大概念視域下初中數(shù)學復習課的設計策略

【摘 要】本文在研究了當下初中數(shù)學復習課的常見問題后，提出復習課未必在章末建構且覆蓋知識未必全面的設計思路，認為大概念視域下的初中數(shù)學復習課教學要以高階視角、整體觀念進行精準施教，隨后呈現(xiàn)確定教學目標、設計課堂問題、滲透數(shù)學思想、流向思辨精神等復習課設計策略，并以理論與實踐相結合的形式進行具體闡述。

【關鍵詞】復習課；大概念；二次函數(shù)；教學設計；結構化

一、引言

復習課是幫助學生將某一階段內(nèi)的知識系統(tǒng)化、結構化以鞏固學習成果的課型，能彌補新授課中因時間、容量等因素限制而導致的教學不足，一般以發(fā)展學生思維水平，提升學習質(zhì)量為主要目的。然而，筆者研究相關文獻發(fā)現(xiàn)，目前大多數(shù)復習課的教學樣態(tài)以概念梳理、例題講解、隨堂練習等形式為主。顧繼玲和章飛通過研究某省初中數(shù)學青年教師基本功大賽的39份章復習課教學設計，指出復習課存在的主要問題有知識結構呈現(xiàn)偏直線式，變式問題類型有所欠缺，拓展性問題不夠豐富等，建議教師要充分考慮學生的學情，基于章節(jié)特征選擇適切性的教學形式，由新問題引導學生產(chǎn)生串聯(lián)舊知的新思考，充分發(fā)揮學生的主體性。［1］曹燕萍梳理了當下初中數(shù)學復習課較為突出的三個問題：一是復習內(nèi)容貪多求量，習題層次設計缺失；二是復習形式貪圖安逸，教學樣態(tài)創(chuàng)新缺失；三是復習過程貪快求速，學生主體地位缺失。因此她認為復習課若是變成了“炒冷飯”，那么借復習課重構學生的知識與觀念便無從談起了。［2］張東在分析課標的基礎上，發(fā)現(xiàn)很多教師存在培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題并非復習課任務的錯誤觀念，只關注分析問題和解決問題，未能充分利用好復習課發(fā)展學生的“四能”，實現(xiàn)教學效能與育人目標的全面提升。［3］筆者根據(jù)自身的教學實踐也發(fā)現(xiàn)，很多復習課是將整章的知識、概念聚集到一起，有種“一鍋端”的混亂感，這樣的復習課不僅會增加學生的學習焦慮，使學生產(chǎn)生畏懼心理，而且無法帶來新的收獲。

大概念視域下的復習課教學以立德樹人為宗旨，以學會學習為目的，以高階視角、整體觀念統(tǒng)領學生的已有知識經(jīng)驗與實際認知水平，在此基礎上進行精準施教，幫助學生找準思維盲區(qū)，力求從全新角度切入，吸引學生的復習心向，通過知識再建構幫助學生突破思維障礙，進而克服當下復習課教學中學生體驗感差、結構關聯(lián)度弱、問題聚焦域窄、形式創(chuàng)新性不足等現(xiàn)實困境。

二、對初中數(shù)學復習課設計方式的思考與價值探尋

（一）復習課并非章末建構的特權

復習課一般安排在某一章知識學習結束后，蘇科版教材中就專門設有一節(jié)“小結與思考”以歸納全章內(nèi)容，但這顯得過于刻意，似乎復習課一定要在規(guī)定的時間、確定的節(jié)點開設。事實上，有些知識僅靠新授課教學是無法達到深層次理解的，憑碎片化的認識更是無法看到知識的全貌，因此復習的內(nèi)核在于幫助學生突破隱蔽的思維困惑，喚起學生對已學知識的審視與質(zhì)疑，從而拓寬認知事物的渠道和看待問題的視野。從這個角度看，復習課是隨機的、有時效性的，所以開設復習課的時機應該是不確定的，可以根據(jù)學情、教學進度、評價反饋等現(xiàn)實因素做及時調(diào)整，未必一定要設置在章末，可由學生的認知需求決定。當然，隨機性便意味著挑戰(zhàn)性，教材中沒有對應的復習教學設計供教師參考，這對相當一部分一線教師來說并非易事。

（二）復習課的覆蓋面未必廣而全

當下很多教師容易走進一個誤區(qū)，即認為檢驗一節(jié)復習課好壞的標準是知識的覆蓋廣度，教師們會將自己認為重要的概念、性質(zhì)盡可能地往復習課里“塞”。在很多公開課中，常常可以看到教師借助思維導圖梳理一章的概念，通過可視化圖式將知識“一網(wǎng)打盡”。這種做法有可取之處，即能通過橫縱多維的建構讓章結構逐漸清晰、明朗，起到提綱挈領、整體關聯(lián)的作用，但當重復的內(nèi)容大量、快速涌入學生的大腦時，學習的效果一定不會像初學時那樣高效，此時如果教師不站在一個獨特的角度進行高位設計的話，學生很容易感到思維疲乏。其實復習課未必要面面俱到，完全可以從一個小切口喚醒學生新的思考與質(zhì)疑，這個切口未必依賴于具體知識，可以是在舊知中尋求解決新問題的辦法策略，進而在解構與重塑中建立起對知識更加深刻且全面的認識。

三、大概念視域下初中數(shù)學復習課的設計策略

（一）以大概念確定立足高階思維的教學目標

教學目標是關于教學將使學生發(fā)生何種變化的明確表述，是指在教學活動中期待得到的學生的學習結果。復習課教學活動的設計要以目標為導向，圍繞教學目標進行。雖然教學參考用書中每一章的小結與思考都會給出一些具體的復習建議，但對于可以在任意時刻開展的復習課而言，教學參考用書中是沒有對應參照的，因此需要教師結合學生掌握知識的實際情況，權衡復習內(nèi)容的難度、跨度、相關性等因素，自行制訂有針對性的復習目標。大概念相當于一個車轄［4］，是統(tǒng)領階段性知識的上位概念，具有抽象性、普適性等特點，同時還體現(xiàn)出鮮明的學科特征與較強的遷移性。復習課應在學生對所學知識形成全面認識的基礎之上，借助大概念將思維錨點置于高階視角，幫助學生重新構建知識體系，從而實現(xiàn)思維進階。

筆者剖析二次函數(shù)圖象研究的結構邏輯，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)本身屬于代數(shù)范疇，但二次函數(shù)圖象又附帶著一些幾何屬性，這就為構建二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的知識體系埋下了兩條線：一是圖形的運動，二是代數(shù)式的結構特征。這或許可以成為二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)復習課切入的全新視角。教材是從幾何變換入手的，按照由簡至繁的順序層層推進，由簡單的一維平移到復雜的二維平移，逐漸揭示出二次函數(shù)表達式與圖象之間的關系。那么，如果沿著代數(shù)這條線研究，應該如何對探索路徑進行設計呢？這條路徑是否可行呢？這樣的思考為本節(jié)復習課明確了一個研究主題，也使得復習有了新的探索方向。這一方向中包含了路徑建構、數(shù)學分支、方案設計與驗證、分類意識、數(shù)形結合等五個大概念，當教學目標指向這些大概念時，復習課的思維層級便是向上走的，有宏大、穩(wěn)固的概念框架支撐，有明確的任務驅動與評價維度，學生在這樣的目標預設下不僅不會感到疲憊，反而能感受到課堂是充滿挑戰(zhàn)的。基于此，本節(jié)復習課的教學目標設定為：（1）回顧二次函數(shù)圖象性質(zhì)的建立過程，體會從簡單到復雜的幾何研究路徑；（2）從代數(shù)視角重新設計研究二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的方案，并對設計方案的可行性進行驗證；（3）能根據(jù)二次函數(shù)的系數(shù)關系預設圖象的形態(tài)特征，感受分類討論、數(shù)形結合的數(shù)學思想。

（二）以大概念設計引向高遠視角的課堂問題

復習課具體應該怎么上，在復習課中設計怎樣的問題可以將課堂逐步引向高階思維的發(fā)展，這是在依據(jù)大概念確定教學目標后需要進一步思考的問題。杰羅姆·布魯納（Jerome Seymour Bruner）在《教育過程》中提到，我們很容易問一些無價值的、無法回答的困難問題，但關鍵是要找到可以解答的、有啟發(fā)性、能起到媒介作用的問題。基于大概念設計課堂問題，有利于教師與學生形成基于教學目標的學科理解，從而使問題成為觸發(fā)學生達成目標的介質(zhì)與“導火索”。另外，弗蘭克·萊曼（Frank Lyman）說過，教育應該是一種癢的狀態(tài)，而不是撓的動作。復習課一般是已學知識的重復，很難從內(nèi)容本身吸引學生的注意力，所以唯有充分激發(fā)學生的好奇心，以大概念為觸點引導學生提出批判與質(zhì)疑，才能揭示出更多的問題，從而培養(yǎng)學生針對一個問題得出各種不同答案的能力，即發(fā)散思維的能力，或是針對一個激發(fā)因素，產(chǎn)生大量不同尋常的聯(lián)想的能力，即流暢構思的能力［5］，使得學生透過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)。

由于學生此前已經(jīng)學過了二次函數(shù)圖象的相關知識，所以在復習課中不可能讓學生假想知識空白，像初學者那樣從頭開始探索，教師應基于這一實際情況進行問題與活動的設計。在本節(jié)復習課中，筆者先引導學生以舊視角回顧二次函數(shù)圖象的研究過程，從路徑建構的大概念角度思考之前是如何研究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的。學生回憶后發(fā)現(xiàn)先是從最簡二次函數(shù)y＝ax2的圖象入手，分階段進行上下、左右平移，最后將這兩種平移方式疊加，得到了二次函數(shù)頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k的圖象。由于a能控制開口方向與大小，平移后圖象又可處于平面內(nèi)的任何位置，所以二次函數(shù)的頂點式圖象能代表所有二次函數(shù)圖象。緊接著，筆者再次提問，“初中數(shù)學包含哪幾大分支？”“你能從標題‘二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)’中感受對應的關鍵詞嗎？”“你能從代數(shù)視角研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)嗎？”等問題啟發(fā)學生從代數(shù)角度帶著新意重拾舊知，從路徑確定、方案設計與驗證等角度對知識進行再建構，緊扣大概念中與教學目標相關的問題，將思維層級由具體的、單一的對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的思考遷移到抽象的、發(fā)散的對函數(shù)宏觀研究的整體認識中去。圖1是該復習建構過程的思維導圖。

這些問題的提出能夠幫助學生將零碎的單元知識加以整合，在大概念的統(tǒng)領下與過往的知識對接，進而展開更多的聯(lián)想以尋求同一內(nèi)容主題在不同學科領域的思維足跡。學生在這樣的狀態(tài)下能始終保持對知識的好奇心與神秘感，復習便會起到事半功倍的效果。

（三）以大概念滲透指向高位理解的數(shù)學思想

數(shù)學思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果。數(shù)學思想是對數(shù)學事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識，一般通過數(shù)學思想的培養(yǎng)，學生的數(shù)學能力會有大幅度提高。從某種意義上來說，數(shù)學思想本身就是數(shù)學學科中大概念的一種表征形式，兩者都是具有統(tǒng)攝功能的上位概念，都能體現(xiàn)數(shù)學的思維本質(zhì)與內(nèi)在邏輯。如果非要對兩者進行區(qū)分的話，大概念更加側重于抽象層面的理解傾向，而數(shù)學思想則可以下沉至方法，可以應用于具體問題的解決。因此，在復習課中以大概念滲透數(shù)學思想，既是檢驗大概念在教學中是否對復習產(chǎn)生意義的標準，同時也是復習課堂的一種具體表現(xiàn)形式，指向對知識的深度理解與高度概括，奠定了整節(jié)復習課的基調(diào)與立意。

在對二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的路徑建構的回顧中，筆者引導學生從數(shù)與形兩種不同的角度展開思考，是本節(jié)復習課數(shù)形結合思想的第一次滲透。之后學生類比幾何視角，遵循由簡單到復雜的研究梯度，以最簡二次函數(shù)y=ax2為研究起點，依次加上常數(shù)項、一次項分別得到y(tǒng)=ax2+c與y=ax2+bx，最后將兩種項同時加上便可得到一般式y(tǒng)＝ax2+bx+c。該復習建構過程如圖2所示，這一探究過程滲透了從特殊到一般、由簡單到復雜、類比等數(shù)學思想，這些數(shù)學思想向上看正是路徑建構、數(shù)學分支、方案設計與驗證等大概念的具體實施方式，向下看則是與二次函數(shù)圖形內(nèi)在特征相關的結構化形態(tài)呈現(xiàn)。

在對二次函數(shù)圖象和性質(zhì)研究的代數(shù)路徑進行驗證時，學生需要根據(jù)a、b、c的符號聯(lián)想大致的函數(shù)圖象草圖，然后再分析各草圖之間是否具備某種逐層遞進的關聯(lián)，以此判斷該路徑能否成為探究二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的主線。為了方便研究，本節(jié)復習課統(tǒng)一令a、b、c為正數(shù)，具體分析情況見表1。其中無論是y=ax2+c的函數(shù)圖象與y軸交點位于正負半軸的討論，y=ax2+bx的對稱軸與y軸位置關系的討論，還是y=ax2+bx+c的函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)的討論等，都暗藏著事物的確定性與不確定性，學生能從中體會到分類討論的必要性，并在畫圖過程中尋求變量與常量之間的關系，關注變化中的不變。該復習建構過程用圖3的思維導圖呈現(xiàn)。當這些體現(xiàn)數(shù)學思想的行為在課堂中出現(xiàn)時，大概念便會逐漸落地，使得學生對知識的理解在二次建構中指向更高位的層級。在教學時，筆者也注重抓住時機提問，引導學生基于大概念將思維向更深處延伸，如“你們覺得‘往哪里偏’與拋物線的什么因素有關？”，學生再次從數(shù)形結合的大概念出發(fā)進行分析，發(fā)現(xiàn)與拋物線的對稱軸有關，當a、b均為正時對稱軸在y軸的左側。筆者進一步追問：“那當a、b均為負，或者a、b一正一負時對稱軸在哪？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”學生從分類討論的大概念角度進行分析，發(fā)現(xiàn)當a、b同號時對稱軸在y軸的左側，a、b異號時對稱軸在y軸的右側。

從系數(shù)的代數(shù)特征遷移到圖象的直觀表征，整個探索過程雖源于對代數(shù)研究路徑的驗證，但本節(jié)復習課的價值早已不止于此。以新的視角讓學生充滿好奇地走進復習課堂只是表象，本質(zhì)是學生在多元視角下，以更為豐富的數(shù)學思想對已學知識進行二次建構，在數(shù)與形的緊密聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)各項系數(shù)之間的不等關系均會影響函數(shù)圖象的結論。

（四）使大概念流向體現(xiàn)綜合素養(yǎng)的思辨精神

如果說數(shù)學思想方法的滲透對于學生素養(yǎng)的提升更多地體現(xiàn)在學科大概念上，那么當這種學科概念上升到思辨精神時則會逐漸形成一個人穩(wěn)定的認知風格與思維方式，從而幫助人更好地形成對事物多面性的客觀理解，可謂大概念的大概念，主要包括辯證思維與理性精神。辯證思維是指以變化發(fā)展視角認識事物的思維方式，通常被認為是與邏輯思維相對立的。在邏輯思維中，事物一般“非此即彼”，而辯證思維中事物可以“亦此亦彼”，這是大概念廣度的體現(xiàn)。理性精神則是指人能夠運用理智的能力，它通常指人在審慎思考后，以推理方式推導出結論，并通過論點與具有說服力的論據(jù)發(fā)現(xiàn)真理，而非依靠表象獲得結論，這是大概念深度的體現(xiàn)。復習課深層次的意義在于培養(yǎng)學生的批判精神與質(zhì)疑能力，因此將學科大概念匯聚于思辨精神是復習課的最終旨歸，亦是發(fā)展學生素養(yǎng)和提升關鍵能力的根與源。

在本節(jié)復習課中，讓學生自己設計一條與教材不同的研究二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的路徑便蘊含了許多看待事物、處理問題的思辨關系，如從特殊到一般，從簡單到復雜，這既是人類認識客觀事物的普遍規(guī)律，也是數(shù)學學科能得以發(fā)展的關鍵。對設計方案提出的路徑的合理性進行驗證時，需要收集證據(jù)對相應結論進行判斷與歸納，這種思維的周全性、重邏輯與論據(jù)的縝密性都體現(xiàn)了極強的理性精神。當學生在完成了整節(jié)課的完整流程后，會發(fā)現(xiàn)四個表達式的圖象之間并沒有必然關聯(lián)，即從代數(shù)角度研究二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是不合理的，但學生在這一過程中發(fā)現(xiàn)了二次函數(shù)系數(shù)與圖象之間的關系等有價值的結論。當筆者提問學生通過本節(jié)課收獲了什么時，學生無一表示抱怨或遺憾，而是都對同一事物展開了不同維度的思考，比如“我學會了對問題提出猜想時，要設計方案驗證猜想，并根據(jù)實踐結果評估猜想的可行性”“我學會了如何根據(jù)二次函數(shù)中參數(shù)的范圍畫出大致的函數(shù)圖象”“我發(fā)現(xiàn)了除了a、b、c的正負性，2a-b＜0，a+b+c＞0、a-b+c＞0、4a+2b+c＞0、9a-3b+c＞0等式子也能限制函數(shù)圖象的位置”等。

很多時候復習不用帶著太多的功利心，看似沒有找到明確答案，但沿途收獲的“風景”依舊精彩，這正是辯證思維的一種體現(xiàn)，更是大概念教學的必然結果。教育要立德樹人，大概念引領下的復習課通過數(shù)學的特有視角，以濃厚的數(shù)學味讓知識流向綜合素養(yǎng)的培育，“春風化雨”地幫助學生立德、立格，成才、成人。

參考文獻：

［1］顧繼玲，章飛. 初中數(shù)學單元復習課教學設計的特征分析［J］. 數(shù)學通報，2021（7）：31-36，41.

［2］曹燕萍. 從“炒冷飯”走向“滿漢全席”：當前初中數(shù)學復習課教學突出問題審視及改進策略［J］. 中學數(shù)學，2023（4）：37-40.

［3］張東. 基于發(fā)現(xiàn)和提出問題推進初中數(shù)學復習課教學的實踐與思考［J］. 數(shù)學通報，2019（4）：37-40.

［4］威金斯，麥克泰格. 追求理解的教學設計［M］. 2版. 閆寒冰，宋雪蓮，賴平，譯. 上海：華東師范大學出版社，2017：72.

［5］加德納. 多元智能新視野［M］. 沈致隆，譯. 杭州：浙江教育出版社，2021：178.

（責任編輯：潘安）

【作者簡介】周煉，中學一級教師，曾獲江蘇省教科研先進個人，江蘇省青年教師初中數(shù)學教學基本功大賽一等獎。

【基金項目】2022年江蘇省教育科學規(guī)劃課題“大概念觀照下初中數(shù)學前建構教學的實踐研究”（課題編號：C/2022/02/01）