二次函數動點問題常見題型解法探究

張偉

【摘要】二次函數是初中階段學生數學知識體系中的重要構成，以其為基礎的相關題型也豐富多變，其中動點問題既是考試的重點內容，也是學生失分的重災區.本文總結二次函數動點問題中常見的面積問題、線段問題、三角形問題及相似圖形問題相關解題策略，供學生參考，以提高學生的解題效率.

【關鍵詞】動點問題；二次函數；解題

在對學生二次函數知識的考查中，往往會融合其他知識，以達到對學生綜合能力考查的目的.而在諸多題型中，動點問題無疑是重要的一類，同時也是學生較為懼怕的一類.動點問題不僅考查學生對二次函數、圖形知識的掌握及計算能力，還考查了學生的抽象思維等學科素養.二次函數動點問題是因函數圖象上移動的點所引發的，題型也是復雜多變，因此學生對這一問題的掌握并不理想，在考試中錯誤率較高.因此，本文系統性地總結了二次函數動點問題的常見題型及解題策略，以促進學生對知識的掌握.

1 面積問題

面積問題是二次函數動點知識考查中最為常見的一個題型，是對學生二次函數及圖形知識的綜合考查，同時也要注意動點的取值范圍，而后根據相關條件建立關系便可進一步解答.在解答面積問題時，學生需具備較強的空間思維能力及計算能力，把握動點的運動對圖象的影響，如此便可快速解答問題.

例1 如圖1，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A（－1，0），B（3，0），與y軸交于點C，

（1）求拋物線解析式；

（2）若D為拋物線一點，且S△ABD=2S△ABC，求D坐標.

解 （1）將點A（－1，0），B（3，0）坐標代入y=x2+bx+c，

可解得b=－2，c=－3，

則拋物線的解析式為y=x2－2x－3.

（2）因為△ABD與△ABC擁有共同的邊AB，

故要想S△ABD=2S△ABC，僅需其AB邊上的高比值為2，

因為D在拋物線上，

所以設其為D（m，m2－2m－3），

因為y=x2－2x－3，將x=0代入，

可得C點坐標為（0，－3），

即m2－2m－3=6，

求出m便可得D點坐標.

2 線段問題

二次函數中動點線段問題總體可以分為兩類，即一個動點和兩個動點.無論哪一類問題，題目中都大概率會涉及到二次函數以外的其他函數，故在解答這類問題時，學生要靈活運用函數相關的知識，將線段長短問題轉化為一個二次函數的表達式，而后結合題目中的信息進行解答.

例2 如圖2，點N為拋物線y=－x2+2x+3上一動點，且在線段BC上方，BC上有一動點M，若MN∥y軸，則MN的最值為多少？

解析 因為拋物線y=－x2+2x+3，

可得B（3，0），C（0，3），

則線段BC的解析式為y=－x+3，

因M在線段BC上，

則設其坐標為（m，－m+3），

因N為y=－x2+2x+3上動點，

則設其坐標為（m，－m2+2m+3），

當MN∥y軸時，MN的長度則為二者縱坐標的差，

設MN的長度為函數LMN，

則LMN=（－m2+2m+3）－（－m+3）=－m2+3m，

整理可得LMN=－（m－1.5）2+2.25，

可知函數LMN為開口向下的二次函數，故MN最大值為2.25，無最小值.

3 三角形問題

在解答二次函數中動點引起的三角形問題時，重點并不在于函數，而是需要學生掌握三角形相關的各種知識，以此結合二次函數進行分析，聯立求解，便可得到答案.

例3 如圖3，二次函數交坐標軸于A（－1，0），B（4，0），C（0，－4）三點，P為直線BC下方拋物線上一動點.

（1）求二次函數解析式；

（2）是否存在點P，使△POC是以OC為底的等腰三角形，求其坐標.

解 （1）設函數解析式為y=ax2+bx+c，

將A（－1，0），B（4，0），C（0，－4）三點代入，

可解得a=1，b=－3，c=－4，

故函數解析式為y=x2－3x－4.

（2）因△POC是以OC為底的等腰三角形，則P點應位于OC的垂直平分線上，

因為OC=4，故點P的縱坐標為-2，

因為點P在拋物線上，則可將y=－2代入到解析式中，

則有x2－3x－4=－2，同時，因其在直線BC下方，故應舍去小于0的根，

4 結語

綜上所述，本文系統性地總結了二次函數動點問題中常見的面積問題、線段問題、三角形問題及相似圖形問題，并對其進行了實際的講解.總體來說，學生要想解答這類問題，首先要對二次函數、一次函數、三角形、多邊形等基礎知識有一個完整的認識，在此基礎之上熟練掌握各種題型的解題原理、過程，如此便可快速解答相關問題.

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