高職高專《高等數學》中的一個課程思政案例探討

陳智豪

【摘要】在高職高專《高等數學》的教學過程中，重要任務是實現“立德樹人、鑄魂育人”.文章以《高等數學》中的“二重積分的定義”為例，在教學過程中設計了問題引導、實例分析、總結歸納等環節，將課程思政元素融入該知識點的教學中，旨在深化該課程的思政育人功能.

【關鍵詞】高職高專；高等數學；課程思政

【基金項目】全國輕工職業教育教學指導委員會年度課題，高職高專《高等數學Ⅱ》課程思政的改革與實踐，2021年12月立項（編號：QGHZW2021049）.

在印發《高等學校課程思政建設指導綱要》之后，教育部召開了高校課程思政建設工作調研推進會，全面推進課程思政建設.2021年5月，教育部面向普通本科教育、研究生教育、職業教育和繼續教育推出一批課程思政示范課程、教學名師和團隊、教學研究示范中心.在百家爭鳴、百花齊放的各色成果逐漸形成之際，諸多“數學人”也始終不忘教育教學的初心，在前行的道路上不斷思索與實踐.

作為一門理科類的課程，如何挖掘《高等數學》的課程思政元素呢？事實上，理科類課程本身就是一部科學家不斷追求真理的奮斗史，可以深刻地體現人對于“真善美”的追求.“真”就是真理，科學中不僅包括了學科知識，還蘊含了大量的客觀真理；“善”就是優良，在歷史的長河中優良的既有文化知識又有中華傳統；“美”就是和諧，在直觀感受中令人感覺到和諧的事物是具有美感的也是賞心悅目的.高職高專《高等數學》的課程思政教學改革源于課程的發展歷史，追求和體現“真善美”.下面筆者以“二重積分的定義”為例，用“真善美”實現課程的思政育人功能.

一、教學設計

（一）背景知識

從一元函數到多元函數，積分學從定積分引申出重積分.其中，二重積分是和二元函數相對應的積分，三重積分對應的則是三元函數.它在形式上和定積分類似，在理論研究和實際應用方面都具有重要的價值.

二重積分的概念是學習重積分的基礎，它是偏導數、全微分與曲線積分、曲面積分的橋梁，該知識點可為后續內容的學習與應用奠定重要的基石.

（二）教學目標

如圖1所示，教學目標包括素養目標、知識目標和技能目標，其中素養目標體現了課程的思政育人功能.

（三）教學重、難點

教學重點：在深刻理解基本概念的前提下，認識其中的辯證唯物主義觀點.

教學難點：重積分概念中蘊含的數學思想.

（四）教學方法

考慮到學生早就具備了一元函數中定積分的知識基礎，教師在課堂上采用小組討論法和講授法，結合信息化技術和教學平臺實施線上、線下混合式教學，同時全過程伴隨課程思政元素徐徐展開.

（五）教學準備

教學不僅僅是課堂的45分鐘，教師在課前要做許多前期準備.第一，教師要確定每節課的計劃與安排：本節課的主要知識點是二重積分，包括引例和定義兩個部分的內容.第二，教師要準備文字資料.除了參考配套的教材和教輔，教師還需要查閱相關文獻，比如華東師大的《數學分析》、同濟大學的《高等數學》、中國古代的《九章算術》等.第三，教師要根據學生情況進行教學設計.學生在每個階段反饋給教師的學習情況都會有一些小變化.在設計階段，教師需要對教案進行不斷的調整，以取得更出彩的教學效果.教師要做信息搜集的有心人、知識傳遞的領跑人、思想引領的示范人.第四，教師要根據教學設計準備教具和布置預習任務.這里用到的教具有信息化的教學設施，比如電腦、投影儀、網絡教學平臺等.預習任務是按照一定的規則把全體學生分為多個小組，可以將同一個宿舍的分在一組，也可以由系統隨機分配小組成員，又或者按照學號順序分組等.總體來說需要根據學生情況，確保每個小組的“實力”相當.同時，通過網絡學習平臺發布預習任務單.第五，在學生完成預習任務單之后，教師要根據反饋再次調整教學設計，細化教學方案.實際上，在課程正式開始之前，教師需要不斷調整教學設計.課程團隊只有不斷打磨和精雕細琢，才能使教學設計越來越貼合學情，思政教育的效果更加到位，知識傳授更加精準.

（六）教學過程

1.問題引導

問題一：中國古代樸素的微積分思想體現在割圓術中，如何利用割圓術求曲邊梯形的面積？

由開放型問題引入新知，通過小組合作探究的方式，回顧前面學過的定積分的概念，利用割圓術求解曲邊梯形的面積.在合作探究的過程中，小組內需要查閱資料、集中討論、動手實踐，在深刻理解大化小、無限逼近的思想的基礎上推演出曲邊梯形的面積.

教師可以摘錄古代著作原文，引導各個小組理解其中蘊含的數學原理，讓學生在掌握割圓術的原理求曲邊梯形面積的同時，驚嘆于古人的數學智慧，產生強烈的民族自豪感，這就是求真.

問題二：怎樣計算空間中不規則立體圖形的體積？

用空間中平行于yOz面或zOx面的平面切割不規則立體，可以得到多個曲頂柱體，從而轉化為計算曲頂柱體的體積.從而引出曲頂柱體的概念：設有一個立體，它的底是xOy面上的閉區域D，它的側面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f（x，y），這里f（x，y）≥0且在D上連續，這種立體叫作曲頂柱體（如圖2所示）.

由生活中常見的不規則立體的體積問題引出曲頂柱體體積的求解問題，找到全體學生共同的興趣點，激發學生的學習熱情，這就是求善.

問題三：求解曲頂柱體體積的思路是怎樣的？

第一步，分析問題，找到問題的難點在于曲頂該如何處理.第二步，指出解決問題難點的方法，用曲線網把D分割成若干個較小的閉區域，從而把一個曲頂柱體切分成若干個較小的曲頂柱體.第三步，對于每一個小的曲頂柱體，用平頂替代曲頂，并且使用動畫展示該過程.當每個較小的曲頂柱體的底面面積都越來越小時，近似值的誤差就會越來越小.第四步，通過小組合作與教師的指導，把曲頂柱體的體積計算方法和步驟總結出來.

借助于具體的幾何問題及動畫展示的直觀性，學生能夠主動探索其中的數學原理，從而自然而然地融入量變到質變的辯證唯物主義思想，這就是求美.

問題引入的最后要進行歸納和總結，得出結論———曲頂柱體的體積歸結為一個特定的表達式，在形式上為函數與增量的乘積之和的極限.在此過程中，學生的歸納總結能力得到提高，團隊合作的意識得到加強.

2.二重積分的定義

第一步：給出二重積分的定義.

定義比較冗長，結合關于曲頂柱體的實例進行講解更加形象和直觀.定義中的各種符號都是由一代代的數學家總結出來的，符號本身不但線條簡潔，而且極具美感.這直接體現了數學中的符號美.

第二步：指出二重積分和定積分的區別與關聯.

區別：（1）二重積分的被積函數是二元函數，比如f（x，y），而定積分的被積函數是一元函數，比如f（x）；（2）二重積分的積分變量是σ，定積分的積分變量是x；（3）二重積分的積分域是有界的平面閉區域D，定積分的積分域是閉區間[a，b].相同點是：（1）它們的步驟都是“分割———取近似———求和———取極限”；（2）它們在形式上看都是函數f與積分變量的增量的乘積之和的極限；（3）它們在結果上看都是確定的數值.

此處的區別、關聯先由學生組內討論，然后各小組搶答，最后教師用動態的圖表呈現出全面、詳細的結果.通過對兩個知識點的區別與聯系的分析，不僅可以由此及彼地實現知識的遷移與延伸，而且能夠幫助學生逐步提高類比的能力.

從細節方面入手，幫助學生更精準地理解二重積分的定義，從而把握利用定義解決問題的方法，同時體現了數學人一絲不茍的工作態度與嚴謹務實的科學精神.不僅有言傳，而且有身教.

第四步：對定義中的數學思想進行總結.定義分為以下四個步驟（如圖3所示）：

這四個步驟反映了整體與部分的關系，質與量的互變規律.從整體和部分來說，大立體是一個整體，每個小立體是大立體的一個部分；全過程是一個整體，每個步驟是一個部分；積分學的知識體系是一個整體，每種積分是一個部分；全體學習者是一個整體，每名學生是一個部分.從質與量的互變規律來說，每個小立體的近似值是量變，大立體的近似值是質變；每個小立體的底面積都趨向于零是量變，取極限得到大立體體積的準確值是質變；對每一個知識點的學習與掌握是量變，對知識體系的學習與掌握是質變.

這一過程可讓學生體會其中的數學思想，同時體現了課程的系統性、完整性以及延伸性，把本節課蘊含的哲學思想凝結在定義之中.定義中既有真，又有善，更有美.此外，教師展現出的對工作的一絲不茍的敬業精神，對學術的嚴謹務實的科研精神，對課堂的精益求精的進取精神，也在浸染著學生的心靈.

二、教學反思

“二重積分的定義”這一課是一節單純教學概念的課，內容比較單一和枯燥.為了實現課程育人功能中的價值塑造、能力培養和知識傳授，教師在導入部分設計了開放性的小組活動，在定義講解部分通過解題實例一步步地給出概念，在細節處理上用嚴謹、縝密的數學語言進行表述.首先從古代樸素的微積分思想切入，如畫卷徐徐展開，呈現出核心問題———曲頂柱體的體積.然后從特殊到一般，總結歸納出二重積分的定義.最后，補充并強調在定義中需要注意的一些細節問題.整個過程如行云流水一般，自然而流暢，教學環節一環緊扣一環，層層遞進地升華了知識的深度、廣度和難度，更為重要的是悄無聲息地融入了課程思政的元素，實現了課程的思想政治育人功能.

人們所追求的真善美蘊含其中，古代樸素的數學思想、知識點本身的數學原理即是真，以小組合作為形式在教師指引之下追求真理、不斷探索即是善，高度濃縮的數學符號、極具對稱性和特征突出的表達式即是美.如果人人都追求真理，人人都一心向善，人人都有愛美之心，那么課程就達到了預期目標.在“真善美”的指引下學生對看似枯燥的數學知識燃起了熱烈的探尋之火，這也推動了知識學習的內驅力.思政教育與知識傳授，既相互成就了彼此，又融為一體.

總 結

教育家陶行知曾經說過，教師要將對教育事業的堅定信仰轉化為雙肩上的職責.作為新時代的職教人，教師不僅要口傳心授，還要塑造學生的品質和人格.課程思政是將思政元素有機融入非思政課程，發揮其思想政治教育功能，促成思政教育與知識教育的有機統一的一種教育模式.課程思政模式下的教學改革與實踐體現了以德育人的教育理念，是實現“三全育人”的重要途徑.在基礎課程，尤其是高職高專各個專業廣泛開設的《高等數學》課程中挖掘和剖析課程思政元素，把握思想引領和價值導向的風向標，發揮課程團隊的凝聚力，顯得尤為迫切和重要.教學工作不是紙上談兵，需要在設計和實踐之間不斷切換.教師如果把工作落到實處、切到細微，那么教學效果必定會越來越好.同時，這些也是高職高專數學教師應當不斷探究的重大課題.

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