高中數(shù)學(xué)探究課教學(xué)的探索與實踐

李景秋 郭民 高立東

【摘要】數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究課都是數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)的載體，二者具有與“選題、開題、做題、結(jié)題”相似的研究步驟，強調(diào)學(xué)習(xí)者對實踐活動過程的體驗，更加注重學(xué)習(xí)者積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗與解決問題的經(jīng)驗.文章通過三節(jié)《正方體截面的探究》的探索與實踐，總結(jié)開展數(shù)學(xué)探究課的基本方法、步驟及注意的問題.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)探究；正方體截面

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）首次提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六個核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算與數(shù)據(jù)分析.其中對數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的定義是：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)建模建構(gòu)解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模的過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.

縱觀歐美發(fā)達(dá)國家的課程標(biāo)準(zhǔn)，不難發(fā)現(xiàn)各個國家雖然依據(jù)其教育目標(biāo)及其對人才的需求，提出了各具特色的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但是卻對于未來的人才需求標(biāo)準(zhǔn)達(dá)成了共識，即未來人才要有綜合解決問題的能力，要有社會責(zé)任感，最重要的是要有創(chuàng)新能力.在此基礎(chǔ)上各個國家不約而同地將數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)問題的解決能力及用數(shù)學(xué)交流的能力作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求.

《課程標(biāo)準(zhǔn)》除了提出了數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)外，還在附錄2中給出了37個教學(xué)與評價案例，用具體的實例幫助全體高中數(shù)學(xué)教師理解數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)與平時的教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生的評價以及考試命題之間的關(guān)系.其中與數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究有關(guān)的案例多達(dá)18個.

數(shù)學(xué)探究是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展探究與合作研究并最終解決數(shù)學(xué)問題的過程.數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).顯然，數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)建模都是數(shù)學(xué)項目式學(xué)習(xí)的載體，數(shù)學(xué)探究相較于數(shù)學(xué)建模，無需從具體的情境中抽象數(shù)學(xué)模型，降低了學(xué)生的切入難點，但又與數(shù)學(xué)建模有著基本相同的研究步驟，需要開題、做題、結(jié)題（無需選題）.

二、探究課教學(xué)的探索與實踐

2020年“第十屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師課例展示與培訓(xùn)活動”將《正方體截面的探究》做為吉林省指定課題，筆者所在學(xué)校有多名青年教師報名參加，其中有三名教師準(zhǔn)備了《正方體截面的探究》這節(jié)課.中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會提出了如下明確的內(nèi)容要求和教學(xué)提示.

（一）研究思路與過程

1.截面在生產(chǎn)生活實際中的具體應(yīng)用

為什么要研究截面？除了通過具體的實例示范研究問題的路徑，還必須讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)是服務(wù)于生產(chǎn)生活實際的，即數(shù)學(xué)是有用的.通過查閱文獻發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)代醫(yī)學(xué)常用的CT超聲對人體的某一部分做斷層掃描，從而形成人體的截面成像，醫(yī)生通過截面成像進行判斷；在建筑設(shè)計中，設(shè)計師常用的CAD軟件實際上是二維軟件，設(shè)計師需要畫出正剖面、橫剖面、側(cè)剖面，但在實際工作中，正剖面設(shè)計師只需要根據(jù)建筑物的高度以及實際施工的需要在不同的標(biāo)高畫出對應(yīng)的截面，進而利用相應(yīng)的軟件形成3D圖形即可，施工方只需根據(jù)二維圖紙即可建設(shè)出完美的各類建筑設(shè)施.

所以截面可以在二維層面集中反映幾何體的主要特征，把幾何體的關(guān)鍵內(nèi)隱元素及其關(guān)系集中展現(xiàn)在平面圖形上，可將三維空間問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題.

2.查閱資料，開拓思路

通過查閱資料，筆者認(rèn)為學(xué)生無論是動手操作還是理論證明時機均已成熟，他們在教師恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)下完全可以對正方體的截面進行充分地比較和探究，得出豐富的結(jié)論，并利用所學(xué)的知識進行完備的證明.

但從資料中我們可以看到，所有調(diào)查文章都將核心集中在正方體截面圖形的形狀及從理論層面論證結(jié)論，沒有關(guān)注學(xué)習(xí)者在探究正方體截面過程中的思維過程，即便是動手操作也僅是敘述了如何操作，而為什么要這樣操作，其分類的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)均無體現(xiàn).

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》及中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會的要求，教學(xué)設(shè)計的定位應(yīng)該在如何引導(dǎo)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)并證明.因此，明確本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與學(xué)習(xí)目標(biāo)是首要任務(wù).

3.明確課程目標(biāo)與學(xué)習(xí)目標(biāo)

這節(jié)探究課依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的課程目標(biāo)，即

（1）通過對幾何的切截活動，經(jīng)歷、觀察、操作、想象、交流等過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗；

（2）能夠發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，會猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，能夠自主提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論；

（3）初步體會運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題，能夠在具體的實驗教具中抽象出平面、正方體、截面等數(shù)學(xué)概念，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

針對不同學(xué)習(xí)水平的班級應(yīng)該制訂不同的學(xué)習(xí)目標(biāo).恰好甲、乙、丙三位教師所教授的班級處于三個不同的層次，按照學(xué)習(xí)能力水平與成績由高到低暫時將其稱為A，B，C三個班.

A班學(xué)生總體學(xué)習(xí)水平能力在年級居于上游，學(xué)生的個人學(xué)習(xí)能力較強，思維活躍，所以A班學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)置較高：

（1）學(xué)生借助各種手段和方法，結(jié)合自主學(xué)習(xí)與小組合作學(xué)習(xí)的有效形式，進行觀察、試驗、探究，通過嘗試、歸納、類比，自行發(fā)現(xiàn)并總結(jié)有關(guān)截面問題的知識和方法；

（2）了解正方體截面的形狀，能夠判斷和畫出正方體的截面，并能計算幾種特殊截面的周長、面積.

B班學(xué)生總體學(xué)習(xí)水平能力在年級居于中游，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下能夠自主地完成大部分學(xué)習(xí)內(nèi)容，掌握基本的方法并進行簡單的模仿，相同的問題理解接受的時間相較于A班長，對于具有較高思維難度的問題在第一時間內(nèi)很難自行解決.對此，授課教師將B班學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)定為：

（1）初步掌握收集、整理資料的基本能力，在課堂上能流暢的表達(dá)出來；

（2）能夠初步了解“探究”的全過程，掌握探究課題的基本方法；

（3）能夠根據(jù)題目選擇合適的實驗材料；

（4）能運用數(shù)學(xué)知識簡單論證實驗的結(jié)果.

C班學(xué)生總體學(xué)習(xí)水平能力在年級居于下游，學(xué)生的個人自學(xué)能力較差，學(xué)生只能在教師給定的幾個結(jié)論中進行猜測，根據(jù)預(yù)設(shè)的解決問題的思路選擇他們認(rèn)為比較合理的解決方案，所以C班學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)為：

（1）理解什么叫幾何體的截面；

（2）理解正方體的截面的某些特殊形狀和特征；

（3）理解正方體的截面有哪些形狀并且進行合理的分類；

（4）在了解正方體截面的形狀后，能較熟練地運用正方體截面的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.

4.教學(xué)器材準(zhǔn)備及教學(xué)策略

本節(jié)課需要通過動手實驗得出對應(yīng)結(jié)論，學(xué)生需要準(zhǔn)備面包、土豆、橡皮泥等便于切割的實物及切割物體時使用的塑料刀具（需要考慮到學(xué)生的安全）；教師需要準(zhǔn)備透明的正方體、橡皮泥、顏色鮮艷的液體等.每位準(zhǔn)備參賽的教師都是背對背準(zhǔn)備，所以在器材的選擇上不盡相同，教授A班的甲老師考慮到其他器材對正方體截面形成的限制因素，購買了在民用裝修中瓦工常用的激光水平儀.

三個班級均采用了觀察法、分組討論、成果展示及信息化多媒體教學(xué)策略.

（二）教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計

本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)探究課，題目明確，學(xué)生只需在教師的指導(dǎo)下明確研究的方案，并進行初步的研究，然后在課堂上對各自的研究成果進行討論和匯報，教師針對其精彩或不足之處進行點評，并引導(dǎo)學(xué)生進一步探討正方體截面的相關(guān)問題，初步掌握用數(shù)學(xué)知識解決問題的路徑與方法.

三、分析與點評

對比三位教師的教學(xué)設(shè)計，不難發(fā)現(xiàn)，三節(jié)課都立足于《課程標(biāo)準(zhǔn)》對于數(shù)學(xué)探究課的要求，掌握了“項目式學(xué)習(xí)”的核心，雖然在一節(jié)課中無法完整呈現(xiàn)整個過程，但是在本節(jié)課中呈現(xiàn)了探究過程中的主要環(huán)節(jié).

（一）教學(xué)目標(biāo)與學(xué)習(xí)目標(biāo)設(shè)置合理

三位教師根據(jù)班級中學(xué)生的具體學(xué)情制訂了恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)目標(biāo)與學(xué)習(xí)目標(biāo)，力圖使每一位學(xué)習(xí)者在其能力范圍內(nèi)既能收獲知識，又能收獲喜悅，進而獲得情感與能力的雙重體驗.

（二）教學(xué)內(nèi)容選擇恰當(dāng)

特別是甲、丙兩位教師，其中甲教師沒有根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》提供的9個問題串的順序引導(dǎo)學(xué)生探究，而是對聯(lián)系比較密切的三角形和六邊形進行了探討，再根據(jù)六邊形需要與正方體六個面均相交找到截面分類的標(biāo)準(zhǔn)，進而逐個減少平面與正方體表面相交的數(shù)量，逐步得到五邊形和六邊形，最后提出問題，引導(dǎo)學(xué)生在變化的過程中尋找非變量；而丙教師所教授的C班，側(cè)重于讓學(xué)生通過體驗收獲經(jīng)驗，整節(jié)課僅進行了所截三角形只能是銳角三角形的證明，關(guān)于其他形狀截面圖形形成的原因、分類的標(biāo)準(zhǔn)及其相關(guān)的推理證明放在下一節(jié)課完成；而乙教師所教授的B班則在教師的引導(dǎo)下“照本宣科”地完成了本課題的各項探究內(nèi)容.

（三）探究展示過程突出學(xué)生的主體地位

在這三節(jié)課中，教師和學(xué)生準(zhǔn)備了多種多樣的實驗器材，激光水平儀、橡皮泥、金剛沙、透明正方體、帶顏色的液體等，讓數(shù)學(xué)課與實驗聯(lián)系在一起，而不是枯燥的推理證明；學(xué)生的思維也被激活，積極地展示自己的實驗成果，一部分學(xué)生利用所學(xué)的知識進行了證明，甚至出現(xiàn)了教師原本沒有預(yù)設(shè)的探究結(jié)論，改變了以往教師“一言堂”的教學(xué)方式，使學(xué)習(xí)者真正成為學(xué)習(xí)的主人，彰顯數(shù)學(xué)探究課的育人價值.

（四）不足之處

面對新課標(biāo)、新課程，教師們第一次進行探究式案例教學(xué)，對于如何上好一節(jié)探究課，對探究課每個環(huán)節(jié)的處理還有很多值得斟酌之處.

1.探究過程不完整

學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過《幾何體的截面》一課，并且很多學(xué)生已經(jīng)在初中教師的帶領(lǐng)下進行過正方體截面的實驗，所以他們對正方體截面的形狀并不陌生，但是也僅限于了解形狀，對于形成的原因，分類的標(biāo)準(zhǔn)不是很清楚，還有少部分學(xué)生未進行幾何體截面的相關(guān)實驗與探究.三位教師均將主要精力放在課堂中帶領(lǐng)學(xué)生探討截面的形狀、成因及證明上，缺少了讓學(xué)生自行進行探究成因的過程，學(xué)生思考時間短，缺少獨立思考的機會.

2.未能完全平衡好探究與證明

本案例是在初中已經(jīng)有過實際操作的前提下進行的一次探究，其目的不在于截面的形狀有哪些，而是在此基礎(chǔ)上利用分類、類比等數(shù)學(xué)思想解決問題，利用高中所學(xué)的立體幾何基本事實與公理進行嚴(yán)格的推理證明，教師需要為學(xué)生提供嚴(yán)格的證明范式.而三位教師全程沒有在黑板或大屏幕上為學(xué)生做一次范例證明，證明過程主要由學(xué)生口述，易給學(xué)生造成只需觀察即可得出結(jié)論的錯誤印象.

3.“少數(shù)”與“多數(shù)”的關(guān)系處理欠妥

大多數(shù)觀摩課都是以小組討論的方式進行的，無論是什么樣的課型，教師們都必須組織小組討論，無論是否適合討論.通過觀看課堂實錄，筆者發(fā)現(xiàn)小組實踐或討論時的情形是少數(shù)學(xué)生主導(dǎo)，多數(shù)學(xué)生旁觀，成果展示與交流時話語權(quán)主要掌握在少數(shù)績優(yōu)生手中，沒有真正地實現(xiàn)“落實四基，提高四能，促進核心素養(yǎng)發(fā)展”的目的，所以探究方案的設(shè)計應(yīng)豐富多樣，問題的設(shè)置要更多層次，以滿足不同層次學(xué)習(xí)者的需求.

結(jié) 語

“教是為了不教”，有關(guān)數(shù)學(xué)探究課教學(xué)設(shè)計，教師除了要考慮教材內(nèi)容等因素，廣泛地占有資料，根據(jù)學(xué)習(xí)者的具體學(xué)情設(shè)計切合實際的學(xué)習(xí)目標(biāo)，設(shè)計層次豐富的探究方案與探究問題，更要深入地了解學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，平衡好學(xué)生自主學(xué)習(xí)與教師指導(dǎo)的度，讓更多的學(xué)生參與探究學(xué)習(xí)，使數(shù)學(xué)探究課真正發(fā)揮作用，進而促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

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