例析幾何圖形中最值問題的不同題型及解答思路

賈春千

【摘要】幾何圖形是初中數學的重要組成內容，在幾何圖形基礎上求線段或距離之和的最值既能考查學生對幾何性質和定理的掌握情況，也能考查學生對圖形的熟悉程度，屬于屢見不鮮的初中數學問題.本文主要對三種不同類型的幾何最值問題進行分析，總結題型特點和解題思路，幫助學生理解和掌握幾何最值問題.

【關鍵詞】初中數學；幾何；最值問題

1 胡不歸問題

當動點P在直線上運動，求形似“PA+kPB”的距離之和最小值的問題稱為“胡不歸”題型，其中參數k是不大于1的任意常數.解答這類題型，應考慮從動點P出發構造斜邊為PB的直角三角形，利用正弦值將PA+kPB轉化為等價的垂線段問題，進而解答問題.一般解題思路為：①過點P（公共點）作斜邊為PB的直角三角形；②根據正弦定理，將PA+kPB轉化為等價的PA+sin∠PBC·PB，等價于求點A到垂足點的距離最小值；③過點A作垂線，根據垂線段距離最短求出問題最終答案.

解析 如圖2所示，作AN⊥BC于點N.

因為四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以∠DBC=30°，

2 將軍飲馬問題

“將軍飲馬”出自《古從軍行》，也由此引申出一個常見的數學幾何最值題型，具體指求直線上任意點到直線同側兩定點距離之和的最小值.這類問題通常借助“兩點之間線段最短”來解答，即根據軸對稱使其中一定點處于直線另一側，連接兩端點求線段值可得知距離之和最值.一般解題思路為：①分析題意，選擇一個定點作關于直線對稱的對稱點，連接對稱點與另一定點；②憑借兩點之間線段最短的性質，可求得距離之和最小值和對應直線上的點.

例2 如圖3，直線y=x+4與x、y軸分別交于A、B兩點，點C、D分別是線段AB、OB的中點，點P是OA上一動點，當PC+PD的值最小時，點P的坐標為.

分析 將問題看作點C、D到直線y=0上點P距離之和的最小值問題，可作點D關于x軸的對稱點D′，連接對稱點D′與點C得到的線段長度對應問題所求的PC+PD值，故根據D′點坐標和C點坐標，可求得x軸上P點坐標.

解析 作點D關于x軸的對稱點D′，如圖4所示.

連接CD′交x軸于點P，此時PC+PD的值最小，最小值為CD′.

令y=x+4中x=0，可得y=4，

故點B的坐標為0，4，

令y=x+4中y=0，可得x=－4，

故點A的坐標為－4，0，

因為點C、D分別是線段AB、OB的中點，

所以C－2，2，D0，2，

因為點D′和點D關于x軸對稱，

所以D′0，－2，

設直線CD′的解析式為y=kx+b，

故直線CD′為y=－2x－2，

令y=0，求得x=－1，

所以點P的坐標為（－1，0）.

3 費馬點問題

費馬點是指到三角形的三個頂點A、B、C的距離之和最小的點P，找到費馬點點P并求出距離之和PA+PB+PC的最小值是初中幾何最值問題的常見題型之一，解答的關鍵在于把三條線段轉化為連續的折線，主要通過旋轉、對稱、平移手段對問題進行轉換，從而求得最小值和對應點.一般解題思路為：①對含有任意兩段線段（如PA和PB）的圖形進行旋轉、平移或軸對稱變換，使線段PA、PB、PC得到等價替換；②根據等價替換后的線段和，判斷最小值對應的點和圖形情況，列式運算求解.

例3 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點P是△ABC內一動點，則PA+PB+PC的最小值是.

分析 首先對含PB、PC線段的三角形進行旋轉變換，使其等價替換成其他相等長度的線段，使PA+PB+PC轉化為連續的折線，此時只要對動點共線情況進行分析，即可求得最小值.

解析 如圖5所示，以點C為旋轉中心，將△PBC順時針旋轉60°得到△MNC，連接BN、PM.

由旋轉可得△BPC≌△NMC，

所以MN=BP，PC=MC，

∠PCM=60°=∠BCN，CB=CN，

所以△PCM，△CBN是等邊三角形，

所以PC=PM，

則PA+PB+PC=AP+PM+MN.

當A、P、M、N四點共線時取得最小值，如圖6，

因為AB=AC，BN=CN，

所以AN垂直平分BC，

4 結語

上述例題對三種不同幾何最值模型作出分析與解答，胡不歸問題與垂線段有關，將軍飲馬問題與軸對稱有關，費馬點問題與旋轉、平移有關，大部分問題都是在這些模型基礎上進行變換，學生只有掌握基礎的幾何最值模型和解題思路，才能更加靈活地理解和解答這些問題.

參考文獻：

［1］田海霞.初中數學幾何圖形中有關最值問題的解題思路分析[J].數學學習與研究，2022（25）：155-157.

［2］王春麗.立足教材 鏈接中考——例析平面幾何最值問題的求解方法[J].中學數學教學參考（中旬），2011（7）：2.