多角度分析圓錐曲線中線段之積相等問題

余玉蓉

圓錐曲線綜合試題是高考的必考題，常常以壓軸題的形式出現(xiàn)，以圓錐曲線為載體，滲透平面幾何知識的命題方式備受青睞，頻繁出現(xiàn)在高考試題和模考試題中，此類題型除了考查學(xué)生的運(yùn)算能力外，還重點(diǎn)考查學(xué)生處理圓錐曲線與平面幾何相結(jié)合中的思想方法，用這種方法解題，將大大減少運(yùn)算的過程，還可以提高數(shù)學(xué)邏輯思維能力，本文以2022年東北三省四市高三質(zhì)量監(jiān)測二第21題為例進(jìn)行多角度的分析與求解。

思路1 選擇恰當(dāng)?shù)男问剑瑢?shí)現(xiàn)線段之積轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系。

點(diǎn)評：從上面的求解過程來看，實(shí)現(xiàn)幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，可以直接從幾何圖形出發(fā)，利用三角形的性質(zhì)求解。

點(diǎn)評：三角形是基本的幾何圖形，研究三角形問題，可以從純幾何的角度考慮，借助三角形的面積尋找邊角關(guān)系，實(shí)現(xiàn)幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)。

點(diǎn)評：本解法從平面幾何知識出發(fā)，通過探究三角形相似，實(shí)現(xiàn)了幾何條件向代數(shù)關(guān)系的轉(zhuǎn)化，簡潔明了，在解題時(shí)，要從不同角度分析，挖掘已知條件與其他知識間的聯(lián)系，拓展我們的解題思路。

點(diǎn)評：角平分線就是一種對稱關(guān)系，通過對稱關(guān)系可以處理幾何中線段之積相等的問題，為解決該問題拓寬了視野。

從上述的求解過程來看，線段之積的幾何條件都轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，為解決此類問題找到了突破口，求解圓錐曲線中的線段之積問題的思路與方法：①轉(zhuǎn)化為角的正弦值，利用正弦定理分析；②利用三角形面積相等，轉(zhuǎn)化為角的正弦值分析；③利用三角形邊長的比，結(jié)合三角形相似來分析轉(zhuǎn)化；④計(jì)算點(diǎn)到兩條直線的距離，即角兩邊的距離，構(gòu)建距離關(guān)系，利用角平分線的性質(zhì)分析。