題意可得BN=x，

①當0≤x≤1時，點M在BC上，

BM=3x，AN=3－x，

故（C）錯誤；

②當1≤x≤2時，點M在CD上，

故（D）錯誤；

③當2≤x≤3時，點M在AD上，

AM=9－3x，

故（B）錯誤.

綜上，正確答案為（A）.

3 方程問題分類討論

與方程有關的初中數學問題也同樣是考查的熱門題型，涉及的方程類型有一元一次、一元二次、二元一次方程，問題常常會因為存在不確定范圍的參數導致方程類型不明確，需要運用分類討論方法解題.分類討論可以對方程的類型做出討論，也可以對一元二次函數的實數根個數進行討論，解答方程類問題，需要熟記一些方程的概念和實數根之間的關系表達式，結合分類討論方法靈活運用這些知識點即可解答問題.

例3 關于x的方程a－1x2+3x－2=0有實數根，則a的取值范圍為（? ）

剖析 由于方程的最高次項系數是a－1，a－1=0和a－1≠0分別對應兩種不同類型的方程，分情況討論一元一次方程和一元二次方程有實數根時對應的參數a的取值范圍，即可求出正確的答案.

解析 ①當a－1≠0時，即a≠1，

由題意可得Δ=32－4a－1×－2≥0，

②當a－1=0時，即a=1，

可知一元一次方程3x－2=0有實數根，

故a=1成立.

4 結語

在解答一些數學問題時，常常會因為沒有明確的定義或范圍導致多種情況的出現，分類討論思想的靈活運用是解答這些問題的關鍵.在三角形問題中，通常根據邊長、角度兩個角度進行分類，討論不同三角形的具體情況；在動點問題中，常常根據動點所處的不同位置進行分類，討論不同位置對應的函數關系；在方程問題中，主要根據方程類型、實數根個數進行分類，討論對應的情況.在這些題型中應用分類討論思想，有助于提高學生的解題效率，也能幫助學生更全面地分析問題，解決問題.