新人教版初中數學教材母題研究之《實數》：無理數

杜海華

《義務教育數學課程標準（2022年版）》的頒布對教材中母題改編和拓展起到指導作用，對于教師教學、評價學生的有效學習，積極推進學生的核心素養起到積極的作用。

“雙減”政策落地實施之后，如何落實“減負增效”是我們課堂教學改革面臨的現實問題。基于這個基本事實下，回歸教材，研究教材母題，并對教材母題進行改編、拓展，是我們能否達成“減負增效”國家目標的最好嘗試。

在平時的教學中，教材母題就是各門課程包含多個知識點的基礎題、典型題，也是考試命題所參考的模板。掌握母題是一種快捷、有用的方法。初中數學核心素養是黨的教育方針的具體化，是學生素養的目標與具體教學實踐的關鍵環節。國家的教育方針通過初中數學核心素養這一橋梁，可化為教育實踐中實用的、教師易于完成的，明確學生應具備的必備人品和關鍵能力，從微觀層面深入回答了“立什么德、樹什么人”的根本問題，引導課程改革和育人模式變革。

點評：本題考查了勾股定理、無理數，勾股定理求出BD的長是解題關鍵。此變式由變式1再進一步變換圖形的位置，增加推理的難度和計算的難度，使得無理數進一步擴展，充分體現數軸是數形結合的一個重要載體。

點評：本題考查了估算無理數，勾股定理，在數軸上表示無理數，絕對值的意義。此變式在融入了更加開放式的類型和數式的計算，進一步融合數形結合，運算能力的考查，更直觀幫助學生擴大知識面，聯系其他相關知識。

點評：本題考查了勾股定理、無理數運算、坐標表示、待定系數法的計算等知識，綜合性高。此變式在母題基礎上，將函數和矩形性質結合在一起，并且提高了對無理數的運算能力，對學生的應用能力、解決問題的能力提出更高要求。

母題設計的理論依據如下。

1.范例教學理論

教學是積極地研究“典型問題”，即關鍵性問題，并通過“典型問題”的教學，訓練學生自主思考和判斷的能力，教會學生聞一知十的方法。

2.遷移理論

有人認為“遷移是以有的學習經驗對現在學習過程的影響，或是現在的學習對學生將來學習的影響”。在各種學習活動中，遷移現象一直為大家所關注。簡而言之，遷移是一種學習對另一種學習的影響。

3.母題改造理論

第一，對母題的條件和結論重新設定；

第二，類比母題的解解方法，編出子題；

第三，抽出母題的必須條件進行子題改編；

第四，根據母題的自身豐富的資源，進行發展改編。

教材母題研究主要是幫助學生在母題變式中增強創新意識、拓寬視野、提高綜合素養，幫助學生創建以核心素養為導向的學習和實踐，激發學生學習數學的興趣，提高課堂效率。

（1）以新人教版教材母題為藍本，形成初中數學課堂教學創新研究模式：教材母題——條件改編拓展——結論改編拓展——綜合改編拓展。

（2）通過教材母題的選擇和改編，幫助教師加深對初中數學核心素養的理解和把握，基于教材，基于現實教學中的問題，幫助教師理解和落實核心素養成為可能。

教師根據數學抽象、邏輯推理、數學模型、數學運算、幾何直觀、數據分析，在教材進行選擇母題，形成課堂教學創新研究模式：教材母題——條件改編拓展——結論改編拓展——綜合改編拓展。