追本溯源　深化概念理解

呂斕　曾霞

摘要：數(shù)學概念是數(shù)學知識的“根”，是進行邏輯思維的基本要素，其具有高度的概括性。思維尚處在具體運算階段向形式運算階段逐步過渡的小學生常將概念簡單照搬或死記硬背，不利于知識的理解與掌握。用心挖掘概念內涵，分析概念價值意義，或能找到一條重要線索，進而設計出符合學生認知的教學活動，幫助學生深化概念理解，發(fā)展數(shù)學能力。

關鍵詞：數(shù)學概念 概念理解 什么是面積

小學數(shù)學是一門概念性很強的學科，數(shù)學概念反映了現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的本質屬性，是數(shù)學知識的基本細胞，[1]數(shù)學中任何一部分內容的學習都離不開數(shù)學概念。然而，數(shù)學概念具有高度的概括性，抽象程度極高，對于思維尚處在具體運算階段向形式運算階段逐步過渡的小學生而言，往往易將概念簡單照搬或死記硬背，這不利于知識的遷移與運用，有悖新課標對學生素養(yǎng)培育的要求。如何基于學生認知幫助學生理解數(shù)學概念？以下我們聚焦《什么是面積》一課談談自己的思考。

一、追本溯源，把握面積概念本質內涵

關于面積，數(shù)學教材中給出了這樣的定義：“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”。其中看似熟悉的“大小”一詞，足以讓三年級的學生懵懵懂懂，更不用說“物體表面”和“封閉圖形”這兩個高度數(shù)學化的名詞了。追溯面積概念的起源，其雛形發(fā)端于古埃及，由于尼羅河泛濫對土地的影響，古埃及人發(fā)明了一套行之有效的量地法，雖然他們并沒有明確給出面積的定義，但他們清楚地知道：面積是對平面物體大小的度量。[2]通過翻閱課標及教參可以發(fā)現(xiàn)，這部分內容隸屬于“圖形與幾何”領域“圖形的測量”版塊，再次印證了應將其納入度量的結構化學習中。這使我們意識到對面積概念的理解不可僅停留于“大與小”的感性認知層面，更需要借助工具對“面的大小”加以度量，并用一個帶單位的數(shù)去刻畫它。

二、綜合分析，明確面積概念建構意義

（一）教材分析，明晰前后邏輯

本課作為《面積》單元的起始課，是在學生已經(jīng)掌握了長、正方形的特征，理解了長度的概念，并且會計算長、正方形周長的基礎上展開的，是學生對空間的認知從一維向二維轉化的開始，也是進一步學習長、正方形乃至其他平面圖形面積計算的基礎。聯(lián)系后續(xù)體積相關知識的學習，從一維到二維，再邁向三維，本內容更是小學階段學好幾何知識的一個重要轉折點。

（二）學情分析，把握認知基礎

三年級的學生已經(jīng)建立了長度的相關概念，但是由“長度”到“面積”，知識跨度較大，抽象性也更強，學生對面積的認識不像長度那樣有較為豐富的生活經(jīng)驗作支撐，他們往往認為圖形的周長越長面積越大，或者根本分不清周長與面積。可見，對面積概念的正確建構，以及對周長與面積聯(lián)系與區(qū)別的探尋，可以幫助學生實現(xiàn)思維從一維到二維的飛躍。

三、優(yōu)化設計，促進面積概念深入理解

基于上述分析，為幫助學生建立面積表象，抽象面積概念，厘清面積與周長之間的關系，進而發(fā)展空間觀念，我們設計了以下教學活動。

活動一：激發(fā)舊知，初識線長短與面大小的區(qū)別

師：迎著春風，播種希望，一年一度的校園種植又開始了！今年，學校用相同長度的籬笆圍菜地分給3個班種植蔬菜（如圖1）。他們分到的菜地一樣大嗎？

師：淘氣認為3塊菜地一樣大，因為他量了籬笆的長度，一樣長。結合你剛才的想法想一想，你同意他的觀點嗎？

生：淘氣比的是周長。周長是線的長短，而菜地的大小，比的是里面。

師：是呀，比里面就是比面，看來面是有大小的。

【設計意圖：基于學生經(jīng)驗與興趣，制造認知沖突，創(chuàng)設具有挑戰(zhàn)性的真實問題，引導學生走進事實與現(xiàn)象，在問題解決中展開深度學習，在思維碰撞中明辨度量對象，初步感知周長（線長短）與面積（面大小）的區(qū)別，明晰比較菜地大小的實質是比較面的大小。】

活動二：驗證猜想，通過度量活動認識面積概念

師：剛才大家說這3個面大小是不一樣的，老師將這三個面也請到了黑板上。究竟哪個大，哪個小呢？

師：大家的想法各不相同，如何驗證呢？

生：（重疊法、直尺測量、小方塊測量……）

師：不錯，測量長度用較短的線測量，測量面的大小可以用較小的面來測量。你們可以借助學具袋里的工具，也可以創(chuàng)造其他工具來測量面的大小。

（分組測量，匯報交流，達成共識）

師：我們用相同的小方片進行測量，鋪滿了每個面，小方塊的個數(shù)就表示了這些面的大小，在數(shù)學上我們給它一個名稱——“面積”。

生：那么，①號圖形的面積是8個小方片，②號圖形的面積是9個小方片，③號圖形的面積是5個小方片。

師：這里還有一塊菜地是這樣圍的（如圖2），你能測量出它的面積嗎？

師：看來，像這樣不封閉的圖形無法確定它的面積。

【設計意圖：如何比較三個面的大小？為凸顯面積的實質是一個帶單位的數(shù)，我們巧借“菜地不可移動、分割”，引導學生從度量的本質入手，把非正式的經(jīng)驗發(fā)展為形式化的數(shù)學知識，在辯證思考進行測量工具選擇的過程中類比遷移，建立“用長度測長度，用面積測面積”的表象，借助測量數(shù)據(jù)間接比較得到了結果。與此同時引導學生感知不封閉的圖形無法確定它的面積，進一步豐富對面積概念的理解。】

活動三：鞏固應用，反饋與深化學生對面積概念的理解

師：咱們今天在種植園規(guī)劃問題中得到了很多智慧，收獲了關于面積的知識。接下來，就讓我們運用學到的知識解決問題吧！

1.鞏固反饋型作業(yè)：說一說它們的面積分別是多少。

2.深化理解型作業(yè)：這塊吐司的面積變化了嗎？

3.實際應用型作業(yè)：說說下面問題研究的是圖形的周長還是面積。

（1）氣制作相框用了多少邊框？

（2）淘氣給相框配了多大的玻璃？

（3）媽媽給桌布四周鑲了多少花邊？

（4）奇思繞操場跑一圈，跑了多遠？

（5）值日生擦的黑板有多大？

（6）工人師傅用油漆刷了多大一扇門？

4.回顧反思型作業(yè)：通過今天對面積的學習，你有什么收獲？

反思活動

①關于面積，你有什么收獲？與你之前所了解的有什么不同？

②面積和周長有什么區(qū)別與聯(lián)系？

【設計意圖：為了解學生對面積概念的建構情況，促進學生對面積概念的進一步認識，我們設置了多樣的作業(yè)。第1題，換角度感知面在哪里、積是多少，鞏固與反饋面積概念建構的同時初步了解估測不規(guī)則物體面積的方法。第2題，通過數(shù)方格感受面積相同圖形可能不同，并在圖形的移動變換中感悟面積的運動不變性和有限可加性，深化對面積概念的理解。第3題，結合生活實際精準辨析周長與面積，強化對周長及面積概念的理解。第4題，貫通長度、面積、體積乃至所有常見量度量本質的一致性，建立起度量大單元知識結構。】

李邦河指出，數(shù)學根本上是玩概念，不是玩技巧。[3]數(shù)學概念雖然抽象生澀，但只要用心進行深度挖掘，就能找到一條貫穿整個主題的重要線索，進而設計出符合學生認知的教學活動，幫助學生深化概念理解，建立知識網(wǎng)絡，形成學習策略，發(fā)展數(shù)學能力。

參考文獻：

[1]馬芯蘭，孫佳威.開啟學生的數(shù)學思維[M].北京：北京師范大學出版社，2021：10.

[2]史寧中.數(shù)學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016：64.

[3]李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J].數(shù)學通報，2009，48（08）：1-3+9.