巧用相似三角形

馬學(xué)斌 龍宗云

【摘要】平行線分段成比例、相似三角形的判定和性質(zhì)在解決平面幾何問題中應(yīng)用十分廣泛，是歷年中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容.因此，相似三角形的應(yīng)用技巧值得我們研究.

【關(guān)鍵詞】相似三角形；平行線分線段；初中數(shù)學(xué)

相似三角形是一種重要的幾何模型，它是全等三角形的推廣，當(dāng)兩個相似三角形的相似比為1∶1時，這兩個三角形就是全等三角形.相似三角形主要研究兩個三角形中的邊、角關(guān)系，是很重要的一個知識點，主要考點有：相似三角形的判定和性質(zhì)、求線段的長度、角、線段的比例、位似圖的性質(zhì)等，相似三角形的性質(zhì)是比例性質(zhì)的再現(xiàn)和應(yīng)用，借助相似三角形考查平行線分線段成比例定理及其推論.在解決相似三角形問題中恰當(dāng)運用一些小技巧可以化繁為簡，事半功倍，下面舉例說明.

1 轉(zhuǎn)化法

例1 （2022·浙江舟山）如圖1，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，點A在邊DE的中點上，若AB=BC，DB=DE=2，連接CE，則CE的長為（? ）

分析 如圖2，過點E作EF⊥BC，交CB的延長線于點F，過點A作AG⊥BE于點G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BE=22，∠BED=45°，進而得到EG=AG=22AE=22，BG=322，AB=BC=5，再證得△BEF∽△ABG，可得BF=255，EF=655，CF=755，然后根據(jù)勾股定理得CE=EF2+CF2=17．故選（D）.

點睛 此題利用等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，求線段CE的長，熟練掌握并靈活運用相似三角形和等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，是解決本題的第一要素．尋找平行線，轉(zhuǎn)化平行線分段成比例問題是解決本題的重要方法，需要結(jié)合待求線段在圖形中的位置，思考平行線的構(gòu)圖，巧作平行線.

2 用等線段替換

例2 （2021·江蘇揚州）如圖3，在△ABC中，AC=BC，矩形DEFG的頂點D、E在AB上，點F、G分別在BC、AC上，若CF=4，BF=3，且DE=2EF，則EF的長為．

點睛 此題以矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識為依托，利用相似三角形的性質(zhì)求得EF的長.

3 三點定形法

例3 如圖4所示，已知AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，點E是AC的中點，ED、AB的延長線交于點F，求證：FB·AD=FD·DB.

點睛 將待證的乘積式轉(zhuǎn)化為比例式，需要運用相似三角形的判定和性質(zhì)定理證明四條線段成比例，如果圖形比較復(fù)雜，不易尋得哪兩個三角形相似，“三點定形法”是一個尋找相似三角形的重要方法，“三點定形法”通常包括：橫向三點定形法、縱向三點定形法、變用三點定型法. 如果通過三點定型法找不到相似三角形，就將其中某個積變成相等的另一個積，再尋找相似三角形.當(dāng)然，尋找相似三角形的思路還有很多，三點定形法只是其中一種，還有基本圖形定形法和作輔助線的方法等，具體用什么方法需要因題而異.

4 “跳眼法”

例4 （2022·江蘇鹽城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法，步驟如下：

第一步：水平舉起右臂，大拇指豎直向上，大臂與身體垂直；

第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；

第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；

第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測點的距離值．

如圖5是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點的距離約為（? ）

（A）40米. （B）60米. （C）80米. （D）100米.

分析 參照題目中所給的“跳眼法”估測出距離即可．由“跳眼法”的步驟可知被測物體與觀測點的距離是橫向距離的10倍．觀察圖形，橫向距離大約是汽車長度的2倍，為8米，所以汽車到觀測點的距離約為80米，故選（C）．

點睛 本題主要考查了測量距離，正確理解“跳眼法”測物距是解答本題的關(guān)鍵．